Exercícios - Algoritmos Numéricos 2023 2

Questão 1. Seja f(x) = x^4 + x - 4. a. Mostre que f tem uma única raiz z entre 1 e 2. b. Aplique 4 iterações do Método da Bisseção para refinar o intervalo [1, 2]. Quantas iterações seriam necessárias para isolar a raiz com erro menor do que 10^-10? c. Partindo de um ponto inicial de sua escolha, aplique 4 iterações do Método de Newton para aproximar z. Esboço Questão 2. Deduz a equação de iteração do método da secante a partir de sua interpretação geométrica. Sua resposta deve incluir um desenho e explicações detalhadas. Questão 3. Sejam f(x) = x cos(3x) + x^2 - 3x + 1 e φ(x) = \frac{x cos(3x) + x^2 + 1}{3}. a. Mostre que as raízes de f são também pontos fixos de φ. b. A função f tem quatro raízes reais z1, z2, z3 e z4. Analisando os gráficos de f(x) e φ'(x) abaixo, determine, sem calcular as iterações, quais das raízes de f podem ser aproximadas usando o Método do Ponto Fixo com função de iteração φ. Para qual das raízes a convergência deve ser mais rápida?