Demonstração de Irracionalidade e Propriedades de Conjuntos Limitados - Exercícios Resolvidos

Sejam a Q diferente de zero e x um número irracional Prove que a ax e x a são irracionais b Dê exemplos de dois números irracionais xy tais que x y e x y sejam racionais Sejam AB conjuntos não vazios tais que para x A e y B temse que x y Prove que sup A inf B Seja a Q a 0 e x um número irracional a Suponha que x é irracional 0 a Q Seja ax racional então ax pq com 0 p 0 q Z Como 0 a Q então a mn com 0 m 0 n Z Logo ax mn x pq mn x pq nm mn x nm pq x p nm q Q Logo x é racional Absurdo Pois supomos que x é irracional Portanto ax é irracional Agora suponha que x a é racional Então x a pq com pq Z p q 0 Logo x pq a Q Pois x é a diferença de dois racionais Absurdo Pois supomos x irracional Portanto x a é racional b Sejam a 1 5 b 1 5 irracionais Temos a b 2 ℚ e ab 4 ℚ Sejam A B conjuntos não vazios tais que x A e y B temse x y Prove sup A inf B Prova Sejam x A y B tais que x y Logo todo y B é cota superior de A logo sup A y y Pois sup A é a menor das cotas superiores implicando sup A é cota inferior de B Daí segue sup A inf B pois inf B é a maior cota inferior