Lista 4 - Transformada de Fourier de Sinais Contínuos no Tempo-2023 1

Lista 4 - Transformada de Fourier de Sinais Contínuos no tempo Exercícios 1. (4.1 - Oppenheim) Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de: (a) e−2(t−1)u(t − 1) (b) e−2|t−1| Esboce e especifique a magnitude de cada transformada de Fourier. 2. (4.4 - Oppenheim) Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para deter- minar as transformadas inversas de Fourier de: (a) X1(jω) = 2πδ(ω) + πδ(ω − 4π) + πδ(ω + 4π) (b) X2(jω) =      2, 0 ≤ ω ≤ 2 −2, −2 ≤ ω ≤ 0 0, |ω| > 2 3. (4.6 - Oppenheim) Dado que x(t) tem a transformada de Fourier X(jω), expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de X(jω). Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier. (a) x1(t) = x(1 − t) + x(−1 − t) (b) x2(t) = x(3t − 6) (c) x3(t) = d2 dt2 x(1 − t) 4. (4.8 - Oppenheim) Considere o sinal x(t) =      0, t < − 1 2 t + 1 2, − 1 2 ≤ t ≤ 1 2 1, t > 1 2 (a) Use as propriedades de diferenciação e integração e o par transformado de Fou- rier do pulso retangular para encontrar uma expressão fechada para X(jω). (b) Qual é a transformada de Fourier de g(t) = x(t) − 1 2 ? 5. (4.12 - Oppenheim) Considere o par transformado de Fourier e−|t| F ←→ 2 1 + ω2 (a) Use as propriedades apropriadas da transformada de Fourier para encontrar a transformada de Fourier de te−|t|. (b) Use o resultado do item (a), juntamente com a propriedade da dualidade, para determinar a trans formada de Fourier de 4t (1 + t2)2 . Dica: Ver Exemplo 4.13. 6. (4.19 - Oppenheim) Considere um sistema LIT causal com resposta em frequência H(jω) = 1 jω + 3. Para uma entrada em particular x(t), observa-se que esse sistema produz a saída y(t) = e−3tu(t) − e−4tu(t). Determine x(t). 7. (4.26 - Oppenheim) (a) Calcule a convolução de cada um dos seguintes pares de sinais x(t) e h(t) cal- culando X(jω) e H(jω), usando a propriedade de convolução e fazendo a trans- formação inversa. (i) x(t) = te−2tu(t), h(t) = e−4tu(t) (ii) x(t) = te−2tu(t), h(t) = te−4tu(t) (iii) x(t) = e−tu(t), h(t) = etu(−t) (b) Suponha que x(t) = e−(t−2)u(t − 2) é h(t) seja como esboçado na Figura 1. Verifique a propriedade de convolução para esse par de sinais mostrando que a transformada de Fourier de y(t) = x(t) ∗ h(t) é igual a H(jω)X(jω). Figura 1: 8. (4.33 - Oppenheim) A entrada e a saída de um sistema LIT estável e causal estão relacionadas pela equação diferencial d2y(t) dt2 + 6dy(t) dt + 8y(t) = 2x(t) (a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema. (b) Qual é a resposta desse sistema se x(t) = te−2tu(t)? (c) Repita o item (a) para o sistema LIT estável e causal descrito pela equação d2y(t) dt2 + √ 2dy(t) dt + y(t) = 2d2x(t) dt2 − 2x(t) ii 9. (4.34 - Oppenheim) Um sistema LIT causal e estável S tem resposta em frequência H(jω) = jω + 4 6 − ω2 + 5jω. (a) Determine uma equação diferencial relacionando a entrada x(t) e a saída y(t) de S. (b) Determine a resposta ao impulso h(t) de S. (c) Qual é a saída de S quando a entrada é x(t) = e−4tu(t) − te−4tu(t)? iii