Equações Diferenciais Ordinárias

PRIMEIRO BLOCO DE EXERCÍCIOS CMA12LF HIGOR ROSENBERGER Universidade Federal do Paraná Contato higorrosenbergerufprbr 1 Sumário Sumário 2 1 Primeiro Exercício 3 11 O que é sin 3 12 Como calcular sin x 4 121 O que é uma Sequência 4 122 O que é uma Série 5 13 A função cos x 10 14 sin cos 13 15 sin2 x cos2 x 14 2 Segundo Exercício 19 3 Terceiro Exercício 20 4 Quarto Exercício 22 1 PRIMEIRO EXERCÍCIO Demonstrar o seguinte teorema TEOREMA 11 Dado um triângulo retângulo de cuja medida da hipotenusa é c e as medidas dos catetos são a e b Então sin α bc Para provar esse teorema é necessário responder uma série de perguntas Sendo a primeira delas o título da próxima seção 11 O QUE É sin DEFINIÇÃO I sin ℝ ℝ x sinx tal que d²dx² sinxsinx 0 e sin0 0 e ddx sinx x0 1 Portanto sinx é uma função definida por uma equação diferencial e duas condições de contorno uma dessas estabelecendo que a imagem da função sinx para x0 é 0 Mas a questão agora é como calcular sinx para qualquer x 12 Como calcular sin x Partindo da Definição I temos d2 dx2 sin x sin x 0 d2 dx2 sin x sin x Observe que ao derivarmos ambos os lados da equação temos d3 dx3 sin x d dx sin x Ao derivarmos n vezes teremos dn2 dxn2 sin x dn dxn sin x Ou seja a função sin x admite derivada de ordem m sendo m n 1 No entanto sendo n um inteiro estritamente positivo m também o é Portanto a função sin x é de classe C Uma função f é dita de classe C sss f admite derivada de ordem n para qualquer n inteiro estritamente positivo Se sin x é uma função de classe C então seguese o seguinte teorema TEOREMA 11 Toda função definida por uma série de potências é de classe C Naturalmente surgem as seguintes perguntas o que é uma série O que é uma série de potências Todavia uma série nada mais é que um caso particular de sequência e é por aí que navegaremos agora 121 O que é uma Sequência DEFINIÇÃO II x é uma sequências sss x é uma função com domínio de racionais que copiam ω Uma sequência racional por exemplo é uma sequência cujas imagens são número racionais Sendo x uma sequência resta saber se ela converge ou não DEFINIÇÃO III xn L ε 0δ 0n δ xn L ε Onde ε δ n L xn e 0 são racionais e L é chamado limite da sequência x Lemos xn L como xn converge para L Uma vez que a fórmula xn L ε equivale à fórmula xn L ε L ε então uma sequência racional xn converge para L equivale a dizer que existe um δ de modo que para qualquer n δ as imagens da sequência ficam confinadas no intervalo L ε L ε 122 O que é uma Série DEFINIÇÃO IV Seja x uma sequência cujas imagens são xn A soma parcial de Sn de x é definida como Sn x1 x2 xn n i1 xi DEFINIÇÃO V Dada uma sequência xn a série xn é a sequência de somas parciais Sn de xn Ou seja uma série é uma nova sequência formada por somas parciais de uma sequência xn DEFINIÇÃO VI Dada uma sequência xn sua série correspondente xn converge sss a sequência de somas parciais Sn de xn converge Caso contrário dizemos que ela diverge DEFINIÇÃO VII SÉRIES DE POTÊNCIAS f ℝ ℝ x fx an xn fx a0 a1 x a2 x² a3 x³ an xn assumindo