Lista 3 - Métodos Matemáticos 2021-1

Meétodos Matematicos Lista 3 1) Verique se as fungdes abaixo sao periddicas, em caso afirmativo, determine seu periodo fundamental. a) a b) cosh(t) c) een) 2 + sen(t) d) In(1 + |sen(t)]) e) sen(zt) + sen(3zt) f) cos(t?) 2) Determine as séries de Fourier das fungdes abaixo (definidas em um periodo): a) f(t)=t, -1<t<1 b) g(t) =, -1<t<1 0 —7 <t<0O; c) h(t) =t+#?, -1<t<1 _ , StSO; ) hl) d) f(t) on 0<t<n. 0, -m<t<s0; cos(t), —7<t<0; e t = _ ’ — — ) ) FW) tt O<t<n. f) f(t) 1a 0<t<n. g) f()=1+t,-1<t<1 h) f(t) =|t|, 0<t<1 3) Calcule a série de Fourier da fungao 0, —7<t<0O; reo={ 1, O<t<z7. Esboce o grafico da fungao definida por esta série e use a série para obter que — (—1)F1 1 1 11 ee eee 2k —1 3.5 7 9 k=1 4) Considere a expansao em série de Fourier da fungao tg(t) no intervalo (—a/2 + e,m/2—e) onde « > 0. E posstvel obter a integral da fungao tg(t) integrando termo a termo sua série de Fourier? E possivel obter a derivada da fungao tg(t) derivando termo a termo sua série de Fourier? 5) Obtenha a expanséo em meia onda (em seno e cosseno), das fungdes abaixo: a) f(t) =sen(at),0<t<aea nao é um ntmero inteiro b) f(t) = cos(at), 0<t <a ea nao é um nimero inteiro c) f(t) =t-?,0<t<1 t, 0<t<1: d) ro={ 2-t, 1<t<2. 1 5) Seja f uma fungao que satisfaz as condicgoes de Dirichlet tal que f(x) = S + dam COs (==) + b»sen (=) ; Mostre que * 2 ag Lh — 2 2 dx = — L Loy. [ Poa 5 >> Gm + Ldn 7) Seja f uma fungao que admite transformada de Fourier. Mostre que F(w-a)-F F\sen(ax) f(x)| = Meng Mero i onde Fw) = F|f(x)]. 8) Determine a transformada e a integral de Fourier das fungdes abaixo: _ f sen(woxr), se x? < (Nr/wo)?; a) f(t) = { 0, se x? > (Nr/w)?. _ f cos(x), sea? < 17/4; b) f(z) = { 0, se x? > 1/4, Tm+ax, se-7<2x<0; c) f(~)=< m—-a, 0O<aK<gT; 0, |x| > 7. x, sex <1; d) f(a) = { 0, sex? >1. 0, se —oo <a <-l; _ l+a, see-l<2x<0; e) f(%) = l—a, se0<ax<1; 0, seel<a<o. f) f(x) =e (dica: use | e dx = /x/2) 0 9) Use a integral de Fourier para encontrar uma solugao particular para a equacao d‘y OTs +ky = —p(x) na forma y(x) = / Acos(wx) + Bsen(wa)dw, onde a e k sao constantes e _f B sea’? <1; pte) ={ 0, sex? >1. 2 10) Use integral de Fourier para encontrar uma solucao particular para a equacao y” + ay’ + by = f(x), onde 0, —-wo<a<-l; _ l+a, -l<a2<0; M@)=) 1 oy Vers: 0, 1<4r<m. 11) Mostre que co 9 2 [ — cos(wx)dw = se cos(z) (Dica: escreva a integral de Fourier da fungao f(x) = Ze~!*! cos(zx)) 12) Mostre que [ + sen(wa)dw = Ze-* eos(n) Ver > 0 — sen(wx)dw = —e * cos(x) Vx > 0. 9 4+u4 2 Dica : escreva a integral de Fourier da funcao f(x) = 2 cos(z), se x > 0; Fe’ cos(x), sex <0. Conclua que ws ~~ 2+" ———_ dw = ———. d [ Tat sen(wa)dw [ 34 lu cos(wa)dw para x > 0. )