Apostila Somas de Riemann e Integrais Definidas-2023 1

Somas de Riemann e Integrais Definidas Notação Sigma: A soma de n variáveis a1, a2, a3,...an pode ser representada de maneira compacta como: 1 2 3 1 ... n n k k a a a a a = + + + + = Soma de Riemann: Dada uma função ( ) f x definida no intervalo [ , ] a b , o intervalo [ , ] a b pode ser dividido em n intervalos escolhendo ( n−1) pontos, que podem ser representados por 1 2 3 1 , , ,..., n x x x x − entre a e b e tais que: 1 2 3 1 ... n a x x x x b −       Fazendo 0 a = x e n b = x , obtém-se um conjunto de pontos:   0 1 2 3 1 , , , ,..., , n n P x x x x x − x = que é denominado partição de [ , ] a b e que define n subintervalos fechados: 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ],...,[ , ] n n x x x x x − x O intervalo representado como 1 [ , ] k k x − x é chamado k-ésimo subintervalo de P e seu comprimento é 1 k k k x x x −  = − . Em cada subintervalo pode ser escolhido um ponto. Para o k-ésimo subintervalo, esse ponto pode ser representado como kc , k 1 k k x c x −   ; pode-se, então, calcular o valor da função correspondente a kc , isto é, ( f ck ) . O retângulo de base  kx e altura ( f ck ) tem uma área dada por: ( ) k k k A f c x =  A soma de todas as áreas é representada como: 1 1 ( ) n n n k k k k k S A f c x = = = =    A soma Sn, que depende da partição P e da escolha dos números kc , é uma soma de Riemann para f no intervalo [ , ] a b . Quando o comprimento do maior subintervalo, chamado norma da partição, P , tende a zero, as somas de Riemann tendem a um mesmo valor limite, independentemente da escolha dos pontos kc e do tamanho dos subintervalos, isto é, da partição adotada. Definição: Se houver um número I tal que: 0 1 lim ( ) n k k P k f c x I → =  =  independentemente de como P e os pontos kc forem escolhidos, então f será integrável em [ , ] a b e I será a integral definida de f em [ , ] a b . Quando as integrais definidas existem? Teorema: Se uma função f é contínua em um intervalo [ , ] a b , a sua integral definida em [ , ] a b existe. Observando que se P → 0 então n →, pois quanto menor a norma maior é o número de subintervalos, a integral definida é representada como: 1 lim ( ) ( ) b n k k n k a f c x f x dx → =  =   Def.: Se y = f(x) for não negativa e integrável no intervalo [ , ] a b , então a área sob a curva y = f(x) de a até b será a integral definida de f de a até b: ( ) b a A =  f x dx Propriedades 1. ( ) ( ) b a a b f x dx = − f x dx   2. ( ) 0 a a  f x dx = 3. ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx =   4.   ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx  =     5. ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = +    , a < c < b 6. Se M e m são, respectivamente, os valores máximo e mínimo de f em [ , ] a b , então: ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a −   −  7. Se ( ) ( ) f x  g x em [ , ] a b , então: ( ) ( ) b b a a f x dx  g x dx   Consequência: se ( ) f x  0 , então ( ) 0 b a  f x dx  Exemplo: Calcular b x a e dx Solução: Inicialmente, o segmento [ , ] a b é dividido em n partes iguais: 0x = a 1x a x = + 2 2 x a x = +  3 3 x a x = +  ... nx a n x b = +  = Para ck serão tomados os valores nas extremidades 1 kx − dos intervalos 1 [ , ] k k x − x . Assim, em: 0 1 1 [ , x x ], c = a 1 2 2 [ , x x ], c a x = + 2 3 3 [ , ], 2 x x c a x = +  ... 1 [ , ], ( 1) n n n x x c a n x − = + −  A soma integral é: 2 ( 1) ... a a x a x a n x Sn e x e x e x e x + +  + −  =  +  +  + +  ( ) 2 ( 1) 1 ... a x x n x Sn e e e e x   −  = + + + +  O termo entre parênteses é uma progressão geométrica de razão x e e primeiro termo igual a 1. Então: ( ) ( ) 2 ( 1) 1 1 1 1 ... 