Lista 1 - Algoritmos Numéricos 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO CENTRO UNIVERSIT´ARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO Departamento de Matem´atica Aplicada 1a lista de exerc´ıcios de Algoritmos Num´ericos Quest˜ao 1 Converta os seguintes n´umeros decimais para base bin´aria: (a) x1 = 47; (b) x2 = 93; (c) x3 = 26, 35; (d) x4 = 0, 1217. Quest˜ao 2 Converta os seguintes n´umeros bin´arios para base decimal: (a) x1 = (110101)2; (b) x2 = (0, 1101)2; (c) x3 = (11100, 1101)2; (d) x4 = (0, 1111101)2. Quest˜ao 3 Dado o sistema de aritm´etica de ponto flutuante F(2, 10, −15, 15), represente nele os seguintes n´umeros: (a) x1 = (47)10; (b) x2 = (93)10; (c) x3 = (2, 345)10; (d) x4 = (110101)2. Quest˜ao 4 Considere um equipamento cujo sistema de aritm´etica de ponto flutuante ´e F(2, 10, −15, 15). Para este sistema: (a) Qual ´e menor positivo exatamente represent´avel? (b) Qual ´e o pr´oximo positivo, depois do menor positivo exatamente represent´avel? (c) Transforme o menor positivo e o pr´oximo para a base decimal. (d) Verifique se existem n´umeros reais entre o menor e o pr´oximo positivo. (e) Qual ´e maior positivo exatamente represent´avel? Quest˜ao 5 Justifique que a fun¸c˜ao: f(x) = cos π(x + 1) 8 + 0.148x − 0.9062, possui uma raiz no intervalo (−1, 0) e outra no intervalo (0, 1). Quest˜ao 6 Determinar, usando o m´etodo de Newton, a menor raiz positiva da equa¸c˜ao: 4 cos x − ex = 0, com erro inferior a 10−4. Quest˜ao 7 Usando o m´etodo de Newton, com precis˜ao ε = 10−4, determinar uma raiz da equa¸c˜ao: 5x3 + x2 − 12x + 4 = 0. Quest˜ao 8 Determinar, pelo m´etodo da secante, uma raiz de cada uma das equa¸c˜oes: a) log x − cos x = 0, b) e−x − log x = 0, com precis˜ao ε = 10−2. Questao 9 As raizes de f(x) = In(a) — x + 2 podem ser determinadas usando o processo iterativo na forma x41 = y(a;), i= 1,2,.... Considere os processos iterativos: a) V4.1 = p(x) =2+ In(x;) b) ti41 = p(x) = e? Usando o critério de convergéncia do método do ponto fixo, analise os processos iterativos dados e verifique qual deles possui garantia de convergéncia para as raizes da equacao e a partir de uma solucao inicial dada determine essas raizes de f(x). Questao 10 Usando 0 método da bissecao, determine uma raiz das fun¢cdes a seguir com precisao de duas casas decimais: a) f(x) = 2° — sen(z); b) f(x) = 3x —cos(x) +1; c) f(a) = In(x) — sen(zx); d) f(x) = e* — 2x? — 5; e) f(x) = 52? + log(a + 1) — 2. Questao 11 Utilize algum método, dos vistos em aula, para encontrar uma raiz real da equacao: p(x) = 2° + 8x? — 4x —2=0. Questao 12 Considere a equacdo f(x) = 2x? — 54 + 2 = 0, cujas raizes s40: 1; = 0.5 e X_ = 2.0. Considere ainda os processos iterativos: 27? +2 5tn (a) fry. = —4—_ ee (b) Wry = 4/— - 1. 5 2 Qual dos dois processos vocé utilizaria para obter a raiz 7,1? Por qué? Questao 13 O valor de 7 pode ser obtido através da resolucao das seguintes equac¢oes: (a) senz=O0 e (b) cosa+1=0. Aplique 0 método de Newton com x = 3 e precisdo ¢ = 10~" em cada caso compare os resultados obtidos. Justifique. Questao 14 Determine os autovalores da matriz 4 -—2 3 M=]-2 5 -2 1]. 3-2 8