Questões - Algoritmos Numéricos 2023 2

• Justifique todas as suas respostas detalhadamente. • Faça os cálculos com pelo menos 6 casas decimais. • Cada item vale 1,4 ponto. A nota máxima é 10. Questão 1. Considere a matriz e o vetor [ 2 3 7 2 ] [ 98 ] A = [ 14 23 49 15 ] e = [ 732 ] [ 16 28 59 19 ] [ 1228 ] [ 18 33 84 30 ] [ 1048 ] a. Calcule a decomposição LU de A. b. Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição calculada. Questão 2. Considere o sistema Ax = b com [ 10 0 0 0 1 ] [ 2 ] [ 2 10 0 0 3 ] [ 4 ] A = [ 3 4 5 0 1 ] e = [ 3 ] [ 1 0 0 1 0 ] [ 6 ] [ 1 0 0 20 ] a. Verifique se o método de Gauss-Seidel é convergente quando aplicado a esse sistema. b. Partindo da aproximação inicial x⁰ = [ 0 0 0 0 ]ᵀ, calcule 3 iterações do método de Gauss-Seidel e o resíduo da última iteração. Questão 3. A partir dos dados da tabela, estime o valor de y quando x = 3,0, usando os seguintes métodos: a. Interpolação linear segmentada. b. Interpolação polinomial de grau 2. x | 1.2 2.8 3.9 y | 0.7 6.2 16.4 Questão 4. Considere os dados abaixo. x | 1 2 4 6 8 9 y | 128 677 557 293 317 992 a. Calcule as diferenças divididas até a quinta ordem. b. Escreva uma expressão para o polinômio interpolador P₅(x) e calcule P₅(3).