Tarefa 4-2023-2

2 1 Questão 1 Em uma roda, as vibrações não-amortecidas com torções (rotações para frente e para trás) podem ser modeladas pela EDO onde  é o ângulo medido a partir do estado de equilíbrio, I0 é o momento polar de inércia da roda em torno de seu centro e k é a constante de torção da haste. Para obter (t) resolva a EDO acima, pelo método da transformada de Laplace, dados o ângulo inicial (0) = 0 e a aceleração angular incial ’(0) = 0 0 0 I k   +  = 2 Questão 2 Na figura abaixo, é mostrada uma máquina compactadora, modelada como um sistema massa-mola-amortecedor, Seja uma força f(t) agindo sobre a massa m (m inclui as massas do pistão, da plataforma e do material que está sendo compactado) resultante de uma aplicação repentina de pressão. Determinar resposta do sistema, mediante a ação de f(t) isto é, determinar a solução y(t) com as condições iniciais y(0) = 0 e y’(0) = 0 e dados a seguir: •a massa da estrutura é m = 60 Kg; •a plataforma é apoiada por 2 molas que correspondem a uma constante elástica (equivalente) k = 43500 N/m •um amortecedor atua em paralelo com as molas com coeficiente de amortecimento  = 1200 N.s/m a) Considere f(t) = 120cos(30t) a) Considere Para cada solução, a) e b), apresente o gráfico de y(t). No item a) use um método de sua escolha. No item b) use o método da transformada de Laplace. 2 2 ( ) d y dy m ky f t dt +  dt + = 0 , 0 2 ( ) 120 , 2 se t f t se t    =    2 Questão 3 Resolver as EDO’s a seguir pelo método a transformada de Laplace. ) 4 8 ( 5), (0) 10 e (0) 1 a y y t y y    + = − = = − ) 7 12 2 , (0) 1 e (0) 5 t b y y y e y y    + + = = = − Questao 1 I_o \ddot{\Theta} + k\Theta = 0 \Theta(0) = \theta_o \ e \ \Theta'(0) = w_o . Aplicando a transformada: I_o \mathcal{j} \{ \ddot{\Theta} \} + k\mathcal{j} \{ \Theta \} = 0 . :. I_o ( p^2 \mathcal{j} \{\Theta\} - p \Theta_o - w_o ) = -k \mathcal{j} \{\Theta \} :. :. \mathcal{j} \{ \Theta \} = \dfrac{p \Theta_o I_o + w_o I_o}{p^2 I_o + k} :. \Theta = \mathcal{j}^{-1} \{ \dfrac{p \Theta_o I_o}{p^2 I_o + k} \} + \mathcal{j}^{-1} \{ \dfrac{w_o I_o}{p^2 I_o + k} \} = \Theta_o \mathcal{j}^{-1} \{ \dfrac{1}{p^2 + \dfrac{k}{I_o}} \} + w_o \mathcal{j}^{-1} \{ \dfrac{1}{p^2 + \dfrac{k}{I_o}} \} = \Theta_o \cos \left( \sqrt{\dfrac{k}{I_o}} t \right) + w_o \dfrac{\sqrt{I_o}}{\sqrt{k}} \sin \left( \sqrt{\dfrac{k}{I_o}} t \right) Questao 2 (a) \mathbf{my'' + py' + ky = 120 \cos{(30t)}} \mathbf{y(0) = 0 \ e \ y'(0) = \Omega} Aplicando a transformada: m \{ p^2 \mathcal{j} \{y\} - p.O - 0 \} + p\{ p \mathcal{j} \{y\} - 