Lista de Exercícios Resolvidos sobre Limites e Continuidade de Funções

2a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Seja f A R uma função tal que cb A Então lim xc fx L se e somente se ε 0 δ 0 tal que fx L ε para c x c δ 2 Sejam f g R R funções contínuas em R tal que fr gr r Q Então é verdade que fx gx x R 3 Seja f R R contínua em R tal que fr 0 r Q Então fx 0 x R 4 Mostre que o polinômio px x4 7x3 9 possui pelo menos duas raízes reais 5 Algum número somado a 1 é exatamente igual ao seu cubo 6 Sejam f g ab R funções contínuas em tais que fa ga e fb gb Mostre que a equação fx gx possui solução em ab 7 Se fx 0 e lim xc fx r mostre que lim xc fx r 8 Mostre que a função fx x² definida em x 2 é Lipschitziana mas fx x² definida em não é 9 Seja f A R uma função definida em A com fx 0 x A Se lim xc fx L mostre que existe o limite de 1fx em c e vale lim xc 1fx 1lim xc fx 10 Seja f ab R uma função contínua Mostre que f é limitada 11 Seja f I R uma função contínua e monótona crescente ou decrescente no intervalo I Mostre que a função f¹ fI R é contínua 12 Seja f a R uma função positiva ie fx 0 para todo x a Prove que lim x fx se e só se lim x 1fx 0 13 Seja f 01 R uma função real continua Suponha que fx Q para qualquer x 01 e que f0 1 Mostre que f 1 Sugestão Use o fato de os racionais e irracionais serem conjuntos densos em R 14 Seja I um intervalo qualquer dado uma função f I R é Lipschitziana se existe M 0 tal que fx fy Mx y para todos x y I Mostre que f é continua em I 15 Seja I um intervalo qualquer dado uma função f I R é Holdercontinua se existem α M 0 tais que fx fy Mx yα para todos x y I Mostre que f é continua em I 16 Seja f I R uma função continua e injetiva definida em um intervalo I Prove que f é uma função crescente ou uma função decrescente 17 Sejam f I R e g I R duas funções contínuas definidas em um intervalo I Mostre que hx maxfx gx kx minfx gx são contínuas em I Questão 1 seja F A IR uma Função tal que cbA Então lim xc l se e somente se ε 0 δ 0 tal que fx l ε para c x c δ Prova Se lim xc L por definição de limite lateral ε 0 δ 0 x A c c δ fx L ε Ou seja ε 0 δ 0 tal que fx L ε sempre x A e 0 x c δ ou seja c x c δ Reciprocomente ε 0 δ 0 tal que fx L ε para c x c δ ou seja 0 x c δ Então lim L xc Questão 2 Sejam f g IR IR funções continas em IR tal que fr gr r Q Então é verdade que fx gx x IR Solução Verdade Suponha que exista y IR tal que fy gy como y IR e Q é denso em IR ou seja Q IR existe yn Q tal que lim yn y Como yn Q segue que fyn gyn n IN Mas fy gy Logo fy fyn e gy gyn e portanto f e g não são contínuas Absurdo Pois por hipótese f e g são contínuas Portanto fr gr r Q fx gx x IR Questão 3 Seja f IR IR continua em IR tal que fr 0 r Q Então fx 0 x IR Prova seja f IR IR contínuo tal que fr 0 r Q Suponha que exista y IR tal que fy 0 Como y IR Q Q é denso em IR existe uma sequência yn Q tal que lim yn y Do fato yn Q segue fyn 0 n IN mas fy 0 Logo fy fyn e portanto f não é contínua Contradição Pois por hipótese f é contínua Portanto fx 0 x Q e x IR Questão 4 px x4 7x3 9 possui pelo menos das raízes reais Solução Observe que f1 1 0 f2 63 0 A função f muda de sinal no intervalo 1 2 logo f1 0 f2 e pelo Teorema Valor intermediário existe c 1 2 tal que fc 0 Agora