1 1 n x n x x x n x x x e e e e e e e     −    − − + + + + = = − − e: ( ) ( ) 1 1 1 1 n x a a b a n x x e x S e x e e e e  −   −  =  = − − − Calculando o limite quando n →: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 lim lim lim 1 1 1 lim b a b a b a b a n x x x n x x x x x S e e e e e e e e e e e x    →  →  →  →   = − = − = − = − − − −  Valor Médio de Uma Função Contínua A média de n números é a soma desses números dividida por n. Para o cálculo do valor médio de uma função contínua no intervalo [ , ] a b , divide-se o intervalo em n subintervalos de mesmo comprimento ( ) b a x n −  = . Em seguida, em cada subintervalo, seleciona-se um ponto kc , k = 1,2,3,...n, e calcula-se o valor correspondente de f. A média dos n valores de f é: 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ... ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n k k k k k k f c f c f c x f c f c f c x n n b a b a = = = + +  = = =  − −    onde 1 ( ) n k k f c x =   é uma soma de Riemann. À medida que n aumenta e, consequentemente, x  diminui, isto é, no limite quando n →, ou 0 x  → , a soma de Riemann se transforma na integral definida de f de a até b. Assim, por definição, o valor médio da função será: 1 ( ) ( ) b a M f f x dx b a = −  Teorema do Valor Médio: Se a função f for contínua em [ , ] a b , então em algum ponto c de [ , ] a b tem-se: 1 ( ) ( ) b a f c f x dx b a = −  Cálculo da Integral Definida Se a função f(t) é integrável no intervalo [a,x], no qual o limite superior do intervalo é variável, o valor da integral dependerá do valor de x, isto é, será função de x (por hipótese, o limite inferior, a, é mantido constante). Como o valor da integral é igual à área sob a curva, a área será função de x, e pode-se escrever: ( ) ( ) x a A x =  f t dt Teorema Fundamental do Cálculo: Parte I Se f é uma função contínua em [ , ] a b e se ( ) ( ) x a A x =  f t dt , então: '( ) ( ) A x = f x Demonstração: Dando à variável x um acréscimo x  , tem-se (utilizando a propriedade 5): ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x a a x A x x f t dt f t dt f t dt + + +  = = +    Como ( ) ( ) x a A x =  f t dt , então: ( ) ( ) ( ) x x x A x x A x f t dt + +  = +  O incremento de área, A  , que ocorre devido ao incremento x  , é calculado como: ( ) ( ) ( ) x x x A A x x A x f t dt +  = +  − =  Devido ao Teorema da Média: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f t dt f c x x x f c x + = +  − =   com: x c x x   + . Portanto: ( ) A f c x  =  e ( ) A f c x  =  Calculando o limite quando 0 x  → : 0 0 lim '( ) lim ( ) x x A A x f c x  →  →  = =  Mas, quando 0, x c x  → → ; assim, devido à hipótese de continuidade de f: 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x c x f c f c f x  → = → = Então: '( ) ( ) A x = f x Conclui-se que A(x) é uma primitiva de f(x). Teorema Fundamental do Cálculo: Parte II Se f é contínua em [ , ] a b e F é uma primitiva de f em [ , ] a b , então: ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  Demonstração: Se A(x) é uma primitiva de f(x) e se F(x) também é uma primitiva de f(x), sabe-se que a diferença entre elas é uma constante (corolário 2 do Teorema de Lagrange): ( ) ( ) A x F x C − = ou: ( ) ( ) x a f t dt F x C − =  Quando x = a: ( ) ( ) a a f t dt F a C − =  Logo: ( ) C = −F a . Quando x = b: ( ) ( ) ( ) b a f t dt F b F a − = −  Então: ( ) ( ) ( ) b a f t dt F b F a = −  Como o resultado independe da variável de integração, pode-se fazer: ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  A integração definida também pode ser representada como: ( ) ( ) b b a a f x dx = F x  Exemplos: Calcular as integrais 1. 2 0 xe dx  A primitiva do integrando é o próprio integrando. Sendo assim: 2 2 2 0 2 0 0 1 x x e dx e e e e = = − = −  2. 4 2 1 x dx A primitiva é: 3 ( ) 3 F x = x ; assim: ( ) 4 3 4 2 3 3 1 1 1 63 4 1 3 3 3 x dx = x = − =  3. 0 senxdx   A primitiva é: ( ) cos F x x = − ; logo: 0 0 sen cos (cos cos0) ( 1 1) 2 xdx x    = − = − − = − − − = 