Prova 2 de Matemática 3-2021 1

− ∫∫∫ Prova 2 de Matema´tica III 1◦ sem/2021 Instru¸c˜oes : Resolva os exerc´ıcios abaixo. Sua prova vale 40 pontos. Exerc´ıcio 1 (5) Dada as fun¸c˜oes f (x, y) = x3 + x2y2, x = u2v + w2, y = u2 + v2ew, encontre os valores de ∂f , ∂f , ∂f quando u = 2, v = 1 e w = 0. ∂u ∂v ∂w Exerc´ıcio 2 (10) Encontre os valores de m´aximos e m´ınimos da fun¸c˜ao f (x, y) = x2 + y + x2y + 4 na regiao D = {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2}. Exerc´ıcio 3 (5) Use os multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de m´aximos e m´ınimos da fun¸c˜ao f (x, y, z) = 4x + 3y + 2z sujeita a restri¸c˜ao x2 + y2 + z2 = 25. Exerc´ıcio 4 (5) Encontre o volume do s´olido abaixo do plano 2x + y z = 0 e acima da regi˜ao limitada por y = x e y = x6. Exerc´ıcio 5 (10) Use coordenadas polares para encontrar o volume do s´olido entre os paraboloides z = 2x2 + 2y2 e z = 3 − x2 − y2. Exerc´ıcio 6 (5) Calcule a integral tripla E xdV em que a regi˜ao s´olida E ´e limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 4. 1