Real Analysis Solução do Problema 1: Demonstração da Constância de Sequências Periódicas Convergentes

Seção 1 R é um corpo 1 Prove as seguintes unicidades a Se x θ x para algum x R então θ 0 b Se x u x para todo x R então u 1 c Se x y 0 então y x d Se x y 1 então y x¹ 5 Exercícios Seção 1 Limite de uma sequência 1 Uma sequência xn dizse periódica quando existe p N tal que xnp xn para todo n N Prove que toda sequência periódica convergente é constante Real Analysis Solucao do Problema 1 Vamos provar a Temos x θ 0 x θ x 0 x x x θ x associatividade e comutatividade 0 θ x simetrico θ x elemento neutro b Temos pondo x 1 1 u 1 u 1 elemento neutro c Temos x y 0 x y y 0 y x 0 y simetrico e elemento neutro x y elemento neutro d Temos xy 1 xy y1y x y1 multiplicando pelo inverso de y Solucao da Questao 11 Argumente por contradicao Suponha que f nao seja constante Entao existe a b R com fa fb Agora suponha que c limx fx Entao para todos ϵ 0 existe um N 0 tal que c fx ϵ para todo x N Como f e periodico existe x N com 1 fx fa Para este valor de x descobrimos que c fa ϵ Como isso vale para todos ϵ positivos devemos ter c fa Da mesma forma podese mostrar que c fb contradizendo a suposicao de que fa fb Claro esta prova por contradicao pode ser facilmente transformada em uma prova direta dado a b R arbitrario mostre que devemos ter fa fb entao f e constante 2