Exercício Resolvido Calc3-2023 1

Questão 3 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questão Calcule a integral \[ \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS, \] sendo \[ \vec{F}(x, y, z) = 7z \vec{k} \] e \( S \) a superfície da porção da esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 36 \) no primeiro octante com a normal de dentro para fora. Questão 1 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questã Seja \[ \vec{F}(x, y, z) = (e^x \cos(2y) + 3yz) \vec{i} + (3xz - 2e^x \sin(2y)) \vec{j} + (3xy + 4z) \vec{k}. \] O campo vetorial \( \vec{F} \) é conservativo. Encontre uma função potencial \( u = u(x, y, z) \) e determine o valor de \( \alpha, \) sendo \[ \alpha = u\left(1, \frac{\pi}{2}, 2\right) - u(1, 0, 1). \] Questão 2 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questão Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha \[ \oint_C \left[(x^2 + 7y^2) \, dx + (4y + 7z^2) \, dy + (2z + 7x^2) \, dz \right], \] sendo \( C \) o triângulo com vértices \( (8, 0, 0), (0, 8, 0), \) e \( (0, 0, 8), \) orientado no sentido anti-horário observando a curva de cima para baixo. (x, y, z) = (e^x * cos(2y) + 3yz) i + (-3xz - 2e^x sen(2y)) j + (3xy + 4z) k \nabla \times \vec{F} \vec{F} = \left(\frac{\partial \mu}{\partial x}, \frac{\partial \mu}{\partial y}, \frac{\partial \mu}{\partial z}\right) \frac{\partial \mu}{\partial x} = e^x * cos(2y) + 3yz \int \partial \mu = \int (e^x * cos(2y) + 3yz) dx \mu = e^x * cos(2y) + 3xyz + C(y,z) -\frac{\partial \mu}{\partial y} = 3xz - 2e^x sen(2y) \int \partial \mu = \int (3xz - 2e^x sen(2y)) dy + C(x,z) \mu = 3xyz + e^x * cos(2y) + C (x,z) \frac{\partial \mu}{\partial z} = 3xy + 4z \int \partial \mu = \int (3xy + 4z) dz \mu = 3xyz + 2z^2 + C(x,y) Logo: \mu = 3xyz + e^x * cos(2y) + 4z + C \mu (1; \frac{\pi}{2}; 2) = 3.1. \frac{\pi}{2}.2 + e^1 cos(2.\frac{\pi}{2}) + 4.2 + C \mu (1; \frac{\pi}{2}; 2) = 3\pi + e . (0,8 + C \mu (1; \frac{\pi}{2}; 2) = 3\pi + 4 + e + C \mu (1;0;1) = 3.1.0.1 + e^1cos(2) (2.0) + 4.1 + C \mu (1;0;1) = O + e + 4 + C \mu (1;0;1) = e + 4 + C \alpha = 3\pi + 8 - e + C - (e + 4 + C) = 3\pi + 8 - e + C - e - 4 - C = 3\pi + 4 Questão 4 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questão Calcule a integral \iint_S \vec{f} \cdot \vec{n} dS, sendo \vec{f} (x, y, z) = 9z \vec{k} através da porção da casca esférica x^2 + y^2 + z^2 = 49 no primeiro octante no sentido oposto à origem. Questão 5 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Calcule a integral de linha de \int_C(\sqrt{x^2+y^2}) dx + y(\frac{29xy}{10} + ln(x+\sqrt{x^2+y^2})) dy ao longo da curva C que é o triângulo formado pelos vértices (0,0), (2.2,0) e (2.2,2.2) no sentido anti-horário. 2) Teorema de Stokes: ∮Pdx + Qdy + Rdz = ∬S Rot(F)̅dS onde F̅ = (P; Q; R) dS = r̅μx r̅vdudv P = x² + 7y² Q = 4y + 7z² R = 2z + 7x² Rot(F)̅ = | i̅ j̅ k̅ | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| |(x²+7y²)(4y+7z²)(2z+7x²)| = = [ ∂/∂y(2zx + 7x²) - ∂/∂z(4y + 7z²) ] i̅ + [ ∂/∂z(x² + 7y²) - ∂/∂x(2z + 7x²) ] j̅ + + [ ∂/∂x(4y + 7z²) - ∂/∂y(x² + 7y²) ] k̅ = = (0 - 14z) i̅ + (0 - 14x) j̅ + (0 - 14y) k̅ = (-14z̅i, -14x̅j, -14y̅k) Equação do plano que contem C: A(8,0,0) B(0,8,0) C(0,0,8) AB = B-A = (-8,8,0) AC = C-A = (-8,0,8) AB x AC = | i̅ j̅ k̅ | |-8 8 0| |-8 0 8| = 64 i̅ + 64 j̅ + 64 k̅ Eq. do plano: 64x + 64y + 64z + d = 0 (I) Substituindo o ponto A em (I): 64.8 + 64.0 + 64.0 + d = 0 d = -512 .