Lista 1 Limites e Continuidade com Gabarito-2023 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1 Lista 1 LIMITES E CONTINUIDADE Parte 1: exercícios do livro do Stewart 8ª edição • Seção 2.2: 4, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 31, 33, 34, 35, 38, 40, 52. • Seção 2.3: 10, 11, 15, 19, 20, 22, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 37, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 49, 51, 52, 62, 64. • Seção 2.4: 13, 15, 17, 19, 20, 21, 25, 27, 37. • Seção 2.5: 17, 18, 19, 20, 23, 35, 39, 45, 46, 53, 54, 55, 69, 71. • Seção 2.6: 3, 6, 9, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 38, 42. Parte 2: exercícios extras NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE, LIMITES LATERAIS 1. Para a função g de gráfico determine os seguintes limites ou explique por que eles não existem. (a) lim x→1g(x) (b) lim x→2g(x) (c) lim x→3g(x) (d) lim x→2,5g(x) 2. Decida entre as afirmações abaixo sobre a função f quais são verdadeiras e quais são falsas. (a) lim x→0f(x) existe (b) lim x→0f(x) = 1 (c) lim x→0f(x) = 0 (d) lim x→1f(x) = 1 (e) lim x→1f(x) = 0 (f) lim x→x0f(x) existe em todo ponto x0 no intervalo (−1, 1). 3. Decida quais afirmag6es a seguir sobre a fungao f representada no grafico sao verdadeiras e quais sao falsas. y y =flx) 1 x -1 -l -2 (a) lim f(z) nao existe (c) im F(@) =-1 (b) lim f(x) = 2 (d) lim f(x) = —2 LQ x1 . _j 3-2, sex<2 4. Seja [(x) = { 5 +1, sex> 2. (a) Determine lim f(x)e lim f(z). (c) Determine lim f(a)e lim f(z). a—2t xr—>2- xt xz—4- (b) Existe lim, f(a)? Justifique sua resposta. (d) Existe him, f(x)? Justifique sua resposta. na x2 5. Mostre, usando a definicgao formal (ou seja, via € e 6) que lim f(a) = I nos casos seguintes. «rw-p (a) f(@@) =4%—-3, p=2,1=5 (c) f(x) =—2*, p=0,1=0 1 (b) f(z)=a2+1,p=1,l=2 (2) f(@)=—,p=1,l=1 LIMITES E OPERACOES ALGEBRICAS 6. Dado que lim, f(a) =4, lim, g(x) = —-2e lim, h(a) = 0, encontre, se existir, cada um dos limites abaixo. Caso nao exista, explique o «> «wz «rw porqué. (a) lim[5 f(x) + 9(2)] (c) lim JF) (6) tim 22) a2 2h(x) . 3f(«) . g(x)h(x) i 3 d) lim —~ lim. ——— (b) lim[g(@)] (4) lim, g(a) (f) jim F(a) 7. Mostre através de um exemplo que lim f(a)g(x) pode existir sem que lim f(a) e lim g(x) existam. Lp xL—+>p xL—+>p 8. Dé exemplo de uma fungao f tal que lim | f(x)| exista mas lim f(a) nao exista. xp xL—+>p CONTINUIDADE, NOCAO INTUITIVA 9. Esboce o grafico da funcao dada e, utilizando a ideia intuitiva de fun¢ao continua, determine os pontos em que a funcao devera ser continua. (a) f(x) =2 _ JS g sela|>1 (i) f(z) =23 -1 b 1 Ors 2, se [al <T In(x +1) +1 >0 v)=at+ . nix+1)+1, sex = 0. ©) le) (f) f(a) = se, se |r] >1 (3) Hey= {me sex <0 (c) f(a) = 2? 