0 \} + k \mathcal{j} \{y \} = 120 \mathcal{j} \{ \cos{(30t)} \} \ :. :. \mathcal{j} \{y\} = \dfrac{120p}{(p^2 I_o)(p^2 I_o)\left(p^2 I_o + k\right)} = \dfrac{2p}{(p^2 I_o)(p^2 I_o)} = A pB + C pD + \dfrac{1}{p^2 + 900} = \left(-\dfrac{1}{p^2 + 900}\right) + \dfrac{7}{p^2 I_o} + \dfrac{36}{p^2 I_o^2 (p^2 + 900)} + \dfrac{7}{I_o^2 (p^2 + 25} \dfrac{-99 - 70 \Omega}{I_o^2} = -\left(\dfrac{7}{1045} p\{ \dfrac{1}{p^2 + 900}\right) + \dfrac{36}{30} \dfrac{30p}{p^2} + \dfrac{7}{1045}\} y = \dfrac{7}{1045} \mathcal{j}^{-1} \left\{ \dfrac{2}{1045} p \right\} + \left(\dfrac{36}{30} \dfrac{30}{1045} p \right) + \left(\dfrac{7}{1045} \mathcal{j}^{-1}\right) \{ \dfrac{1}{25}\} + \mathcal{j}^{-1} \left\{ \dfrac{25}{1045} \dfrac{1}{p^2} \right\} \cos{(30t)} - 2829 \dfrac{1}{1045} e^{-t} \cos{(98t)} - 2829 \dfrac{1}{1045} e^{-10t} \mathcal{j}^{-1} \left\{ e^{-10t} \cos{(98t)} \right\} (b) \text{my''} + \beta y' + ky = U\delta(t) 120 \text{y}(0) = 0 \ \text{e} \ \text{y'}(0) = 0 \text{Aplicando a transformada:} \mathcal{j}\{y'\} = \dfrac{120 \mathcal{j}\{U\delta(t)\}}{\text{mn} + \beta \text{I}_o + k} = \dfrac{e^{-t} 2p}{p(p)(30)(I_o)(60)(1200)} = \dfrac{2 p}{(p^2+80)(p^2+30)I_o} \dfrac{-10}{(p^2+716)(p^2+128)} + 2 \left(\dfrac{1}{p(p)(p^3)} \right)- \left( \dfrac{10}{725} \mathcal{j}^{-1}\right)\{ \dfrac{1}{p^2} \} = \mathcal{j}\left( \dfrac{10}{725} \mathcal{j}^{-1} - \dfrac{30}{725}(1045) \mathcal{j}^{-1}\{e^{-10t} \} \right) = \mathcal{j}\left\{\dfrac{1}{1045} \cdots \right\} y = 2 { 1/20s [ 1/25s - 1/s^2 ] - 1/20s [ ln(10s) ] - 1/20s 10 / s^2 + 25 / s^3 - ln(10s) / 20s^3 } y = 2 [ 1 / 20s - 1 / 20s ] e^(-4t-2)(cos(2t)+sin(2t)) )U4(t)U(t) Questao 3 a) y'' + 4y0 = 8s (t+5) y(0) = 10 e y'(0) = -1 aplicando laplace : s^2Y(s) - 10 s - y(1 + 1 U(s) Y(s) -1 ) = 8 e^(-5s) Y(s) = (8e^-5s)/(s^2 + 4s) + (10s + 89)/(s^2 + 16) 1 / s(s+4) = A / s + B / s^2 = 1 / s - 1 / s^2 y = 8 { 1/20s e^-5s / s(s+4) + 10/s(s+4) + 89/s(s+4) } y = 8 { 1/20s e^-5s - 1/s e^-5s / s(s+4) + 10/s^2 + 89 [ 1/s - 1/s^2 ] } y = 2 u5(t) [ ( 1 - e^(-4(t-5)) + 10/s e^-ut + 89/s - 20e^-ut/s ] y = 2 u5(t) [ ( 1 - e^(-u(t-5)) ) t, 20 / u e^-ut b) y'' + 7y1 + 7y2y = 2e^t y(0) = 1 e y'(0) = -5 Aplicando o laplace : s^2Y(s) - 5 + 7[t s - 1](s nap Y(s) - 1 ) 7 Y(s) = 2 / s-1 Y(s) = (s - 1 )/s(s^3 + s) + 5/s + 2/s(s^2 + 12) 1/(s-1)(s^3 + s) = A / s - 1 + B / s^2 + C / s^3 = A / s - 1 + 1 / s^2 + - 5 / s^3 y = 2 s^-1 es2 ( 1 / s / s + 1 / s^2 + -5/s^3 ) + 2 [ 1/s - 1/s^2 ] y = 4 e^t + 1/2 e^-4t - 5/6 e^-3t + 4 e^t - 3 e^-3t - 2e^(-u)t + 2e^-3t