˙. : 64x + 64y + 64z - 512 = 0 (!:64) x + y + z - 8 = 0. z = 8 - x - y r̅(u,v) = (u,v,8-u-v) r̅u = (1,0,-1) r̅v = (0,1,-1) r̅u x r̅v = | i̅ j̅ k̅ | | 1 0 -1| | 0 1 -1| = i̅ + j̅ + k̅ = (1,1,1) 0 < u < 8 0 < v < 8 - u ∬SsRot(F)̅dS = ∬S(-14z̅;-14y̅j;-14x̅).(1̅;1̅;1̅) dυdu = = ∫ 0 8-u ∫ 0 8 (-14(8-u-v);-14v;-14u).(1̅;1̅;1̅) dvdu = = ∫ 0 8 ∫ 0 8-u(-14z + 14u + 14v;-14v;-14u).(1̅;1̅;1̅) dvdu = = ∫ 0 8 ∫ 0 8-u(-14z + 14u + 14v - 14v - 14u) dvdu = = ∫ 0 8 ∫ 0 8-u -14z dvdu = ∫ 0 8 -14zv|0 8-u du = ∫ 0 8 -14z(8-u) du = = -14z[8u - u²/2]|0 8 = -14z [8.8 - 1/2 8²] = -3584, 3) ∬Sf̅.n̅dS f = (0;0;7z) n̅ = r̅φ x r̅Θ S: x²+y²+z² = 36 0 < Θ < π/2 0 < φ < π/2 r̅Θ = (6sen(φ)cos(Θ);6sen(φ)sen(Θ);6cos(φ)) r̅Θ = (-6sen(φ)sen(Θ);6sen(φ)cos(Θ);0) r̅φ = (6cos(φ)cos(Θ);6cos(φ)sen(Θ);-6sen(φ)) n̅ = | i̅ j̅ k̅ | |6cos(φ)cos(Θ) 6cos(φ)sen(Θ)-6sen(φ)| |-6sen(φ)sen(Θ)6sen(φ)cos(Θ) 0 | = = +36cos²(φ)cos(Θ)i̅ + 36cos²(φ)sen(Θ)j̅ + (+36cos(φ)sen(φ)cos²(Θ) +36sen(φ)cos(φ)cos²(Θ))k̅ = = (36cos²(φ)cos(Θ) sen(φ) ); ∬S f̅ . n̅ dS = ∫ 0 π/2 ∫ 0 π/2 (0;0; 7.6 cos(φ)). (36cos²(φ)cos(Θ)); 36cos²(φ)sen(Θ);36sen(φ)cos(φ)cos(Θ)) dφdΘ = = ∫ 0 π/2 ∫ 0 π/2 42cos(φ).(36sen²(φ)cos(φ)cos(Θ)dφdΘ = = ∫ 0 π/2 ∫ 1 0 1512cos²(φ)sen(φ)dfdΘ = u = cos(φ) du = -sen(φ)dφ = ∫ 0 π/2 -1512u²dudΘ = ∫ 0 π/2 -1512.1/3.u³|θ0 dΘ = = ∫ 0 π/2 -504u(0³ . 1/3)dΘ = ∫ 0 π/2 -504dΘ = -504Θ|π/2 0 = = -504(π/2 - 0) = -504.pi/2 = -252π 4) ∬Sf̅.n̅dS f̅= (0;0;9z) S: x²+y²+z² = 49 0 < Θ < π/2 0 < φ < π/2 r̅(Θ;φ) = (7sen(φ)cos(Θ);7sen(φ)sen(Θ);7cos(φ)) r̅Θ = (-7sen(φ)sen(Θ);7sen(φ)cos(Θ);0) r̅φ = (7cos(φ)cos(Θ) 7cos(φ)sen(Θ) ; -7sen(φ)) n̅ = r̅Θ x r̅φ n̅ = | i̅ j̅ k̅ | |-7sen(φ)cos(Θ) 7sen(φ)cos(Θ) 0 | | 7cos(φ)cos(Θ) 7cos(φ)sen(Θ)-7sen(φ)| = n̅ = -49sen²(φ)cos²(Θ)i̅ -49sen²(φ)sen(Θ); -49zsen(φ)cos(φ)cos²(Θ)k̅ -49zsen(φ)cos(Θ)k̅ ∬Sf̅.n̅dS = = ∫ 0 π/2 ∫ 0 π/2 (0;0;9.7cos(φ)).(-49sen²(φ)cos(Θ);-49zsen²Tan(φ)sen(Θ);-49zsen(φ)cos(φ))dφdΘ = = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} 63 \cos(\phi) \cdot (1.49) \sin(\phi) \cos(\theta) d\theta d\phi = \int_{0}^{\pi/2} 3087 \cos^2(\phi) \sin(\phi) d\phi d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 0 3087 \mu^2 d\mu d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 0 3087 \cdot \frac{1}{3} \mu^3 \Big|_{-1}^{1} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 10.29 d\theta = 10.29 \Theta \Big|_{0}^{\pi/2} = 10.29 \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{10.29}{2} \pi = \frac{10.29}{2} \cdot \pi (5) \int_{C} (\sqrt{x^2+y^2}) dx + y \left(\frac{29}{10} xy + \ln(x+\sqrt{x^2+y^2}) \right) dy \\ \leq \int_{C} f dx + g dy = \iint_{R} \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) dA \\ f = \sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ g = y \left( \frac{29}{10} xy + \ln(x+\sqrt{x^2+y^2}) \right) \Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{29}{10} y^2 + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{29}{10} y^2 = -\frac{29}{10} y^2 \\ = \int_{0}^{2,2} \int_{0}^{x} -\frac{29}{10} y^2 dy dx = \int_{0}^{2,2} -\frac{29}{10} \cdot \frac{1}{3} y^3 \Big|_{0}^{x} dx = \int_{0}^{2,2} 2,2 -\frac{29}{30} x^3 dx = \\ = -\frac{29}{30} \cdot \frac{1}{4} x^4 \Big|_{0}^{2,2} = -\frac{29}{120} \left(2,2^4 \right) \approx 5,66120 \\ 0 < x < 2,2 \\ 0 < y < x \\ \\ \text{Teorema de Green:}