1, se |z| <1 , : x, sex <1 (9) f(x) =F (k) f(a) = Va +7, sex > 1. (1) f=) oO sers1 (h) f(x) =22 +2 2, sex <1. 2 CALCULO DE LIMITES VIA CONTINUIDADE 10. Calcule e justifique. Solugao do item (a): A funcdo f(x) = x? € continua em x = 2 e, portanto, lim a? = f(2) =4. aw (4) tim x? (®) lim vasa +d (0) lim va- V3 v3 (b) lim3x +1 gg mos as vl (3) iim 3 i x +3a—1 (c) lim 4a + 1 ‘ 2g (P) a0 242 ax _ . ve (4) lim 5 (k) Imo (q) lime" 2 : . -9 . (e) lim ,50 (1) in — 5 (r) Jim sen(« + sen(x)) f) lim —2?—-27+3 2 (f) lim | (m) im da? — 1 (s) in, + Vz (9) lim Va L+5 24-1 xu Vota @ . _ fe- v3 L- Va 3 t) 1 —— (h) im We () Jn 3 1) Pagaresen | CALCULO DE LIMITES 11. Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se nao existir, justifique. _ |e — | (c) lim /z a? —2a+1 lim . (a) rolt a wo (e) jm . je-l _ |e l{ . |e ll b) lim —— — — (>) tim pd (2) Im (f) Imo _ f(x) — fQ) _ jf w+i1,ser>1 (9) im. xr-l1 ’ em que f(a) = 2x, sex<1 _ f(x) — f) _j a+i1,sexr>l (h) jim x—1 sem que f(x) = 2a, sex<l1 . . xe+a—6 12. (a) O que ha de errado na equagao a seguir? ap = 2 +3 2 24 (b) Em vista de (a), explique por que a equacdo lim wrest = lim x + 3 est correta. r>2 e¢-2 x2 LIMITES DE FRACOES RACIONAIS E OUTROS: 13. Calcule: — +1 _ («+h)—2 . a —1 . . ep? (a) lim a (4) lim —_, —— (9) lima 3p ann (J) in, > 2 _ 4 Je + 2 lim —? h) lim —V2> V7 im V2? 0) Images pat ee 0 aro ert - va) lt a 3 2 11 (<) fina + 3ch (f) jim, x4 —5a—6 (*) jim, x—2 14. Calcule os limites: . 3/a+1 . Vvx2+3-2 . w~7e+7-2 . vV3r+5-2 (a) lim ¢/—— (b) lim —_,—— (c) lim ———_— (d) lim —,—_— z>-1\¥ a+1 zl g7—1 zal a-—1 zol 2 1 LIMITES FUNDAMENTAIS: 15. Calcule os limites: 3 . tga _ sen(3zx) cos (a + 2) 3x? a) lim —— lim —— se TG wy ON ( ) a0 2 (¢) a oo0 x (e) tm r— 3 (9) lim tam sen = x sen & x? d) tim <7* im —— (b) iim sen x (4) core Tt (f) jim, sena 4 16. Calcule os limites: __ sen(4x) sen(x* — 1) 1 — cos(2x? — 2) a. & + sen x aes im wm 2) lim ————— (a) iim 30 (c) iim rol (f) iim rl (®) «+02? — sen x _ te(az) _ 1l-cosa . 1... 1—cos(2zx3) re\G) lim ——— 2 COME (d) iim x (9) 20 (3) lim 1 — cos(zx3) _ sen(az) sen? (x /2) tg(x) + 2a b) lim ———~,b#0. im im 2 ) IM sen(bry’?*% —— (e) Jim — (h) lim TEOREMA DO CONFRONTO: 17. Sabendo que 1 — cos?(x) < f(x) < x? para todo x € (— $,4), obtenha lim, f(z). 2 . . . 2 x? —1 , . 2 18. Seja f uma fungéo definida em R tal que, para todo x 4 1, —7*+3a < f(a) < yo Faca o grafico das fungdes g(x) = —a*+3x 2 2 —1 e h(x) = “Em seguida, calcule lim f(x) e justifique. xz—1l x1 19. Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo. sen (8) 304g (2) (6) tim . . 1\ . 20. Verifique que limsen (;) nao existe. xz—0 x 5 — f(0 21. Calcule, caso exista, lim f(x) = £0) em que f é dada por: x0 Le 0 x + sen (+) sex #0 x sen (+) sex #0 (a) f(z) = av)’ (0) f(x) = x)’ 0, sex =0 0, sex =0 , . 2x sex<l . ~ oe , 22. Faga o grafico da fungao f(a) = 1 ser ol. Em seguida, mostre que f nao é continuaem x = 1. . ~ ue + 1, sex>0 , , 23. Verifique se a fungao f(x) = { 1, sere g © continua em a = 0. 24. Dé exemplo de uma fungao definida em R que seja continua em todos os pontos, exceto em —1, Oe 1. 25. Determine L para que a fungao dada seja continua no ponto dado.Justifique. Em seguida esboce 0 grafico da fungao. x —8 z—5 2 ———, sexF5 (a) fe) =4 a2? °**? emp=2 (©) fa)=) Ye Ve"? emp=s L, sex =2 L, sex=5 va - v3 (*) Fe)=4 “gos ***% emp=3 L, sex=3 26. Encontre um valor para a constante /;, quando possivel, para que a funcdo seja continua em R. —64+2, sex<2 _ f 2a? -4r +3, sex>0 (a) fa) = { —kx?, sex>2 (b) re) ={ zu? — da +k, sex <0 27. Decida se as afirmacgées seguintes sao verdadeiras ou falsas. Justifique aquelas que forem falsas com um contraexemplo. (a) Se lim f (a) existe, entao f é continua. @2 (b) Se lim. f(x) = f(1) existe, entao f é continua. x1 (c) Considere f(a) = sena e suponha que lim g(a) = L, entéo lim (f o g)(a) = sen(Z). La “za 28. Calcule os seguintes limites: . 1 2_9 3 Jad (a) lm >= (d) lim mente (g) lim ve tt @L>-0OL x —00 3? t+a+1 z—>too 384+ 2 1 3 273 +1 (h) lim a2—vVa?41 L—>—0O ~L—>—0o cf ue + 20 + (i) tim e—-Vr2+1 (c) lim aot (f) lim @/ =". (j) lim Ve+1—-Vx+3 asto r7+3 w——Oo x +3 «+00 29. Calcule os seguintes limites: . 3 4 (a) lim a*—3xr+2 _ oa” —6r+1 . x —22+3 2-00 (d) lim ———— (f) lim ——— rotoo 6r2 +e +3 r>—oo 3x4 + 7x — 1 (db) lim 5-42 +2?-—2° ~ “ee ” * * «wL—->+00 5a3 + Tx — 3 2+ . 3 . . (c) _ im bur ae I (e) _ im v4 — 2443 (9) m3 +a? 30. Calcule os limites: . 2t+1 . a+4 Vr2 +4 . 4s? +3 (a) lim (2) lim Br 5 (9) lim ad (@) tim ood . 2a +7 2y? — 3y 6a — 4 2 . 7x — 24 +1 1+ 5x 2_ 97 +45 ce) lim ——WH— : 1 di ae . x a+ () lim Sayacrs () lim, (20 + ) (i) tim 5 tim BPE 48 6 31. Calcule os limites: toto £+3 (b) lim ee) (e) jim x — V3u? +2 (h) lim Vrt+J/r-Vr—1 a >too Yr—] x oe &%—+00 (c) lim 2a —Vx2+3 (f) lim -—a2—-V3a?