P1 - Algoritmos Numéricos 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO CENTRO UNIVERSIT´ARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO Departamento de Matem´atica Aplicada 1a Avalia¸c˜ao de Algoritmos Num´ericos - 17/12/2021 Engenharia de Produ¸c˜ao Prof. S´ergio Souza Bento Aluno(a): Quest˜ao 1 (2,0 pontos) Considere o sistema de aritm´etica de ponto flutuante normalizado F(2, 3, −1, 2). Para este sistema: a) Diga quantos e quais n´umeros podem ser representados exatamente; b) Diga (na base decimal) quais s˜ao os intervalos de overflow e underflow. Quest˜ao 2 (2,0 pontos) O valor de π pode ser obtido atrav´es da resolu¸c˜ao das seguintes equa¸c˜oes: a) sen(x) = 0; b) cos(x) + 1 = 0; Se poss´ıvel, aplique o m´etodo de Newton com x0 = 3 e precis˜ao 10−7 em cada caso. Justifique os resultados obtidos. Quest˜ao 3 (2,0 pontos) Considere as seguintes fun¸c˜oes: i) ϕ1(x) = 2x − 1, ii) ϕ2(x) = x2 − 2x + 2, iii) ϕ3(x) = x2 − 3x + 3. Verifique que 1 ´e ponto fixo de todas estas fun¸c˜oes. Qual delas vocˆe escolheria para obter a raiz 1, utilizando o processo iterativo xn+1 = ϕ(xn)? Com a sua escolha, exiba a sequencia gerada a partir da condi¸c˜ao inicial x0 = 1, 2. (com ε = 10−5 no erro absoluto) Quest˜ao 4 (2,0 pontos) Localize ao menos uma raiz das equa¸c˜oes abaixo e verifique se ´e poss´ıvel aplicar o m´etodo da secante. Caso seja poss´ıvel, indique a express˜ao iterativa e fa¸ca duas itera¸c˜oes. a) 2x3 − 5x2 − 10x + 20 = 0, b) e−x − ln x = 0. Quest˜ao 5 (2,0 pontos) Usando o m´etodo da bisse¸c˜ao (fa¸ca apenas trˆes itera¸c˜oes) calcular pelo menos uma raiz da equa¸c˜ao abaixo. f(x) = e2x − 2x3 − 5.