Slide Séries de Fourier-2023 1

S´eries de Fourier Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis 20 de outubro de 2021 http://www.eletrica.ufpr.br/~luis.lolis Conte´udo 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 2 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 3 Uma outra forma de representar sinais como combina¸c˜ao linear de um conjunto de sinais b´asicos. Para s´eries de Fourier: exponenciais complexas. Aplicando a superposi¸c˜ao, temos tamb´em a soma das respostas `as exponenciais. Para sinais peri´odicos cont´ınuos e discretos: S´erie de Fourier Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 4 Contexto hist´orico Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 5 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 6 Propriedades vantajosas para um sistema LIT 1 Um conjunto de sinais b´asicos pode ser usado para construir uma classe ampla e ´util de sinais. 2 A resposta de um sistema LIT para cada sinal deve ser simples o suficiente na sua estrutura para nos fornecer uma representa¸c˜ao conveniente, a resposta a qualquer sinal constru´ıdo como uma combina¸c˜ao linear dos sinais b´asicos. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 7 As exponenciais complexas cont´ınuas e discretas est e zn : s e z complexos. A resposta de sistemas LIT `as exponenciais complexas: tempo cont´ınuo: est → H(s)est tempo discreto: zn → H(z)zn Um sinal cuja sa´ıda de um sistema ´e ele mesmo multiplicado por uma constante (possivelmente complexa) ´e chamado de autofun¸c˜ao. E o ganho ´e chamado de autovalor. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 8 Analisando a integracao convolugao de uma exp. complexa continua co y(t) = / h(r)e(t — r)dr —Co co -| h(r)e8— dr —oo co -/ h(r)ee~ 8" dr —Co co =e | h(r)e *" dr —oo e@ H(s) estd relacionada a resposta ao impulso do sistema de tal forma que: y(t) = H(s)e* CO H(s)= | h(r)e *" dr —CoO GI€éS ae Ee Analisando a soma de convolu¢ao de uma exp. complexa _ discreta co yin] = So fea [n — A] k=—-co co = So Alkjz"* k=—-co CO = 2” Ss" Alk]z—* k=—0o @ H(z) esta relacionada a resposta ao impulso do sistema de tal forma que: y[n| = A[z]2” co Hlz}= S > hi{kjz* k=—co GIéS ree eae : Ilustrando a vantagem de decompor um sinal em exp. complexas Considere x(t) = a1es1t + a2es2t + a3es3t Para cada parte individual temos as sa´ıdas de um sistema LIT: a1es1t → a1H(s1)es1t a2es2t → a2H(s2)es2t a3es3t → a3H(s3)es3t Logo a sa´ıda fica: y(t) = a1H(s1)es1t + a2H(s2)es2t + a3H(s3)es3t Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 11 or et Resposta de uma soma de exponenciais complexas @ No tempo continuo: x(t) = So ane k y(t) = San, H (sy) e°*" k @ No tempo discreto: x|n] = S- an k yln] = So ag (n)2R k GI@S — rT Ex Testar a passagem da exponencial complexa x(t) = ej2t pelo sistema de atraso: y(t) = x(t − 3) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 13 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 14 Combina¸c˜oes lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas Defini¸c˜ao de periodicidade: x(t) = x(t + T) para T positivo e todo t. O sinal exponencial x(t) = ejω0t com per´ıodo fundamental T = 2π/ω0 Definimos o conjunto de exponenciais harmonicamente relacionadas: φk(t) = ejkω0t, k = 0, ±1, ±2 Frequˆencias m´ultiplas de ω0 e per´ıodos subm´ultiplos de T . Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 15 Combinacoes lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas bree CO co e x(t) _ S° ayes kot _ > ap,elh(2n/T)t k=—0o k=—co e@ Exemplo: 3 e x(t) = S> apel?