Lista de Exercícios Álgebra Linear II - UFAM - Vetores, Subespaços e Dependência Linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Disciplina ALGEBRA LINEAR II Professora Flavia Morgana LISTA 2 DE EXERCICIOS Questao 1 Escreva o vetor v 1 0 0 como combinacao linear dos seguintes conjun tos de vetores em R3 a 1 1 1 1 1 0 1 0 1 b 1 0 1 0 0 1 c 2 0 0 Questao 2 Seja W o subespaco de M3 2 gerado pelas matrizes 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 e 0 1 0 0 0 0 O vetor 0 2 3 4 5 0 pertence a W Questao 3 Verifique que os polinˆomios 1 t3 1 t2 1 t e 1 geram o espaco dos polinˆomios de grau 3 na variavel t Questao 4 Considere o subespaco gerado pelos vetores v1 1 1 0 v2 0 1 1 e v3 1 1 1 Podese afirmar que v1 v2 v3 R3 Questao 5 Considere dois vetores v a b e w c d no plano R2 Se ad bc 0 mostre que eles sao LDs Se ad bc 0 mostre que eles sao LIs Questao 6 Determine os valores para a tais que os vetores 3 1 0 e a2 2 2 0 sejam LDs Questao 7 Verifique que as funcoes etcos3t e etsen3t sao solucoes linearmente indepen dentes da equacao diferencial y 2y 10y 0 Questao 8 Os polinˆomios dados na questao 3 formam um conjunto LI Questao 9 Mostre que se V U W os conjuntos u1 uk e w1 wr sao bases de U e W respectivamente entao u1 uk w1 wr e uma base de V Questao 10 Dados os vetores u 1 1 1 e v 3 1 4 a Eles sao LIs b Eles geram o R3 Justifique c Exiba uma base para o R3 contendo os vetores u e v Questao 11 Considere o sistema linear S 2x 4y 6z a x y 4z b 6y 14z c Seja W o conjunto solucao do sistema isto e W x y z R3 x y z resolve S a Que condições devemos impor aos números a b e c para que W seja subespaço de R³ b Nas condições obtidas no item a encontre uma base para W Questão 12 Sejam os conjuntos W₁ x y z t R⁴ x y 0 z t 0 e W₂ x y z t R⁴ x y z t 0 a Eles são subespaços b Determine W₁ W₂ c Exiba uma base para W₁ W₂ d Determine W₁ W₂ e W₁ W₂ é soma direta Justifique Questão 13 Seja U o subespaço do R³ gerado por 100 e W o subespaço do R³ gerado por 110 e 011 Mostre que R³ U W Questão 14 Sejam os subespaços W₁ a b c d M22 a d c d W₂ a b c d M22 a c b d a Determine W₁ W₂ e exiba uma base b Determine W₁ W₂ Essa soma é direta Temse que W₁ W₂ M22 Questão 15 a Dado o subespaço V₁ x y z R³ x 2y z 0 ache um subespaço V₂ tal que R³ V₁ V₂ b Dê exemplos de dois subespaços de dimensão 2 no R³ tais que V₁ V₂ R³ Essa soma é direta Questão 16 Ilustre com um exemplo a validade da seguinte afirmação Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V de dimensão finita então dimU W dimU dimW dimU W BONS ESTUDOS