Resolução Pvi-2023-2

Questao 1. Resolugao do PVT e analise da solucao. a) Resolva o PVI a seguir, apresentando a solugao na forma implicita. dy 2x 7 2)-0 dx 1+2y’ yl?) b) Mostre que a solugdo implicita obtida no item a) define as duas seguintes solucoes: 1 1 y= —zt5vae’— 15 c) Apenas uma das solug6des apresentadas no item b) atende as condig6es iniciais. Indi- que qual é essa solucao, construa e apresente um grafico da mesma (use um dispositivo como GeoGebra, MATLAB...) d) Determine o intervalo J, onde a solucgdo do PVI é valida. Solucao Item (a) Com efeito, note que essa EDO pode ser escrita como: dy 2x — = — => (14 2y)dy — 2rd dx 1+2y (1+ 2y)dy — 2adar Entio, de inicio, definamos N = N(x,y) =1+2yeM = M(z,y) = —2z entao note que O O —N = —1+4+2y=0 : (t,y) = 5 1+ 2y O O —M =— -2r%=0. Dy (x,y) ay Entaéo, uma vez que as derivadas parciais sao iguais segue que a EDO é exata e logo ela deriva de um campo escalar V (x, y) que é tal que d onde V, (x,y) = MeV,(a,y) = N easolugao y(x) fica determinada de forma implicita nas curvas de nivel do campo escalar V (x, y(x)). Logo, como a EDO é exata para resolvermos-a basta determinarmos 0 campo V (x, y). Para tanto, veja que V,=M => ov = —22 Ox = V(2r,y)= [ -2000 = V(x,y)=—2* + hy) onde h(y) é uma fungéo a ser determinada que depende unicamente da varidvel y. Entao, veja que: O O dh —V(a,y) = —(-2? +h = — Dy (x,y) ay | a” + h(y)) dy 1 Por outro lado, veja que temos da defini¢ao de campo que V, = N e logo segue que W=N=o = a nity = hy) = [1+ 2udy = 9? + y Com isso em mfos, segue que 0 campo V (x, y) fica completamente especificado por: V(z,y) =a? +y? +y. E logo, a solugéo da EDO y(z) fica dada nas curvas de nivel de V (x, y) isto é —2+y+y=C Para 0 PVI, isto é y(2) = 0 segue que y(2)=0 = -4404+0=C = C=-4 e a solucao completa do PVI fica dada por: —2 +y+y=-4 onde y() é dada implicitamente. 2 Item (b) Com efeito, note que temos da solucao anterior que i py +y=—-4 => y tyt(4—2") =0 que é uma equac¢aéo do segundo grau em y a qual pode ser resolvida de forma explicita com uso da relagao resolutiva das equag6es quadraticas que nos guia a seguinte solucao: — lt vy(l?-4(4- 2?)) y= 2 — -1l+ 4a? — 16 +1) 7 2 — lt V4a? — 15 7 2 —-1 1 = 2 oe 9 V Ar? _— 15 que sao as solugées explicitas pedidas, isto é: —-1 1 WU = 2 + 2 V Ax? _ 15 -1 1 Yo = a 740? — 15. 3 Solucao do item (c) Note que apenas uma das solug6es ainda satisfaz o PVI. Com efeito, veja que —-1 1 —-1 1 —-1 1 y(t = 2) = > + 5V 42’) — 15 = > +5 16-15=— +5 =0 —-1 1 —-1 1 -1 1 Yyo(x = 2) = — — —/4(27) — 15 = — —- -V16—-15 = — —--=-1 2 2 2 2 2 2 Logo, apenas a solucao y;, que agora genericamente chamaremos de y, € a solugao que atende ao PVI y(a = 2) = 0. + ic ao « y é fees 7 t 20. a Atualizamos os nossos Termos de Servico. -10 0 10 20 30 | Leia mais (-2, 0) (2,0) x a Figura 1: Grafico da soluga4o y(x) = y; do PVI dado feito no programa DESMOS. Note que aqui consideramos como dominio da fung4o y(x) 0 conjunto: V15 V15 D, = | —oo, -—— | U | — y ( OO, 9 9 9 OO Item (d) A determinagao do intervalo J onde a solugao do PVI é valida segue de analisarmos onde a fungéo y; (x) é de fato bem definida. Para tanto, deveremos entio analisar o argumento da raiz que aparece em sua forma explicita e impor a condi¢ao de que seu argumento seja nao negativo. Ou seja devemos ter que 15 V15 V15 V15 ou seja se x > > ou sex < “> logo segue que os intervalos que sao candidatos a V15 V15 validade sao J, = ea ~) el, = (-~. 4 . Entretanto, note que apenas J, contém V15 , . . ox 0 ponto x = 2 uma vez que > ~ 1.93 e logo é apenas esse ramo que satisfaz a condicao do 4 PVI. Logo o intervalo desejado é I = I2. Ademais, se você notar na Figura 1 é esse intervalo que corresponde ao ramo da direita da solução y(x). 5