a convenção x⁰ 1 Já que a função sin pode ser representada como um série de potências então sinx a0 a1 x a2 x² a3 x³ a4 x⁴ a5 x⁵ a6 x⁶ i0 an xn sinx a0 a1 x a2 x² a3 x³ a4 x⁴ a5 x⁵ a6 x⁶ ddx sinx a1 2a2 x 3a3 x² 4a4 x³ 5a5 x⁴ 6a6 x⁵ 7a7 x⁶ i0 n an xn1 d²dx² sinx 2a2 32 a3 x 43 a4 x² 54 a5 x³ 65 a6 x⁴ 76 a7 x⁵ 87 x⁶ i0 n n1 Uma vez que estamos tratando de uma igualdade entre funções polinomiais esta igual dade somente é teorema se todos os coeficientes dos monômios de grau m de d2 dx2 sin x forem iguais aos coeficientes também de grau m de d dx sin x Portanto 1 a0 2a2 a2 a0 2 2 a1 3 2a3 a3 a1 3 2 3 a2 4 3a4 a2 a0 2 a4 a0 4 3 2 4 a3 5 4a5 a5 a1 5 4 3 2 5 a4 6 5a6 a6 a0 6 5 4 3 2 6 a5 7 6a7 a7 a1 7 6 5 4 3 2 7 a6 8 7x8 a8 a0 8 7 6 5 4 3 2 Dentro da teoria de conjuntos ZermeloFraenkel existem apenas duas regras de inferência Modus Ponens M e Generalização G Neste momento falaremos apenas da primeira Sendo P e Q fórmulas e x uma variável então MP P Q Q Lêse que Q é a consequência imediata de P e de Q Há aqui a ocorrência de três fórmulas e uma regra de inferência Portanto Modus Ponens é um exemplo de silogismo É possível inferir uma nova fórmula Q a partir de P e P Q ou seja Modus Ponens confere caráter dedutivo ao condicional Podemos aplicando Modus Ponens recursivamente demonstrar teoremas a isto damos o nome de indução infinita Portanto podemos utilizar indução na obtenção dos coeficientes an acima e evitar a notação por reticências que é pouco usual Portanto para os an pares temos a2 a0 2 1 a4 a2 4 3 1 a0 2 1 4 3 a0 4 3 2 1 a6 a4 6 5 1 a0 4 3 2 1 1 6 5 a0 6 5 4 3 2 1 a8 a6 8 7 1 a0 6 5 4 3 2 1 1 8 7 a0 8 7 6 5 4 3 2 1 Ou seja a2n 1n a0 2n Podemos provar a fórmula acima através de indução Para os an ímpares temos a3 a1 3 2 1 a5 a3 5 4 1 a1 3 2 1 1 5 4 a1 5 4 3 2 1 a7 a5 7 6 1 a1 5 4 3 2 1 1 7 6 a1 7 6 5 4 3 2 1 a9 a7 9 8 1 a1 7 6 5 4 3 2 1 1 9 8 a1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ou seja a2n1 1n a1 2n 1 Ou seja a partir da igualdade anterior conseguimos escrever os coeficientes de sin x a a partir de somente dois outros coeficientes a0 e a1 Assim a função sin pode ser escrita como sin x n0 1n a1 2n 1x2n1 n0 1n a0 2nx2n No entanto observe que sin0 0 Portanto a0 a1 0 a2 0² a3 0³ a4 0⁴ a5 0⁵ a6 0⁶ 0 a0 0 De mesmo modo como ddx sinx x0 1 Temos que a1 2a2 0 3a3 0² 4a4 0³ 5a5 0⁴ 6a6 0⁵ 7a7 0⁶ 1 a1 1 Dessarte sinx 0 1 x 02 x² 13 x³ 04 x⁴ 15 x⁵ 06 x⁶ sinx x x³3 x⁵5 x⁷7 x⁹9 Ou melhor dizendo sinx sinx n0 1n 12n1 x2n1 n0 1n 02n x2n n0 1n x2n12n1 Agora precisamos provar que para qualquer real x sinx converge TEOREMA 11 Seja xn a série correspondente a sequência real xn Logo se limn xn1xn 1 então xn é convergente Este teorema dentre os critérios de convergência é conhecido como Critério da Razão TEOREMA 12 sinx Σ from n0 to 1ⁿ x2n12n1 converge para todo x real DEFINIÇÃO VIII sin R R x cosx tal que d²dx² cosx cosx 0 e cos0 1 e ddx cosxx0 0 Portanto cosx também é uma função definida por uma equação diferencial e duas condições de contorno uma dessas estabelecendo que a imagem da