o mesmo ocorre no intervalo 7 2 Ou seja f7 0 f2 Então existe c 7 2 tal que fc0 Portanto px possui ao menos das raízes reais Questão 5 Algum número somado a 1 é exatamente igual ao seu cubo Solução Seja x um número real tal que x somado a 1 é exatamente igual ao seu cubo ou seja x deve satisfazer a equação x 1 x³ ou ainda x³ x 1 0 Portanto estamos procurando um zero da função contínua fx x³ x 1 Observe que a função f muda de sinal no intervalo 1 2 Pois f1 1 0 e f2 5 0 Logo f1 0 f2 Então pelo teorema do valor intermediário existe c 1 2 tal que fc 0 Portanto existe algum número real que somado a 1 seja exatamente ao seu cubo Questão 6 Sejam f g a b ℜ contínuas tais que fω gω e fb gb Então fx gx em ω b Prova Sejam f g contínuos em ω b tais que fω gω e fb gb Em particular contínua em x ω b Seja δ₁ 1 Logo existem a₁ b₁ tais que a₁ x δ₁ e b₁ x δ₁ onde fω₁ gω₁ e fb₁ gb₁ Seja δ₂ 12 Assim existem ω₂ b₂ tais que ω₂ x δ₂ e b₂ x δ₂ onde fω₂ gω₂ e fb₂ gb₂ Procedendo desta maneira obtemos δ 1n onde existem ωₙ bₙ tais que ωₙ x δ e bₙ x δ onde fωₙ gωₙ e fbₙ gbₙ Ou seja encontramos duas sequências ωₙₙ ℕ e bₙₙ ℕ onde ωₙ x e bₙ x como f e g são contínuos em x ω b segue fωₙ gωₙ e fbₙ gbₙ lim fωₙ lim gωₙ e lim fbₙ lim gbₙ n n n n fx gx e fx gx Logo fx gx com x ω b Questão 7 Se fx 0 e lim xc fx r Então lim xc fx r Prova Seja fx 0 e lim xc fx r Temos lim xc fx r Tomando a raiz em ambos os lados temos lim xc fx r Logo por propriedade de limite segue lim xc fx lim xc fx Então lim xc fx r Questão 8 Mostre que a função fx x² definida em x d é Lipschitziana mas fx x² definida em não é Prova fx x² definida em x d é Lipschitziana Dados x y pertencentes ao domínio de f então fx fy x² y² xyxy xyxy por propriedade da móab xyxy 22xy 4xy Portanto fx x² definida em x d é Lipschitziana fx x² definida em não é Lipschitziana Em f não é uniformemente continua Tome ɛ 1 Para qualquer δ 0 escolhido podemos tomar x 1δ e y x δ2 logo xy δ Mas fx fy x δ2² x² xδ δ²4 xδ 1 Portanto fx x² não é Lipschitziana em Questão 9 f A IR Função definida em A com fx 0 x A Se lim xc fx L Então lim xc 1fx 1lim xc fx Prova Por propriedade de limite temos lim xc 1fx lim xc 1 lim xc fx 1lim xc fx pois limite de constante é igual a constante 1L pois lim xc fx L Portanto lim xc 1fx existe e é igual a 1L Além disso lim xc 1fx 1lim xc fx Questão 10 f ab IR uma função contínua Então f é limitada Prova Seja f ab IR uma função contínua no intervalo fechado e limitado ab Suponha por contradição que f não seja limitada superiormente Logo para cada n IN existe xn ab tal que fxn n Pelo Teorema de BolzanoWeierstrass encontramos uma subsequência xnj de xn convergindo para algum x ab isto é xnj x Como f é contínua temos fxnj fx Logo a sequência fxnj é limitada contradizendo o fato de que fxnj nj Portanto f é limitada superiormente Analogamente provamos que f é limitada inferiormente Portanto f é limitada Questão 11 Seja f I IR uma função contínua e monótona no intervalo I Então f¹ fI IR é contínua Prova Suponhamos sem perda que f I IR seja uma função contínua e crescente no intervalo I Como f é contínua e I é um intervalo então fI é um intervalo Logo f¹ fI IR também é crescente Para mostrar que f¹ fI IR é contínua considere um ponto x0 fI e uma sequência