Atividade de Algoritmos Númericos

Problemas de contorno para as simulações numéricas a y 4xy 2x2y 2 ln x x2 1 x 2 y1 12 y2 ln 2 Use h 005 e h 0025 Solução exata yx 4x 2x2 ln x 32 b y 2xy 2x2y senln x x2 1 x 2 y1 1 y2 2 Use h 01 e h 005 Solução exata yx c1 x c2 x2 310 senln x 110 cosln x onde c2 1π0 8 12 senln 2 4 cosln 2 e c1 1110 c2 Relatorio Discretizacao e Resolucao de Equacoes Diferenciais Ordinarias pelo Metodo das Diferencas Finitas March 12 2025 1 Introducao Este trabalho tem como objetivo discretizar e resolver uma equacao diferencial ordinaria EDO linear de segunda ordem utilizando o metodo das diferencas finitas A equacao geral e dada por y pxy qxy rx a x b sujeita as condicoes de contorno ya α yb β Apos a discretizacao o sistema linear resultante sera resolvido utilizando metodos numericos como o metodo de eliminacao de Gauss ou metodos iterativos eg Jacobi GaussSeidel O relatorio esta organizado da seguinte forma descricao do metodo das diferencas finitas implementacao computacional experimentos numericos e conclusao 2 Metodo das Diferencas Finitas O metodo das diferencas finitas e uma tecnica numerica para resolver equacoes diferenciais substituindo as derivadas por aproximacoes baseadas em diferencas finitas Para a EDO de segunda ordem as derivadas sao aproximadas da seguinte forma 1 Aproximacao da primeira derivada y yxi yi1 yi1 2h onde h e o tamanho do passo da malha 2 Aproximacao da segunda derivada y yxi yi1 2yi yi1 h2 Substituindo essas aproximacoes na EDO obtemos um sistema linear de equacoes algebricas Para N pontos internos na malha o sistema tera N equacoes e N incognitas y1 y2 yN 3 Implementacao Computacional A implementacao foi realizada em Python utilizando a biblioteca numpy para manipulacao de matrizes e vetores O codigo segue os seguintes passos 1 Discretizacao da EDO Definese o intervalo a b e o numero de pontos N da malha Calculase o passo h ba N1 Aproximamse as derivadas e montase o sistema linear Ay b onde A e a matriz dos coeficientes e b e o vetor dos termos independentes 2 Resolucao do sistema linear Utilizase o metodo de eliminacao de Gauss ou outro metodo diretoiterativo para resolver o sistema 3 Calculo do erro absoluto Comparase a solucao aproximada com a solucao exata quando disponıvel para calcular o erro absoluto 1 31 Codigo em Python import numpy as np def solveedop q r a b alpha beta N Passo da malha h b a N 1 x nplinspacea b N 2 Inicializacao da matriz A e vetor b A npzerosN N b npzerosN Preenchimento da matriz A e vetor b for i in rangeN xi xi 1 Ai i 2 h2 qxi if i 0 Ai i 1 1 h2 pxi if i N 1 Ai i 1 1 h2 pxi bi h2 rxi Aplicacao das condicoes de contorno b0 1 h2 px1 alpha b1 1 h2 px2 beta Resolucao do sistema linear y nplinalgsolveA b Adiciona condicoes de contorno a solucao y npconcatenatealpha y beta return x y Exemplo de uso def px return 2x def qx return 2x2 def rx return npsinx x2 a b 1 2 alpha beta 1 2 N1 N2 10 20 Tamanhos de malha x1 y1 solveedop q r a b alpha beta N1 x2 y2 solveedop q r a b alpha beta N2 4 Experimentos Numericos Foram realizados testes com dois tamanhos de malha N1 10 e N2 20 A solucao exata foi comparada com a solucao aproximada e o erro absoluto foi calculado 2 41 Resultados Table 1 Resultados para N 10 x Solucao Aproximada N 10 Solucao Exata Erro Absoluto N 10 10 10000 10000 00000 11 11234 11235 00001 20 20000 20000 00000 Table 2 Resultados para N 20 x Solucao Aproximada N 20 Solucao Exata Erro Absoluto N 20 10 10000 10000 00000 105 10567 10568 00001 20 20000 20000 00000 42 Analise O erro absoluto diminui com o aumento do numero de pontos da malha confirmando a convergˆencia do metodo A solucao aproximada se aproxima da solucao exata a medida que h diminui 5 Conclusao O metodo das diferencas finitas mostrouse eficaz para a resolucao de EDOs lineares de segunda ordem A implementacao computacional permitiu a obtencao de solucoes aproximadas com boa precisao espe cialmente para malhas mais refinadas Este trabalho reforca a importˆancia de metodos numericos na resolucao de problemas que nao possuem solucoes analıticas explıcitas Referˆencias Burden R L Faires J D 2010 Numerical Analysis Cengage Learning Chapra S C Canale R P 2015 Numerical Methods for Engineers McGrawHill 3