função cosx para x0 é 1 E semelhantemente a função sinx é possível calcular cosx para qualquer x Partindo da Definição VIII temos d²dx² cosx cosx 0 d²dx² cosx cosx Observe que ao derivarmos ambos os lados da equação temos d³dx³ cosx ddx cosx Ao derivarmos n vezes teremos dn2dxn2 cosx dⁿdxⁿ cosx Ou seja a função cosx admite derivada de ordem m sendo m n 1 No entanto sendo n um inteiro estritamente positivo m também o é Portanto a função cosx é de classe C assim como a função sinx Já sabemos que uma função f é dita de classe C sss f admite derivada de ordem n para qualquer n inteiro estritamente positivo e sendo cosx uma função de classe C então pelo Teorema 11 sabemos também que cosx pode ser representada por uma série de potências Já que a função cos pode ser representada como um série de potências então cosx a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 a6x6 cosx a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 a6x6 d dx cosx a1 2a2x 3a3x2 4a4x3 5a5x4 6a6x5 7a7x6 d2 dx2 cosx 2a2 3 2a3x 4 3a4x2 5 4a5x3 6 5a6x4 7 6a7x5 8 7x8x6 Agora analogamente a função sin x teremos que a igualdade d2 dx2 cos x cos x implica em 2a2 3 2a3x 4 3a4x2 5 4a5x3 6 5a6x4 7 6a7x5 8 7x8x6 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 a6x6 Então 1 a0 2a2 a2 a0 2 2 a1 3 2a3 a3 a1 3 2 3 a2 4 3a4 a2 a0 2 a4 a0 4 3 2 4 a3 5 4a5 a5 a1 5 4 3 2 5 a4 6 5a6 a6 a0 6 5 4 3 2 6 a5 7 6a7 a7 a1 7 6 5 4 3 2 7 a6 8 7x8 a8 a0 8 7 6 5 4 3 2 Analogamente ao que fizemos para sin podemos escrever cos como cos x n0 1n a1 2n 1x2n1 n0 1n a0 2nx2n Ou seja a partir da igualdade anterior conseguimos escrever os coeficientes de cosx a a partir de somente dois outros coeficientes a₀ e a₁ No entanto observe que cos0 0 Portanto a₀ a₁ 0 a₂ 0² a₃ 0³ a₄ 0⁴ a₅ 0⁵ a₆ 0⁶ 0 a₀ 0 De mesmo modo como ddx cosx x0 1 Temos que a₁ 2a₂ 0 3a₃ 0² 4a₄ 0³ 5a₅ 0⁴ 6a₆ 0⁵ 7a₇ 0⁶ 1 a₁ 1 Portanto temos cosx 1 0 x 12 x² 03 x³ 14 x⁴ 05 x⁵ 16 x⁶ cosx 1 x²2 x⁴4 x⁶6 ou cosx Σ n0 to 1ⁿ 02n1 x2n1 Σ n0 to 1ⁿ 12n x2n Σ n0 to 1ⁿ x2n2n 14 sin cos Note que ddx sinx ddx x x³3 x⁵5 x⁷7 x⁹9 ddx sinx 1 x²2 x⁴4 x⁶6 cosx E que ddx cosx ddx 1 x22 x44 x66 ddx cosx x x33 x55 x77 x99 sinx d2dx2 sinx Note que a equação diferencial d2fdx2 f 0 por si admite infinitas soluções a depender das condições de contorno como por exemplo a função constante fx 0 para as condições de contorno f0 0 e dfdxx0 0 No entanto definidas as condições de contorno f0 alpha e dfdxx0 beta teremos uma solução única expressa por uma combinação linear de sin e cos Ou seja o espaço de soluções da equação diferencial d2fdx2 f 0 é um espaço vetorial real cuja base canônica é sin cos A subseção seguinte tem por objetivo examinar resumidamente a última frase destacada em negrito 15 sin2x cos2x Considere agora as seguintes funções f R R x fx sin2x g R R x gx cos2x Portanto dfdx ddx sin2x dfdx 2 sinx cosx dg dx d dxcos2 x d f dx 2 sin x cos x Isso implica que a função 2 sin x cos x admite como primitiva tanto sin2 x c1 quanto cos2 x c2 Ou seja essas primitivas deferemse apenas por uma constante c Logo sin2 