Lista 1-2023-2

São questões de demonstração, então terá que ser tudo baseado em conhecimento e relacionamento matemático básico. Por favor, se possível colocar o motivo de estar fazendo os “joguetes” nas fórmulas: Questão 1: Observar que, por hipótese, a função f é integrável nos domínios envolvidos. Questão 2: uma cultura isolada de bactérias conta com uma população inicial de 5000. Sabendo que essa população triplica a cada duas horas e que a taxa de crescimento é proporcional à população, determinar quantas bactérias haverá após 20 horas. Problema análogo ao de decaimento radioativo. Questão 3: É uma atividade meramente técnica: demonstração dos limites laterais que aparecem na fotografia. Questão 4: Considere um polígono regular de n lados de medida L (cada um), com área S e apótema A. O apótema de um polígono regular é a medida do raio da circunferência inscrita ao polígono. Considere também uma pirâmide regular reta com n faces laterais, ou seja, sua base é um polígono regular com n lados. Se cada aresta da base da pirâmide tem medida B e cada face lateral tem altura A e, além disso, a área total da pirâmide (área lateral mais área da base) é S, provar que B dividido por L é o número de ouro. O número de ouro é aquele cujo simétrico multiplicativo é igual a ele mesmo somado de 1. ‘Essa é uma questão que exige apenas matemática de ensino médio para ser resolvida. O objetivo é avaliar a capacidade do aluno para resolver problemas. Questão 5: Questão 6: É dado um semicírculo de raio a. Além disso, há um retângulo de lados b e c inscrito no semicírculo, de modo que um dos seus lados está contido na corda do semicírculo que define o seu diâmetro. A questão é a seguinte: qual é a razão entre b e c que garante área máxima para o retângulo? ‘O problema foi resolvido em sala de aula maximizando uma função que é o quadrado da área do retângulo. A atividade para fins de avaliação consiste em maximizar a área, não o quadrado da área. ‘Obviamente a solução é a mesma. A diferença reside apenas nas contas. Os comentários são do professor mesmo Um exemplo de uma solução ótima para o primeiro exercício: das partições de [a,b] teremos P de [a,c] com n-m intervalos fechados sendo um conjunto P = {[ai,ai+1] ∈ ℚ(a,c), ∀i ∈ ω ∧ 0 <= i <= n-1, ∧ [a0,a1] ∪ [a1,a2] ∪ ... ∪ [an-m-1,an-m] = [a,c]}. Sendo assim temos que: ∫[a,c] f(x) dx = lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi. Exercício 01 - Bloco 02 - Cálculo Aderente Provar que: ∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx para (a < c < b) Sabendo que se uma função real f é definida sobre um intervalo não degenerado [a, b], então integral de Riemann de f em relação a x em [a, b] é dado por ∫[a,b] f(x)dx = lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi sendo Δxi = ai+1 - ai e zi ∈ (ai, ai+1), assim, podemos reescrever as três integrais das seguintes formas: 1) ∫[a,c] f(x) dx = lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi; 2) ∫[c,b] f(x)dx = lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi; 3) antes de reescrevermos a última integral, deve-se lembrar que para as integrais em que o limite inferior de integração é maior do que o limite superior de integração, usamos a seguinte fórmula: ∫[b,a] f(x)dx = -∫[a,b] f(x)dx Então temos: ∫[b,a] f(x)dx = -∫[c,b] f(x)dx = -lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi. Substituindo II e III na igualdade proposta: ∫[a,c] f(x)dx = lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi - lim_{||P||->0} Σ f(zi) Δxi Além disso, sabendo-se que lim_{x->a} (f ∘ g) = lim_{x->a} f(x) ⋅ lim_{x->a} g(x) e aplicando-o na igualdade anterior: ∫[a,b] f(x)dx = lim_{||P||->0} (Σ f(zi) Δxi - Σ f(zi) Δxi) Sabendo que a partição P de (a,b) é em m intervalos fechados e o conjunto P = {[ai, ai+1] ∈ ℚ(a,b)|i ∈ ω ∧ 0 <= i <= n-1 ∧ [a0,a1] ∪ [a1,a2] ∪ ... ∪ [am-1,am] = [a,b]} sendo que cada elemento de P é um intervalo fechado não degenerado. E que, a partição P de [c,b] é em m intervalos fechados e o conjunto P = {[aj,aj+1] ∈ ℚ(c,b)|j ∈ ω ∧ 0 <= j <= n-1 ∧ [c0,c1] ∪ [c1,c2] ∪ ... ∪ [cn-1,cn] = [c,b]} sendo que cada elemento de P é um intervalo fechado não degenerado. Além de que, as partições do intervalo [a,b] contêm as partições de [c,b]. Logo ao subdividir as partições de [c,b].