xn em fI tal que xn x0 Devemos mostrar que f¹xn f¹x0 Tome ε 0 e mostramos que existe no IN tal que f¹x0 ε f¹xn f¹x0 ε se n no Como f¹x0 I podemos escolher ε 0 de modo que o intervalo aberto f¹x0 ε f¹x0 ε esteja contido em I Em particular f¹x0 ε f¹x0 f¹x0 ε e como f é crescente obtemos f f¹ x₀ ε x₀ f f¹ x₀ ε Pois f f¹ x₀ x₀ Como xn x₀ existe no IN tal que f f¹ x₀ ε xn f f¹ x₀ ε para n no como f¹ fI IR é crescente obtemos f¹ f f¹ x₀ ε f¹ xn f¹ f f¹ x₀ ε para n no ou seja f¹ x₀ ε f¹ xn f¹ x₀ ε para n no provando que f¹ xn f¹ x₀ Portanto f¹ é contínua Questão 12 f 0 IR função positiva ie fx 0 x 0 Prova lim fx se e só se lim 1fx 0 x x Prova Suponta que lim fx Então x lim 1 1 1 0 x fx lim fx x Reciprocamente suponta que lim 1 0 Logo x fx ε 0 A 0 x 0 x A 1fx ε ou seja 1ε fx Logo lim fx x Questão 13 f 01 IR continua Suponta fx e Q para qualquer x 0 1 e que f0 1 Mostre que f 1 Prova Suponta que f0 1 como o é IR Q Q é denso em IR existe uma sequência xn c Q tal que xn 1 Logo fxn 1 fx x on1 Portanto f 1 Questão 14 Seja I um intervalo qualquer uma função f I IR é Lipschitziana se M0 tal que fx fy M x y xy I Mostre que f é contínua em I Prova Dado ε 0 seja δ ε M Então xy I tal que x y ε M temos fx fy M x y pois f é Lipschitziana M ε M ε Logo f é uniformemente continua e portanto continua Questão 15 Seja I um intervalo uma função f I IR é Holder se existem α M 0 tais que fx fy M x y α xy I Mostre que f é contínua em I Demonstração Dado ε 0 tome δ ε M 1α tal que xy I x y Temos fx fy M x y α M ε M 1αα M ε M ε Logo fx fy ε Portanto f é uniformemente continua Questão 16 Seja f I IR uma função contínua e injetiva definida em um intervalo I Prove que f é uma função crescente ou uma função decrescente Prova Primeiro suponha que I ab é um intervalo limitado e fechado Considere que fa fb Mostraremos que f é crescente Suponha que f não é crescente então existem pontos xy e ab tais que x y e fx fy Logo há duas possibilidades fx fy ou fx fy 1 Caso fa fy Como fx fy então fa fy fx Logo pelo teorema do valor intermediário existe c e ax com fc fy Contradição Pois f é injetiva 2 Caso fa fy Como fa fb então fy fa fb Novamente pelo teorema do valor intermediário existe c e yb com fc fa Contradição Pois f é injetiva Portanto toda função real contínua e injetiva definida em um intervalo é crescente ou decrescente Questão 17 Sejam f I IR e g I IR duas Funções contínuas definidas em um intervalo I Mostre que hx maxfx gx kx minfx gx são contínuas em I Prova Sejam f g funções contínuas Dado ε2 0 existem δ1 0 δ2 0 tais que x a δ1 fx f0 ε2 x a δ2 gx g0 ε2 Considere hx maxfx gx e kx minfx gx x I Tomando δ min δ1 δ2 x I com x a δ devemos mostrar que hx h0 ε e kx k0 ε sabendo que maxfx gx 12 fx gx fx gx Temos hx h0 12 fx gx fx gx 12 f0 g0 f0 g0 12 fx gx f0 g0 fx gx f0 g0 12 fx f0 gx g0 fx gx f0 g0 12 fx f0 gx g0 fx gx f0 g0 12 fx f0 gx g0 fx f0 gx g0 12 fx f0 gx g0 fx f0 gx g0 12 2fx f0 2gx g0 fx f0 gx g0 ε2 ε2 ε Logo h é contínua Agora como min fx gx 12 fx gx 1fx gx temos kx k0 12 fx gx 1fx gx 12 f0 g0 1f0 g0 12 fx g0 gx g0 f0 g0 1fx gx 12 fx f0 gx g0 f0 g0 fx gx 12 fx f0 gx g0 f0 fx gx g0 12 fx f0 gx g0 1 fx f0 gx g0 12 fx f0 fx f0 gx g0 gx g0 12 2fx f0 2gx g0 fx f0 gx g0 ε2 ε2 ε Portanto k também é contínua