x cos2 x c sin2 x cos2 x c No entanto a fórmula acima deve ser teorema para qualquer x real inclusive x 0 Ergo sin2 0 cos2 0 c 1 sin2 x cos2 x 1 Portanto podemos nos utilizar de uma parametrização amplamente conhecida em R2 Essa parametrização é constituída de uma função f xt yt x2 y2 c2 Essa função é a parametrização de uma circunferência de raio c em R2 Fazendo xt cos t yt sin t teremos uma circunferência de raio 1 em R2 cos α sin α sin α cos α o 1 Esse fato indica que sin2 x cos2 x é uma função periódica seguese disso que sin x deve ser periódica assim como cos x No entanto qual a periodicidade dessas funções Sabemos que uma função é periódica sss tx tx k Como as imagens de sin2 x cos2 x caminham sobre a circunferência no ponto 1 0 temos cos α sin α o 1 Como a projeção é totalmente sobre o eixo cos α sin α 0 e cos α 1 No entanto note que após dar uma volta completa sobre a circunferência voltaremos ao ponto 1 0 onde sin α 0 e cos α 1 novamente Podemos dar quantas voltas quisermos que ao pararmos em 1 0 sin α 0 e cos α 1 novamente Entretanto uma volta completa em torno de uma circunferência equivale ao próprio comprimento da circunferência dado por 2πr em nosso caso como o raio é unitário uma volta completa equivale a 2π Dessarte k volta equivale a 2πk Portanto cos α cos α 2πk e sin α cos α 2πk Dessa maneira um certo αi equivale a um arco da circunferência de raio unitário e pode ser interpretado como a medida em radianos do ângulo entre do x e cos α ou a medida do ângulo entre do x e sin α cos α sin α sin αi cos αi o do x 1 αi αi Dessarte teremos cos αi sin αi 1 αi Adotamos o valor absoluto da imagem das funções sin e cos como medida dos la dos por conta da definição de Métrica onde dx y 0 Para um triângulo de hipotenusa c e catetos a e b temos cos αi sin αi 1 a b c αi Portanto sin αi b cos αi a 1 c sin αi b c Como se queria demonstrar 2 Segundo Exercício Provar a equivalência entre os seguintes sistemas de equações acopladas de primeira ordem dX dt FX e i de dt GX e i di dt HX e i dX di FX e i HX e i de di GX e i HX e i dt di 1 HX e i Utilizaremos o seguinte teorema TEOREMA 21 Sejam f f t e g gx t funções reais diferenciáveis com relação a t e x que admitem composição f g Logo f é diferenciável com relação a x e d f dx d f dt dt dx Portanto seja iX e i hX e i então dh di dh dt dt di Assim dt di dh di dh dt No entanto hX e i iX e i O que implica em dt di di di di dt Portanto seja f t uma função tal que f c c temos didi dditi ft lim h0 fih fih lim h0 ih ih lim h0 hh 1 Dessarte temos que dtdi didididt 1didt 1HXei Multiplicando dedt por dtdi teremos dedt dtdi GXei 1HXei No entanto pelo teorema 21 dedt dtdi dedi GXeiHXei Analogamente para dXdt dXdt dtdi dXdi FXeiHXei 3 TERCEIRO EXERCÍCIO Provar os seguintes teoremas TEOREMA 31 Sejam alpha e beta reais Logo sinalpha beta sinalpha cosbeta sinbeta cosalpha cosalpha beta cosalpha cosbeta sinbeta sinbeta Para isso primeiramente estenderemos as funções seno cosseno e exponencial ao corpo C dos complexos Assim sinix ix ix33 ix55 ix77 ix99 sinix ix