+2 (i) lim x— V¥2+ 323 xL—>+00 L—+>—oCo L—+--CO 32. Calcule os limites: 5 x—3 2% +3 24 +1 lim =—— lim —— lim —— lim —— 0) aa 0 (6) Ppa () ba 1 3 x? — 3x 3a —5 b) lim — d) lm —— lin ———— h) lim ———— OM 0 Pa UW) MN. Or +9 ) Ma? + Be 4 33. Dé um exemplo de funcées f e g tais que lim f(x) = +0, lim g(x) = +o0e lim f(x) —g(x) 4 0. Represente graficamente xL—>+00 L—>+00 LOO feg. 34. Dé um exemplo de fungées f eg taisque lim f(a) =-+00, lim g(x) =+coe lim fa) # 1. Represente graficamente f e g. xw—->+00 xw—->+00 xw—->+00 g(x) 35. Associe cada um dos itens abaixo ao seu respectivo grafico. a 4 (a) | (0) ; | | (c) ‘| (d) , + — jj =o. j _ (i) lim (f(z) = lim, f(z) =0, lim f(x) = —00; (it) lim g(x) #towe2< _ lim 9(2) <4; (iz) limy-540 p(x) = +003 (iv) jm, h(a) = jm h(x), im, h(a) = 0. 36. Esboce o grafico de uma fungao f que satisfaga as seguintes condigGes: (a) f(0) =0, #1) =2, (1) = -2, im f(a) =-1e lim f(r) =1. b = li = li =0, li =2e li =-2. (b) f(0) =0, lim f(z) =0, lim f(z) =0, lim f(x) =2e lim f(z) 37. Calcule os limites: (a) lim e () lim (2* 3") (c) lim 2" +2-*) (b) lim (0,18) (a) lim_2- (f) lim _(2* +2-*) 7 38. Calcule os limites: . . x . a? —1 (a) fm, logs 7 (c) _ lim. In u+ 1 (e) iim In xr—1 (b) jim, log: x (d) im, [In(2xz + 1) — In(aw 4+ 3)] . 1\* 39. Sabendo que lim {1+ —] =e, calcule: t—+too x 1 nt+5 . r x (c) lim (1 + cos x) 1/08 # . 5” —25 @) lim. (145) 0 im (5) 8/2 Ae 40. Seja f(x) = x° + x + 1. Use 0 Teorema do Valor Intermediario para verificar que f tem pelo menos uma raiz no intervalo [—1, 0}. 41. Mostre que a equacao x? — 4x + 2 = 0 tem trés rafzes reais distintas. 42. Seja f(x) = 2x. Pensando geometricamente, qual o valor que vocé espera para f’(p)? Calcule f’(p). 43. A reta tangente ao grafico de uma fungao f no ponto (0, —1) passa pelo ponto (1,1). Determine f’(0). 44, A curva de equacdo y = ¥/z passa pelos pontos P = (1,1) e Q = (2, #/z). Determine a inclinagao da reta que liga Pe Q. — f(-2 45. Calcule lim fla) = f(=2) em que f é a funcao de grdfico: a>—-2 7 (—2) y (0, 2) (6, 2) y=f(x) x (—4, 0) 0 6 (1, -2) (4, -2) Em seguida, encontre os valores de x para os quais nfo existe f’(x). 46. Calcule f’(p), pela definigao, sendo dados: f(v)=x? +a f(a) = Va _+ _t (a) () () IM =F () IMB p= p= p=2 p=2 8 Gabarito 1. (a) No existe, pois lim g(x) 4 lim g(x) (c) 0 i alt 1 d) = (6) 1 (a) 5 2. (a) Verdadeiro (c) Verdadeiro (e) Falso (b) Falso (d) Falso (f) Verdadeiro 3. (a) Falso (b) Falso (c) Verdadeiro (d) Verdadeiro 4. li =2e li =1 li =8e li =3 (a) lim f(x) =2e lim f(z) (c) lim f(z) =3e lim f(z) (b) Nao, pois os limites laterais sao diferentes. (d) Sim, pois os limites laterais sAo iguais. 5. Demonstragoes. 