Slide Transformada de Fourier de Tempo Discreto-2023 1

Transformada de Fourier de tempo Discreto Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis 6 de junho de 2023 http://www.eletrica.ufpr.br/~luis.lolis Conte´udo 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 2 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 3 Introdu¸c˜ao S´eries de Fourier Finita para tempo discreto. Infinita para tempo cont´ınuo. A transformada no tempo cont´ınuo se tornou uma integral. No tempo discreto ser´a uma somat´oria. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 4 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 5 Deducao da transformada de Fourier do tempo eRegased” - @ Mesma abordagem de gerar um sinal periddico onde o aperiddico é um periodo do sinal periddico, e aplicar o periodo tendendo a infinito. e@ Um sinal x[n] finito limitado em N; e No: { # 0, —-Ni <n< No x{n] = ee 0, caso contrario Sinal periddico Z[n], onde x[n] é um periodo. x(n] (a) X{n] (b) G I @€S Figura 5.1 (a) Sinal x(n] de duragao finita; (b) sinal periddico x[n] construido para ser igual a x{n] por um periodo. @ Série de Fourier do sinal periddico <[n] a(n] _ S- ap,elk2n/N)n k=(N) @ E o calculo dos coeficientes: 1 oo , k= S° @[njeIkCn/N)n n=(N) @ x|n] é igual a Z[n] no intervalo de —N, <n < No: 1 1 k= 5 Ss" a[nje dh 2r/N)n — v Ss" a[nje IkO7/N)n n=(N) n=—0o GIES ae rer GEER oD e@ Agora considerando o seguinte somatorio: co X(eI”) = y x|nje Je" n=—Cco 1 . 20 _ J kw _ ap = —X(e wo = = N ( ), N @ Os coeficientes da série de Fourier sdo a amostragem de X(e/”) em kwo e@ Substituindo essa equacdo de a, na expressao da série de Fourier ~ 1 jkwo\ ,jkwon 1 jkwo\ jkwon x[n| = ) —X(eI™ Je = — y X (e)" Je wo N 27 n=(N) n=(N) GI€S elisa oD e@ Entéo com N > oo, &[n] = x[n], wo > 0 € a soma tende a uma integral, com intervalo 27: ~ l JW) ,Jwn zn] =— | X(e?*)e??" dw 21 on GI€S UFPR <> @ Com o periodo N + oo Transformada Inversa 1 Jw ,jwn x|[n] =— | X(e)e!?" dw 27 on Transformada CO X(e/*) = ) x{nje 7°" n=—CoO GIES Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 11 Exemplos Es 5.1 - Calcular a transforma discreta de Fourier de x[n] = anu[n], com |a| < 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 12 Es 5.2 - Calcular a transforma discreta de Fourier de x[n] = a|n|, com |a| < 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 13 at UFPR sD @ Calcular a transforma discreta de Fourier do pulso retangular: a(n] _ 1, \n| < Nj 0, \n| > Ny xe) x{n] 5 MM. Ni, 0 Ny 0 Lon = 0 7 Qn w (@) ) Figura 5.6 (a) Sinal de pulso retangular do Exemplo 5.3 para N, = 2 e (b) sua transformada de Fourier. GI€S mn a a a CO @ Sinal z[n] com energia finita: Ss" |z[n]|? < co n=—0o @ Nao ha o fendmeno de Gibbs e #[n] = x[n] quando W =z: 1 fw oo, &[n] = > | X (e?*)e?” dw 20 —W GIES are —_ et Exemplos ae e@ Com x[n] = d[n] calcularemos @[n] como a integral em 2W da constante: WwW «. 1 jw jus sen Wn z[n] = — X (e!”)el* dw = ——— 27 J_w mm Xo] W= al in W=3n/8 1 3 aN i 0 7 0 7 @ ) Xin W = 30/4 xin We wi 3 1 4 2 0 n 0 7 © @ Xo] W=7H/8 i Zz 1 Wen 8 weetowteteteete TT OTE Cer wi etwetete 0, n ) ( Figura 5.7 Aproximagao para a amostra unitaria obtida como na Equagao 5.16 usando exponenciais complexas com frequéncias |u| < W: (a) W= 7/4; (b) W= 3/8; (c) W= 1/2; (d) W= 3/4; (e) W= 77/8; (f) W= 7. Observe que, para W= 7, X{n] = 5[n] UFPR Luis Henrique Assump¢ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 16 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 17 GPE oD e@ Vamos considerar o sinal periddico x[n] = e7%°” e@ A transformada de Fourier de tempos discreto é periddica em 27m e isso gera uma sequéncia de Diracs: co X(e!