i x33 i x55 i x77 i x99 Analogamente para cosseno cosix i ix22 ix44 ix66 ix88 cosix i i x22 i x44 i x66 i x88 Para exponencial expix 1 ix ix22 ix33 ix44 ix55 ix66 expix 1 ix x22 i x33 x44 i x55 x66 Rearranjando os termos expix 1 x22 x44 x66 i x x33 x55 x77 x99 Ou seja TEOREMA 32 TEOREMA DE EULER expix cosx i sinx Para continuarmos utilizaremos o seguinte teorema TEOREMA 33 Sejam alpha e beta números reais Logo expalpha expbeta expalpha beta Logo de acordo com o teorema 32 temos expialpha beta cosalpha beta i sinalpha beta Por outro lado expix expi beta cosalpha i sinalphacosbeta i sinbeta cosalpha cosbeta i cosalpha sinbeta i sinalpha cosbeta sinalpha sinbeta No entanto de acordo com o teorema 33 temos expialpha beta expix expi beta Portanto cosαβ i sinαβ cosα cosβ sinα sinβ i cosα sinβ sinα cosβ Comparando as partes reais e imaginárias obteremos as seguintes igualdades sinαβ sinα cosβ sinβ cosα cosαβ cosα cosβ sinβ sinβ 4 Quarto Exercício Seja a função f 0 ℝ t ft sinat Determinar ℒ ft Sabemos que a transformada ℒ Transformada de Laplace é um caso particular de transformada integral em que ℒft 0 est ft dt Fs ℒft 0 est sinat dt Fs Como esta é uma integral imprópria temos 0 est sinat dt limβ 0β est sinat dt Podemos nos utilizar da técnica de Integração por partes para calcularmos a integral acima 0β sinatest dt cosatest a0β 0β s cosatest a dt Integrando por partes novamente cosatest a0β sa² sinatest0β s 0β sinatest dt Note que pela transitividade da igualdade temos 0β sinatest dt cosatest a0β sa² sinatest0β s²a² 0β sinatest dt Ou seja 0β sinatest dt s²a² 0β sinatest dt cosatest a0β sa² sinatest0β 0β sinatest dt 1 s²a² cosatest a0β sa² sinatest0β 1 s²a² 0β sinatest dt cosatest a0β sa² sinatest0β Portanto 0β sinatest dt cosatest a0β sa² sinatest0β 11 s²a² Aplicando os limites de integração teremos 0β sinatest dt 11 s²a² cosaβesβ a cos0e0 a sa² sinaβesβ sin0e0 0β sinatest dt 11 s²a² cosaβesβ a 1a sa² sinaβesβ Substituindo no limite limβ 0β est sinat dt limβ 11 s²a² cosaβesβ 1a sa² sinaβesβ 11 s²a² limβ cosaβesβ 1a sa² sinaβesβ limβ cosaβesβ 0 e limβ sa² sinaβesβ 0 Dessa maneira ficaremos com 11 s²a² limβ cosaβesβ 1a sa² sinaβesβ 1a 11 s²a² 1a s²a aa² s² Pela transitividade da igualdade temos ℒft 0 est sinat dt aa² s² Com s 0 e como o domínio de ft é 0 a deve ser maior ou igual a 0 Demonstrar que sin α bc Vamos considerar uma função fxt yt x2 y2 c2 equação da circunferência de raio c Parametrizando xt cost yt sint coordenadas xy ou coordenadas polares Considerando c 1 circunferência de raio 1 Não estamos mais no plano xy cartesiano e sim no plano cost sint polares Como essa parametrização nos leva a uma circunferência podemos dizer que sin2t cos2t é uma função periódica ou seja tanto sent como cost devem ser periódicas Uma função é dita periódica quando tx tx k Vamos analisar a circunferência começando no ponto 10 onde cost 1 e sent 0 após uma volta completa 2πr paramos no mesmo ponto 10 após n voltas completam paramos em 10 então cost cost 2πrn r1 cost cost 2πn n é o numero de voltas e também