Lista 2 - Algoritmos Numéricos 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO CENTRO UNIVERSIT´ARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO Departamento de Matem´atica Aplicada 2a lista de exerc´ıcios de Algoritmos Num´ericos Data de entrega: 25/02/2022 at´e as 18h Quest˜ao 1 Calcule a fun¸c˜ao de complexidade computacional para o algoritmo de substitui¸c˜ao retroativa, dado abaixo: x[n]=b[n]/a[n][n] para k=n-1,...,2,1 s=0 para j=k+1,...,n s=s+a[k][j]*x[j] x[k]=(b[k]-s)/a[k][k] Quest˜ao 2 Resolver os sistemas a seguir pelo m´etodo da elimina¸c˜ao de Gaus, com a es- trat´egia indicada, e verificar a exatid˜ao da solu¸c˜ao. a) Efetuar os c´alculos utilizando apenas quatro casas decimais   2 6 −3 1 3, 0001 2 4 −1 9     x1 x2 x3   =   17 −2 24   . i) sem pivoteamento; ii) com pivoteamento parcial. b) com pivoteamento parcial   4 −1 3 8 1 6 2 −3 5 5 1 0 2 4 −2 1     x1 x2 x3 x4   =   43 7 18 8   . Quest˜ao 3 Calcule as normas da matriz A =   5 4 −1 2 9 3 8 −6 7   a) ||A||1; b) ||A||∞. Quest˜ao 4 Calcule a fatora¸c˜ao LU de A, se poss´ıvel: A =   1 1 1 2 1 −1 3 2 0   Quest˜ao 5 As matrizes de Hilbert, Hn, onde hij = 1 i + j − 1, 1 ≤ i, j ≤ n s˜ao exemplos cl´assicos de matrizes mal condicionadas. Calcule o n´umero de condicionamento para H2 e H3. Quest˜ao 6 Considere o sistema linear:   −1 2 −1 0 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2     x1 x2 x3 x4   =   1 2 9 11   . a) ´E poss´ıvel aplicar a este sistema os m´etodos iterativos que vocˆe conhece com garantia de convergˆencia? b) Reordene as equa¸c˜oes convenientemente, de tal forma que seja poss´ıvel aplicar o m´etodo de Gauss-Seidel com garantia de convergˆencia. Quest˜ao 7 Verifique se a matriz A satisfaz crit´erio de Sassenfeld A =   5 1 1 3 4 1 3 3 6   Quest˜ao 8 Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes ´e a matriz esparsa A =   1 1 −1 2 −1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 16 0 0 0 4 0 0   e b =   2 2 2 20 4   a) Ache a solu¸c˜ao por inspe¸c˜ao; b) Fa¸ca mudan¸cas de linhas na matriz original para que o sistema satisfa¸ca o crit´erio de con- vergˆencia de Sassenfeld, em seguida aplique o m´etodo de Gauss-Seidel; c) Fa¸ca mudan¸cas de linhas na matriz original para facilitar a aplica¸c˜ao do m´etodo da eli- mina¸c˜ao de Gauss. Quest˜ao 9 Dado o sistema linear   1 β 2 β 1 4 5 2 1     x1 x2 x3   =   −2 −3 4   . a) Para que valores de β a matriz do sistema ´e decompon´ıvel em LU? Justifique. b) Considere β = 1, e resolva o sistema dado pelo m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss. Quest˜ao 10 Mostre que, se det A ̸= 0 e A = LU, ent˜ao A = LD ¯U, onde D ´e uma matriz diagonal e ¯U ´e uma matriz triangular superior com diagonal unit´aria. Quest˜ao 11 Se A = LDU, como ficaria a resolu¸c˜ao de Ax = b? Questao 12 Considere os sistemas lineares Ax = b e Ax = b, onde 1 0,99 _ | 1,99 >; | 1,99 A= oo 0,98 |. b= ror | e b= 138 | a) Calcule Cond(A); b) Resolva os sistemas dados e verifique que, num sistema mal condicionado, pequenas per- turbacdes acarretam grandes mudancas na solucao.