Exercícios Algorítmos Numéricos b 2021 2

Questão 1 (2,0 pontos) Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante normalizado F(2, 3, -1, 2). Para este sistema: a) Diga quantos e quais números podem ser representados exatamente; b) Diga (na base decimal) quais são os intervalos de overflow e underflow. Questão 2 (2,0 pontos) O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: a) sen(x) = 0; b) cos(x) + 1 = 0; Se possível, aplique o método de Newton com x0 = 3 e precisão 10^{-7} em cada caso. Justifique os resultados obtidos. Questão 3 (2,0 pontos) Considere as seguintes funções: i) φ1(x) = 2x - 1, ii) φ2(x) = x^2 - 2x + 2, iii) φ3(x) = x^2 - 3x + 3. Verifique que 1 é ponto fixo de todas estas funções. Qual delas você escolheria para obter a raiz 1, utilizando o processo iterativo xn+1 = φ(xn)? Com a sua escolha, exiba a sequência gerada a partir da condição inicial x0 = 1,2. (com ε = 10^{-5} no erro absoluto) Questão 4 (2,0 pontos) Localize ao menos uma raiz das equações abaixo e verifique se é possível aplicar o método da secante. Caso seja possível, indique a expressão iterativa e faça duas iterações. a) 2x^3 - 5x^2 - 10x + 20 = 0, b) e^{-x} - ln x = 0. Questão 5 (2,0 pontos) Usando o método da bissecção (faça apenas três iterações) calcular pelo menos uma raiz da equação abaixo. f(x) = e^{2x} - 2x^3 - 5.