sent cost 2πn Um cabo ti equivale a um arco da circunferência de raio r 1 Podemos escrever então o triângulo retângulo que está desenhado no esfero como Para um triângulo de hipotenusa c e catetos a e b Das razões de triângulos sentib costia 1c sentib 1c senti bc sinαi Assim provamos que sinα bc dXdt FXei II dedt GXei III didt HXei IV dXdi FXeiHXei V dedi GXeiHXei VI dtdi 1HXei Teorema Regra da cadeia Sejam fft e ggxt funções mais diferenciáveis com relação a x e t então f é diferenciável com relação a x dfdx dfdtdtdx Vamos usar a regra da cadeia para provar o que se pede Seja iXei hXei vem da equação III vamos derivar h com relação a i dhdi dhdtdtdi dhdidhdt dtdi mas como iXei hXei dhdt didt e dh di dhdi 1 assim dtdi 1didt Da equação III dtdi 1HXei provamos a equação VI Agora vamos derivar e com relação ai dedi dedtdtdi aplicando o teorema Sabemos quanto vale dtdi assim dedi 1HXei dedt Da equação II dedt GXei Então dedi GXeiHXei provamos a V Agora aplicando o teorema e derivando X com relação a i dXdi dXdtdtdi 1HXei equação VI FXei equação I Então dXdi FXeiHXei provamos a equação IV 3 α e β reais Provar que sinαβ sinαcosβ sinβcosα cosαβ cosαcosβ sinαsinβ Para provar essas relações trigonométricas vamos aplicar o teorema de Euler eix cosx i sinx eix cosx i sinx Teorema se α e β forem reais eα eβ eαβ Considerando x α β podemos aplicar o teorema Então substituindo em Euler eiα β cosα β i senα β ei α ei β cosα β i senα β Seja ei α cosα i senα ei β cosβ i senβ Então cosα i senα cosβ i senβ cosα β i senα β cosα cosβ i2 cosα senβ i senα cosβ i2 senα senβ cosα β i senα β cosα cosβ i cosα senβ i senα cosβ senα senβ cosα β i senα β Comparando as partes reais com as imaginárias cosα β cosα cosβ senα senβ senα β cosα senβ senα sinβ 4 Seja f 0 ℝ t ft sina t Determinar Lft A transformada de Laplace é dada por Lft 0 es t ft dt Fs Sabemos que ft sina t Assim Lft 0 es t sina t dt Fs Essa integral se estende por um intervalo infinito Então temos que utilizar o método de integrais impróprias Fs lim β 0β es t sina t dt Integrando por partes u sina t d v es t dt d u a cosa t dt v 1 s es t Assim if u d v u v if if v d u Fs Fs sina t 1 s es t 0β 0β es t s a cosa t dt Fs 1 5 es β sena β a 5 0β es t cosa t dt integrando novamente por partes l cosa t d m es t dt d l a sena t m 1 s es t Assim 0β es t cosa t dt cosa t 1 s es t 0β 0β 1 s es t a sena t dt 1 s cosa β es β 1 s a s 0β es t sena t dt Isso aqui é Fs 0β es t cosa t dt 1 s cosa β es β 1 s a s Fs Substituindo em Fs Fs 1 s es β sena β a 5 1 5 cosa β es β 1 5 a 5 Fs Fs 1 5 es β sena β a s2 cosa β es β a s2 a2 s2 Fs Fs a2s2 Fs 1s es β sina β as2 es β cosa β μ52 Fs1 a2s2 as2 es β cosa β as2 1s es β sina β Fs 11 a2s2 as2 es β cosa β as2 1s es β sina β Voltando no integral imprópria lim β 0 to β est sin at dt lim β Fs lim β 11 a2s2 as2 es β cosa β as2 1s es β sina β 11 a2s2 lim β as2 es β cosa β 11 a2s2 lim β as2 11 a2s2 lim β 1s es β sina β quando β es β e 0 Assim Fs lim β Fs lim β 11 a2s2 as2 1s2 a2s2 as2 Fs s2s2 a2 as2 Fs aa2 s2 Sendo assim a Fs Lft Lft aa2 s2