%) = ) 275(w — wo — 2rl) l=—oo @ Podemos provar através da transformada inversa. @ Considerando um sinal que contém diversas harm6nicas _— jk (2a /N)n a|n] = dop=(n) Ane? Oni®) co ; jw 20k @ Sua transformada fica: X(e/”) = ) 27,0 | w — WS k=—0o @ Sua transformada é construfda diretamente pelos seus coeficientes da série de Fourier. GI€S et Exemplos ae @ Calcular a transformad de Fourier no tempo Discreto de x|n] = cos won @ Calcular a transformad de Fourier no tempo Discreto de _ co a{n] = Cex, dln — kN] GIES Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 20 Nota¸c˜ao: x[n] F ←→ X(ejω) 1 Periodicidade da transformada em ω = 2π: X(ej(ω+2π)) = X(ejω) 2 Linearidade ax[n] + by[n] F ←→ aX(ejω) + bY (ejω) 3 Deslocamento no tempo e na frequˆencia: x[n − n0] F ←→ e−jωn0X(ejω) x[n]ejω0n F ←→ X(ej(ω−ω0)) 4 Conjuga¸c˜ao e simetria conjugada: x[n] F ←→ X(ejω) x∗[n] F ←→ X∗(e−jω), x[n] real Ev{x[n]} F ←→ Re{X(ejω)} Od{x[n]} F ←→ Im{X(ejω)} Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 21 @ Diferenciacdo e acumulacao: x(n] — 2[n — 1] <8 (1 —e %”) X (el) n co 1 . S> alm) > oe X(*) +2 X(e) YP 5(w—2k) m=—o0o k=—co @ Reflexdo no tempo: a[—n] > X(e4) @ Expansao no tempo: _ f a{n/k], —n miltiplo de k mL] = { 0, n nado multiplo de k ¥ . X(k) [n] — X (jkw) GI@S are ower Expans˜ao no tempo Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 23 oD @ Diferenciacado na frequéncia: dX (eI = (e )_ S° —jnax{njeI" dw n=—Cco : 3, .dX(e*) NzeIn| <<—- 7—— [In] <> j— @ Relacdo de Parseval: DS lela? = 5 ff xe) Pde n=—0o T Son GI@S are ower Exemplos 1 Dados que um filtro passa baixa tem resposta hlp[n], encontre a rela¸c˜ao entre o filtro passa baixa e o passa alta hhp[n], de tal forma que Hhp(ejω) = Hlp(ej(ω−π)) 2 Deduzir a transformada de Fourier do degrau unit´ario partindo da propriedade de acumula¸c˜ao e sabendo que a transformada de Fourier do Dirac discreto ´e: g[n] = δ[n] F ←→ G(ejω) = 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 25 3 Dado o sinal x[n] representado na figura abaixo, calcula sua transformada de Fourier partindo do fato de que ele ´e a concatena¸c˜ao de dois sinais que s˜ao expans˜oes no tempo de x[n] Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 26 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 27 4 Calcula a energia do sinal discreto cuja transformada de Fourier ´e representada pela figura abaixo: Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 28 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 29 Propriedade da Multiplica¸c˜ao y[n] = x[n] ∗ h[n] F ←→ Y (ejω)H(ejω) Exemplos: 1 Calcular o sinal de sa´ıda Y (ejω) para uma entrada x[n] e uma resposta ao impulso h[n] = δ[n − n0] 2 Calcular a sa´ıda no tempo com uma entrada x[n] = βnu[n] em um sistema discreto com resposta ao impulso h[n] = αnu[n]. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 30 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 31 Propriedade da Multiplicacao 1 . @ x[n|h{n] 8 + | X(ci)¥ (eI) dy 27 On @ Convolucdo periddica no dominio da frequéncia. GI@S nar were . Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 33 Propriedades Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 34 Propriedades Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 35 Tabelas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 36 Tabelas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 37 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 38 Dualidade na série Fourier do tempo discreto SB @ gln] <—> ih SG fr] FS —g[-k e xz[n — N09] 28, ayet2n/N)no ef (2r/N)m yin] 2, Ak—m ° Ss" x|rjy|n — 7] 23, Nagby r=(N) Ss x|n|y[n] es, S° apbp—1 l=(N) GIéS are were : Dualidade entre transformada de Fourier no tempo discreto e cont´ınuo Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 40 et Exemplo e@ Ex: Usando a o par de séries de Fourier g(t) = 1, LkT + |t]| < £kT+T, 5a I=) QO ART 4+ T, <£RT + It] <4kT t+ * OR sen(kT} ) kr e T = 27 eT; = 7/2 encontre a transformada de Fourier de a(n] _ sen(mn/2) TN GIES ae wer : Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: a transformada de Fourier de tempo discreto 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 5 Propriedade da convolu¸c˜ao 6 Propriedade da Multiplica¸c˜ao 7 Tabelas de transformadas e proprieadades 8 Dualidade 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes de diferen¸cas lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 42 ———— N M ° S/ axyln —k|= S- bpaln —k] k=0 k=0 Y (e/”) H(el”) = e H(e”) X (ei) N M ° Sage IY (e!”) = S| dpe IX (e}*) k=0 k=0 M —jkw . by ewd ° H(c) = 2ik=o he 1 Yeo the I GIéS — rer : Exemplos 1 Calcule a resposta ao impulso do sistema cuja rela¸c˜ao de entrada-sa´ıda ´e a seguinte: y[n] − 3 4y[n − 1] + 1 8y[n − 2] = 2x[n] Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Discreto 44