6. (a) 18 (c) 2 (e) Nada se pode afirmar (b) -8 (d) -6 (f) 0 . _ _ _ 1, sexrEQ 7. Considere p = 0, f(x) = g(x) = { -1, sex gO. . _ _ 1, sexeEQ 8. Considere p = 0e f(x) = { -1, sex¢Q 9. (a) f écontinuaem R (e) f é continua em R \ {—1, 1} (i) f écontinuaem R b é conti R é conti R (b) f c con inua em (f) f é con inua em (j) f écontinua em R (c) f écontinuaem R (g) f é continua em R \ {0} (d) f é continua em R \ {1} (h) f €é continua em R (k) f écontinuaem R 10. (a) 4 (g) 2 (m) 2 (q) 1 “/ 1 0) 4 we (n) = (r) 0 (c) -7 (i) V7 av3 , d) 5 j) O _ L (a) (i 0) 4% (s) 3 (e) 50 (k) 6 1 7 aa t) = (f) 4 (1) 2 (~) —5 (t) § 11. (a) 1 (e) 1 (b) -1 (f) 1 (c) 0 (g) 1 (d) Nao existe (limites laterais diferentes) (h) N§o existe (limites laterais diferentes) ; . . - r+r—6 wo 12. (a) A igualdade é somente obtida para x # 2; (b) Uma vez que as fungGes f(x) = a g(x) = x +8 sao iguais para todo xr x # 2, segue que lim f(z) = limg(@). 9 13. (a) —5 (d) 32° (9) 3 (J) 8p? (b) 0 (e) 0 (h) V2 (c) 2? (f) 0 (i) —3 (k) 3 14. (a) V3 (b) 3 (c) 5 (d) 3 15. (a) 1 (c) 3 (e) 1 (g) 3 (b) 1 (d) -1 (f) 0 16. (a) 3 (d) a (g) 0 (j) 4 (b) 5 (e) § (h) 3 (c) 4 (f) 0 (i) —2 17. lim f(x) = 0. 18. lim f(a) =2. 19. (a) 0, (b) 0, (c) 0. 20. Observe 0 que ocorre com 0 grafico de f(x) = senx em um intervalo em torno de 0. 21. (a) 0; (b) Nao existe o limite. 22. Basta notar que jim f(z) =2e Jim, f(z) = 1, ou seja, nao existe lim f(x) (e, em particular, lim f(x) # f(1)). 23. Basta notar que Jim f(x) = jim, f(x) = f (0) (todos sao iguais a 1). 24. Considere f(z) ={ 0 eee ee : 25. (a) 12 Jt c) 35 (a) 0) 5 v7 (c) 26. (a) 3; (b) 3. 27. (a) Falso, considere por exemplo f(x) = { 0 — 7 ; (b) Falso, considere por exemplo f(a) = { 0 — = ; (c) Verdadeiro. 28. (a) 0 (e) 0 (i) —oo (6) 5 (f) 0 (j) 0 (c) 2 (9) 3 (d) 3 (h) 0 29. (a) +00 (c) —0o (e) 0 (g) 0 (b) —co (d) +00 (f) : 30. (a) $ (d) 0 (g) 1 (j) 2 (b) —2 (e) +00 (h) 2 (k) 1 (c) 3 (f) —oo (i) —3 (1) 0 31. (a) 0 (d) +00 (g) +00 (6) 5 (e) —00 (h) 5 (c) +00 (f) —oo (i) —oo 10 32. (a) −∞ (b) −∞ (c) −∞ (d) +∞ (e) −∞ (f) +∞ (g) +∞ (h) −∞ 33. Considere, por exemplo, f(x) = 2x e g(x) = x 34. Considere, por exemplo, f(x) = 2x e g(x) = x. 35. (a) corresponde ao item (iv); (b) corresponde ao item (i); (c) corresponde ao item (iii); e (d) corresponde ao item (ii). 36. Gráfico. 37. (a) +∞ (b) 0 (c) −∞ (d) +∞ (e) +∞ (f) +∞ 38. (a) +∞ (b) +∞ (c) 0 (d) ln 2 (e) ln 2 39. (a) e; (b) 1 e; (c) e; (d) 25 ln 5. 40. f é contínua, já que é polinomial, f(−1) = −1 < 0 e f(0) = 1 > 0 (possuem sinais opostos). 41. Use o Teorema do Valor Intermediário. 42. f ′(p) = 2, para todo p ∈ R. 43. f ′(0) = 2. 44. A inclinação da reta é 3√x − 1 x − 1 . 45. lim x→−2 f(x) − f(−2) x − (−2) = 1 2; f ′(x) não existe para x = 0, x = 1 e x = 4. 46. (a) 3 (b) 1 4 (c) −1 4 (d) −1 4 11