Tarefa 2 Edo Lineares-2023-2

1 1.EDO’s Lineares a) Resolva a EDO linear dada a seguir, pelo método do fator integrante; b) Dada a condição inicial y() = 2, determine a solução particular; c) Determine o intervalo de solução do PVI. x dy y xsenx dx + = Imagem de https://br.freepik.com 2 2.Equação de Bernoulli Em alguns casos, é possível resolver uma EDO não linear mediante uma mudança de variável que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais conhecido é a equação de Bernoulli*, que possui a forma Note que para os casos em que n = 0 e n = 1 a equação é uma equação linear. a) Para os demais casos, mostre que a substituição reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear na variável u. b) Pesquise na bibliografia os detalhes desta substituição e então resolva a equação ( ) ( ) n dy p x y f x y dx + = * Jakob Bernoulli (1654–1705) 1 ( ) n u x y − = 2 3 2 0 x dy xy y dx + − = 3 3. Modelo de crescimento/Epidemias O uso de modelos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas é antigo. Em 1760, Daniel Bernoulli desenvolveu um trabalho no estudo da varíola e, desde então até mais recentemente, muitos modelos foram propostos para estudar diferentes doenças. Considere o modelo em que a população é dividida entre indivíduos que já foram contaminados com a doença e podem infectar os outros e indivíduos que ainda não foram contaminados, mas são suscetíveis. Se x é a proporção de indivíduos suscetíveis e y a proporção de indivíduos contaminados, então x + y = 1. Suponha que a doença seja transmitida através do contato entre contaminados e suscetíveis, que a taxa de contaminação é proporcional ao número de contatos, que é proporcional a xy. Como x = 1 – y, tem-se a equação diferencial onde  é a constante de proporcionalidade. Dado que y(0) = 0,010 e que y(10) = 0,015 a) Resolva o PVI e obtenha a proporção de contaminados y em função do tempo t (dias) b) Apresente o gráfico de y(t) e explique, graficamente e algebricamente o comportamento (1 ) dy y y dt =  − lim ( ) t →+ y t 4 4. Corrente Deslizante A EDO não linear a seguir modela a velocidade de uma corrente* escorregando na borda de uma plataforma horizontal, conforme esquema ilustrado na Fig. 1 a) Explique porque esta EDO é classificada como não linear. b) Verifique que a função é um fator integrante apropriado, transformando-a em uma equação Exata. c) Resolva a EDO obtida no item a). 2 32 xv dv v x dx + = ( )x x  = * As correntes são elementos de máquinas flexíveis utilizadas para transmissão de potência ou transporte/movimentação de carga. Fig. 1 Nome: Oliver Augusto da Silva RA: 101220374 1) Como é feito, para a EDO temos: dy/dx = y x² ——> dy/y = x² dx => ∫1/y dy = ∫x² dx => ln(y) = x³/3 + C => y(x) = c ⋅ e^(x³/3); c = e^C Do contorno: y(2) = 9 => 9 = c ⋅ e^(2³/3) = c ⋅ e^(8/3) => C = 9 ⋅ e^(-8/3) Então, a solução fica dada por: y(x) = 9 e^(x³-8)/3. Questão 2. Da EDO temos: dy/dx = 2x+3 => dy = (2x+3) dx => ∫dy = ∫(2x+3) dx => y = 2x²/2 + 3x + C => y(x) = x² + 3x + C E do problema de contorno: y(1) = 2 temos que 2 = y(1) = 1² + 3⋅1 + C => 1 + 3 + C => C = 2 - 4 = -2. E a solução é y(x) = x² + 3x - 2. Nome: Oliver Augusto da Silva RA: 101220379 Questão 3. y' = 2y + 3e^x (a) A forma reduzida é y' - 2y = 3e^x (b) O fator integrante μ(x) é uma função tal que: d/dx (μy) = μy' + μ'y = μy' - 2μy => μ' = -2μ => μ'/μ = -2 => ∫1/μ dμ = -2 ∫dx Logo: ∫1/μ dμ = -2 ∫ dx => ln(μ) = -2x => μ(x) = e^(-2x) E o fator integrante buscado é μ(x) = e^(-2x). (c) Vamos resolver a EDO: y' - 2y = 3e^x => y' e^(-2x) - 2y e^(-2x) = 3 e^(-x) => d/dx [ y ⋅ e^(-2x) ] = 3 e^(-x) ∫d [ y e^(-2x) ] = ∫3 e^(-x) dx => y e^(-2x) = -3 e^(-x) + C => y = -3 e^x + C e^(2x) Do PVI: y(0) = 4 segue que: 4 = y(0) => 4 = -3 e⁰ + C ⋅ e⁰ => 4 = -3 + C ⋅ 1. C = 7. E com isso temos que y(x) = -3 e^x + 7 e^(2x). Nome: Oliver Augusto da Silva RA: 101220374 Questão 4. { y'' + y' = 1 y'(0) = 7 y(0) = 2 } Façamos p = y', que nos dá que p' = y'' e logo segue que: y'' + y' = 1 => p' + p = 1 => p' = 1 - p => dP/(1-p) = dx => ∫dp/(1-p) = ∫dx => -ln(1-p) = x + C => ln(1/(1-p)) = x + C => 1/(1-p) = e^(x + C) Logo: 1/(1-p) = K' ⋅ e^x => 1 - p = 1/(K' e^x) => 1 - p = K e^(-x) => p = 1 - K e^(-x). onde: K = 1/K', K' = e^C. Então, temos que: p = 1 - K e^(-x) Como p = y' do primeiro contorno PVI, temos: y'(0) = 7 => 7 = 1 - K e⁰ => 7 = 1 - K => K = -6. Logo, temos y'(1) = 1 + 6 e^(-x) Então, temos: ∫dy = ∫1 + 6 e^(-x) dx => y(x) = x + 6e^(-x) + C ∴ y(x) = x - 6e^(-x) + C. Da última condição inicial, temos: y(0) = 2 => 2 = -6 + C ⋅ e⁰ => C = 8. E a solução é: y(x) = x - 6e^(-x) + 8.