Lista 1 - 2024-1

r^2 + 10r + 9 = 0 r = \frac{-10 \pm \sqrt{100-36}}{2} r = \frac{-10 \pm 8}{2} r_1 = -1, r_2 = -9 A solução geral é: x(t) = Ae^{-1t} + Be^{-9t} Usando as condições iniciais x(0) = 0.16 e \frac{dx}{dt}(0) = 0: x(0) = 0.16 = A + B \implies A + B = 0.16 \frac{dx}{dt}(0) = 0 = -A - 9B B = -A/9 Substituindo em A + B = 0.16: A - A/9 = 0.16 \frac{8A}{9} = 0.16 \implies A = \frac{0.16 \cdot 9}{8} = 0.18 B = -0.18/9 = -0.02 Portanto, a solução é: x(t) = 0.18e^{-t} - 0.02e^{-9t} b)\beta = 0\, \text{kg/s} Classificação: Sem amortecimento (oscilação simples). Descrição: O sistema oscila perpetuamente com uma amplitude constante. A solução é uma oscilação harmônica pura. Solução: x(t) = 0.16 \cos(3t) \beta = 10\, \text{kg/s} Classificação: Subamortecido. Descrição: O sistema oscila, mas a amplitude das oscilações decai exponencialmente ao longo do tempo devido ao amortecimento. O movimento é uma oscilação amortecida. Solução: x(t) = e^{-\frac{1}{5}t} \left(0.16 \cos \left(\frac{\sqrt{35}}{2} t \right) + 0.02704 \sin \left( \frac{\sqrt{35}}{2} t \right) \right) 2 2. Veículo em movimento A Fig. 2 mostra um modelo simples de um veículo automotor que pode vibrar no sentido vertical quando percorre uma estrada irregular. O modelo matemático que descreve o movimento é dado por (2) Fig. 2 2 2 ( ) d x dx m kx f t dt +  dt + = Considere que automóvel trafega por uma rodovia irregular, que imprime ao sistema uma força f(t) = 0,1sen(0,3 t). Seja a massa do automóvel m = 1200 Kg (incluindo os passageiros), a rigidez do sistema de suspensão k = 40 000 N/m e o coeficiente de amortecimento for  = 600 N.s/m. Dado que x(0) = 0 m e v(0) = 50 km/h, obtenha a solução geral x(t) para o problema dado e apresente um gráfico da solução. 3 3. EDO’s de Ordem Superior Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir: a) b) c) ( ) 2 4 5 IV x y y e − = 3 12 0, (0) 0 (0) 1 (0) 7 y y y y y y    − + =   =   =    = −  ( ) 2 4 5 IV x y y e − = tan y y x  + = ( ) 2 4 5 IV x y y e − = Para 𝛽 = 10 𝑘𝑔/𝑠 Para 𝛽 = 60 𝑘𝑔/𝑠 Para 𝛽 = 100 𝑘𝑔/𝑠 Encontrando uma solução particular do tipo: 𝑥𝑝 = 𝑎0 sin (3𝑡 10) + 𝑎1 cos (3𝑡 10) Substituindo na EDO: ((𝑎0 sin (3𝑡 10) + 𝑎1 cos (3𝑡 10))) ′′ + 1 2 ((𝑎0 sin (3𝑡 10) + 𝑎1 cos (3𝑡 10))) ′ + 100 3 (𝑎0 sin (3𝑡 10) + 𝑎1 cos (3𝑡 10)) = 1 12000 sin ( 3 10 𝑡) Resolvendo as derivadas: 9973𝑎0 sin ( 3 cos (3𝑡 10) 10 ) 300 + 3𝑎0 cos ( 3 cos (3𝑡 10) 10 ) 20 + 9973𝑎1 cos ( 3 cos (3𝑡 10) 10 ) 300 − 3𝑎1 sin ( 3 cos (3𝑡 10) 10 ) 20 = 1 12000 sin ( 3 cos (3𝑡 10) 10 ) 9973𝑎0 300 sin (3𝑡 10) + 3𝑎0 20 cos (3𝑡 10) + 9973𝑎1 300 cos (3𝑡 10) − 3𝑎1 20 sin (3𝑡 10) = 1 12000 sin (3𝑡 10) (9973𝑎0 300 − 3𝑎1 20 ) sin (3𝑡 10) + (3𝑎0 20 + 9973𝑎1 300 ) cos (3𝑡 10) = 1 12000 sin (3𝑡 10) 𝑎0 = 2.5067172 · 10−6 𝑎1 = −1.131076664 · 10−8 Então, a solução particular é: x𝑝 = 2.5067172 · 10−6 sin(0,3t) + (−1.131076664 · 10−8) cos(0,3t) x𝑝 = 2.5067172 · 10−6 sin(0,3t) − 1.131076664 · 10−8 cos(0.3𝑡) A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular: 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡) 𝑥(𝑡) = 𝑒−0.25𝑡(𝑎0 cos(5.76809𝑡) + 𝑎1 sin(5.76809𝑡)) + 2.5067172 · 10−6 sin(0,3t) − 1.131076664 · 10−8 cos(0.3𝑡) Aplicando as condições iniciais: 𝑦(0) = 0 0 = 𝑒−0.25·0(𝑐1 cos(5.76809 · 0) + 𝑐2 sin(5.76809 · 0)) + 2.5067172 · 10−6 sin(0,3 · 0) − 1.131076664 · 10−8 cos(0.3 · 0) 𝑐1 = 1.131076664 · 10−8 Então: 𝑦 = 𝑒−0.25𝑡(1.131076664 cos(5.76809𝑡) + 𝑐2 sin(5.76809𝑡)) + 2.5067172 · 10−6 sin(0,3t) − 1.131076664 · 10−8 cos(0.3𝑡) Derivando: 𝑦′ = −0.25𝑒−0.25t(1.131076664 cos(5.76809𝑡) + 𝑐2 sin(5.76809𝑡)) + 𝑒−0.25t(−6.5241 · 10−8 · sin(5.76809𝑡) + 5.76809𝑐2 cos(5.76809𝑡)) + 7.520151714 · 10−7 cos(0.3t) + 3.39322999 · 10−9 sin(0.3t) Aplicando a condição inicial 𝑣(0) = 50𝑘𝑚/ℎ = 50/3.6 𝑚/𝑠 = 125/9 𝑚/𝑠 125 9 = −0.25𝑒−0.25·0(1.131076664 cos(5.76809 · 0) + 𝑐2 sin(5.76809 · 0)) + 𝑒−0.25·0(−6.5241 · 10−8 · sin(5.76809 · 0) + 5.76809𝑐2 cos(5.76809 · 0)) + 7.520151714 · 10−7 cos(0.3 · 0) + 3.39322999 · 10−9 sin(0.3 · 0) 𝑐2 = 2.40788444 A solução então é: 𝑦 = 𝑒−0.25𝑡(1.131076664 cos(5.76809𝑡) + 2.40788444 sin(5.76809𝑡)) + 2.5067172 · 10−6 sin(0,3t) − 1.131076664 · 10−8 cos(0.3𝑡) Deslocamento Vertical do Veículo Deslocamento (m) 2 1 0 -1 -2 0 2 4 6 8 10 Tempo (s) y(t) 3. EDO's de Ordem Superior Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir: a) y^{(iv)}-4y=5e^{2x} A equação homogênea associada é: y^{(iv)}-4y=0 A equação característica associada é: r^4-4=0 Resolva esta equação: r^4=4 r=±^4√4 r=±√2 ou r=±i√2 Assim, temos quatro raízes: r=√2,-√2,i√2,-i√2. A solução geral da equação homogênea é dada por: y_h(x)=C_1e^{√2x}+C_2e^{-√2x}+C_3\cos(√2x)+C_4\sin(√2x) Para a parte não homogênea 5e^{2x}, procuramos uma solução particular y_p da forma: y_p(x)=Ae^{2x} Substituindo y_p na equação original: y_p^{(iv)}-4y_p=5e^{2x} Calculando as derivadas de y_p: y_p=Ae^{2x} y_p'=2Ae^{2x} y_p''=4Ae^{2x} y_p'''=8Ae^{2x} y_p^{(iv)}=16Ae^{2x} Substituindo na equação original: 16Ae^{2x}-4Ae^{2x}=5e^{2x} 12Ae^{2x}=5e^{2x} 12A=5 A=\frac{5}{12} Assim, a solução particular é: y_p(x)=\frac{5}{12}e^{2x} A solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular: y(x)=y_h(x)+y_p(x) y(x)=C_1e^{√2x}+C_2e^{-√2x}+C_3\cos(√2x)+C_4\sin(√2x)+\frac{5}{12}e^{2x} b) \begin{cases} y^{(iii)}-3y''+12y'=0, y(0)=0 y'(0)=1 y''(0)=-7 \end{cases} Primeiramente, resolvemos a equação característica associada à equação diferencial: \[ r^3 - 3r^2 + 12r = 0 \] Fatoramos para encontrar as raízes: \[ r(r^2 - 3r + 12) = 0 \] Uma raiz é \( r = 0 \). Para as outras raízes, resolvemos a equação quadrática \( r^2 - 3r + 12 = 0 \): \[ r = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 48}}{2} \] \[ r = \frac{3 \pm \sqrt{-39}}{2} \] \[ r = \frac{3 \pm i \sqrt{39}}{2} \] Assim, as raízes são \( r_1 = 0, r_2 = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39}}{2} i \) e \( r_3 = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{39}}{2} i \). A solução geral da equação homogênea é dada por: \[ y_h(x) = C_1 + e^{\frac{3}{2} x} \left( C_2 \cos \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) + C_3 \sin \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) \right) \] Derivadas de \( y(x) \): \( y'(x) = e^{\frac{3}{2} x} \left( \frac{3}{2} C_2 \cos \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) + \frac{3}{2} C_3 \sin \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) - \frac{\sqrt{39}}{2} C_2 \sin \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) + \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 \cos \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) \right) \) \( y''(x) = e^{\frac{3}{2} x} \left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 C_2 \cos \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) + \left( \frac{3}{2} \right)^2 C_3 \sin \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) - 3 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} C_2 \sin \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) + 3 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 \cos \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) - \left( \frac{\sqrt{39}}{2} \right)^2 C_2 \cos \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) - \left( \frac{\sqrt{39}}{2} \right)^2 C_3 \sin \left( \frac{\sqrt{39}}{2} x \right) \right) \) Aplicando as condições iniciais: Para \( y(0) = 0 \): \[ C_1 + C_2 = 0 \implies C_1 = -C_2 \] Para \( y'(0) = 1 \): \[ \frac{3}{2} C_2 + \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 = 1 \] Para \( y''(0) = -7 \): \[ \left( \frac{3}{2} \right)^2 C_2 - \left( \frac{\sqrt{39}}{2} \right)^2 C_2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 = -7 \] Simplificamos o sistema: 1. \( C_1 = -C_2 \) 2. \( \frac{3}{2} C_2 + \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 = 1 \) 3. \( \frac{9}{4} C_2 - \frac{39}{4} C_2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 = -7 \) Resolva o sistema para \( C_2 \) e \( C_3 \): 1. \( C_1 = -C_2 \) 2. \( 3C_2 + \sqrt{39} C_3 = 2 \) 3. \( -\frac{30}{4} C_2 + 3 \sqrt{39} C_3 = -7 \) Multiplicamos a terceira equação por \( \sqrt{39} \) e subtrairmos da segunda: \[ 3 \sqrt{39} C_2 + 39 C_3 = 2 \sqrt{39} \] \[ -15 C_2 + 3 \sqrt{39} C_3 = -7 \] Resolvemos este sistema para encontrar \( C_2 \) e \( C_3 \): \[ 3 \sqrt{39} C_2 + 39 C_3 = 2 \sqrt{39} \] \[ -15 C_2 + 3 \sqrt{39} C_3 = -7 \] Podemos resolver: 1. \( C_2 = \frac{2}{3} \) 2. \( \frac{3}{2} , \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 = 1 \implies 1 + \frac{\sqrt{39}}{2} C_3 = 1 \implies C_3 = - \frac{1}{2 \sqrt{39}} \) Portanto, temos \( C_1 = - \frac{2}{3} , C_2 = \frac{2}{3} , e C_3 = - \frac{1}{2 \sqrt{39}} \). Finalmente, a solução é: \( y(x) = 1 - \frac{5}{6} + e^{\frac{3t}{2}} \left( \frac{5}{6} \cos \left( \frac{\sqrt{39}t}{2} \right) - \frac{1}{2 \sqrt{39}} \sin \left( \frac{\sqrt{39}t}{2} \right) \right) \) c) \[ y'' + y = \tan x \] A equação homogênea associada é: \[ y'' + y = 0 \] A equação característica associada é: \[ r^2 + 1 = 0 \] Resolvendo esta equação: \[ r^2 = -1 \] \[ r = \pm i \] Assim, temos duas raízes complexas: \( r = i \) e \( r = -i \). A solução geral da equação homogênea é dada por: \[ y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x \] Para a parte não homogênea \( \tan x \), procuramos uma solução particular \( y_p \). Uma função que gera \( \tan x \) como derivada pode ser \( \ln | \cos x | \), mas é mais conveniente usar o método da variação de parâmetros. O Wronskiano \( W \) é definido como: \[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}\] Para \( y_1 = \cos x \) e \( y_2 = \sin x \): \[y_1 = \cos x, \quad y_2 = \sin x\] \[y'_1 = -\sin x, \quad y'_2 = \cos x\] Então, o Wronskiano é: \[W(\cos x, \sin x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix}\] Calculando o determinante: \[W(\cos x, \sin x) = (\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\] Portanto, o Wronskiano das funções \( \cos x \) e \( \sin x \) é: \[W(\cos x, \sin x) = 1\] Para usar a variação de parâmetros, procuramos uma solução particular da forma: \[y_p(x) = u_1(x) \cos x + u_2(x) \sin x\] Onde \( u_1(x) \) e \( u_2(x) \) são funções a serem determinadas. As fórmulas para \( u_1(x) \) e \( u_2(x) \) são: \[u_1(x) = -\int \frac{y_2(x)g(x)}{W(y_1, y_2)} \ dx\] \[u_2(x) = \int \frac{y_1(x)g(x)}{W(y_1, y_2)} \ dx\] Aqui, \( y_1 = \cos x, y_2 = \sin x, g(x) = \tan x, \) e \( W(y_1, y_2) = 1 \) (conforme calculado anteriormente). Então, temos: \[u_1(x) = -\int \frac{\sin x \tan x}{1} \ dx = -\int \sin x \tan x \ dx\] Usando a identidade \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \[u_1(x) = -\int \frac{\sin^2 x}{\cos x} \ dx\] Usando a identidade \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \): \[u_1(x) = -\int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} \ dx\] \[u_1(x) = -\int (\frac{1}{\cos x} - \cos x) \ dx\] \[u_1(x) = -\int \sec x \ dx + \int \cos x \ dx\] As integrais são: -\[\int \sec x \ dx = -\ln|\sec x + \tan x|\] \[\int \cos x \ dx = \sin x\] Portanto: \[u_1(x) = -\ln|\sec x + \tan x| + \sin x\] Agora, calculemos \(u_2(x)\): \[u_2(x) = \int \frac{\cos x \tan x}{1} \ dx = \int \cos x \tan x \ dx\] Usando novamente \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \[u_2(x) = \int \sin x \ dx = -\cos x\] A solução particular \(y_p(x)\) é: \[y_p(x) = u_1(x) \cos x + u_2(x) \sin x\] \[y_p(x) = (-\ln|\sec x + \tan x| + \sin x) \cos x + (-\cos x) \sin x\] Parece haver um erro no slide pois essa EDO é a mesma do item (a).