™ = T= 1. k=-3 e@ a= 1, a4 =a, >= 1/4, a2 =a_9> 1/2, a3 = 4-3 = 1/3 GIES — EES Exemplo Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 17 GEER 1909 e@ Esse é um exemplo de série de Fourier de sinal real. Para um sinal real x(t) = a*(t). A expressdo fica: CO a(t)=a*(t)= So age Iho! k=—0oo @ Substituindo k por —k: CO w(t) =a*()= YF at pelo" k=—oo @ Tal que a, = a*,. Assim a série pode ser descrita da seguinte forma: co x(t) = ao + S° apelh ot 4 gee Ik(wo)t k=1 GI€S e@ Assim a série pode ser descrita da seguinte forma: 105, CO x(t) =ao+>~ jayerson) 4 age Mo)*| k=1 co e x(t) =ao+ DY 28" fanetton)* , coma k na forma polar: k=l an = A,e2% co @ x(t) =apo+ S° 2K { Apel oot9n) } k=1 co e x(t) =a0+2 S° Axcos(kwot + Ox) k=1 @ Outra forma é aplicando a k em coordenadas cartesianas: ay = Be t+ jCe co @ x(t) =ay +2 S [Be cos(kwot) — Cy, sen(kwot)| k=1 GIéS — wpreearen . Determinacao da representacao de um sinal periddico de , a ; iar at tempo continuo em Série de Fourier e@ Vamos deduzir um método de calcular a, que sao os coeficientes para um sinal periddico x(t), passando pelas seguintes etapas: e@ Multiplicando nos dois lados da combina¢4o linear de exponenciais por e~J”~0t e Integrando os dois lados de 0 a T = 277/wo e Invertendo a ordem de integral e somatéria na combinacao linear. 1 . 1 . © a= z/ a(t)e Il dt = —2x(t)e ICT) at T Jr T GIéS arr aT Determinacao da representacao de um sinal periddico de tempo continuo em Série de Fourier bree Equacdo de Sintese CO CO a(t) = S° az,ei wot — > a,eikOn/T)t k=—oo k=—o0o OO) Equacao de Analise 1 1 ap = af a(t)e Iho dt = af a(t)e IRC7/T)t ge L Jr L Jr GI@S — STE Exemplos e@ Fazer a andlise de Fourier dos seguintes sinais: e x1(t) = sen (wot) e x(t) = 1+ sen(wot) + 2cos(wot) + cos (Qwot + 7) GIéS ree eae : Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 23 Exemplos ae ze . @ Analise de Fourier da onda quadrada: 1, |t}<T% 0, Ti <'|t)}<T/2 x(t) -2T TT I-%,% IT aT t 2 2 Figura 3.6 Onda quadrada periddica. v T Fee | T v k (a) Figura 3.7 Graficos dos coeficientes Ta, da série de Fourier para a onda quadrada periddica com T, fixo e para diferentes valores de T: 4 0 4 k (a) T=4T,; (6) T=8T,; (c) T= 167,, Os coeficientes so amostras re- © gularmente espagadas da ‘envolt6ria’ dada por (2 sen wT,)/w, 0 qual © espacamento entre as amostras, 2n/T, diminui quando Taumenta. mB oO errr k () UFPR Luis Henrique Assumpc¢ao Lolis Team mel og yz) Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 25 goo a oo O 4 oo O aa Séries finitas e infinitas de Fourier @ Sinais que apresentam descontinuidades mas sao periddicos terao uma série infinita de coeficientes. @ Sinais que diretamente sao descritos por senos e cossenos, ndo apresentam descontinuidades e contém uma quantidade finita de coeficientes na série de Fourier. @ Sequéncia finita representando x(t): N ° tn(t) = S> apel hot k=—N e@ Erro de aproximacao: N e en(t) = x(t) — an (t) = a(t) — S> azel vot k=—N GIéS are wpreearen O y et Energia do erro em um periodo 2 Ey =f len(t)Pat N wo. 1 _; @ A equacdo que minimiza 0 erro: ay, = r | a(t)e 7%" dt T @ O erro tende a zero 4 medida que N > oo. GIéS are aT GPE oD @ Podem ocorrer integrais de coeficientes a, que vao para o infinito e a série nado converge. @ Primeiro R analisamos sinais com energia finita dentro de um periodo: [-.|x(t)|?dt < co, dessa forma aj, so finitos. e@ Dessa forma podemos dizer que a energia do erro é zero. Mas isso nado garante que as funcoes sao iguais para todos os pontos em t, sobretudo nas descontinuidades. GI€S re -. et Condicoes de Dirichlet O sinais x(t) e xy(t) sdo equivalentes satisfazendo as seguintes condicoes: @ Em qualquer periodo x(t) deve ser absolutamente integrdvel: | le(t)|dt < 00 T @ Sinal tem variacdo limitada; nimero finito de maximos e minimos dentro de um periodo: 27 Ex: sen {| — t @ Em qualquer intervalo de dura¢ao finita, existe um nimero finito de descontinuidades. GIéS ree eae : Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 30 A aproxima¸c˜ao da s´erie para onda com descontinuidades Fenˆomeno de Gibbs (amplitude da ondula¸c˜ao n˜ao muda). Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 31 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 32 . et Propriedades Notacao x(t) &, ak @ Linearidade: x(t) &%, ak SF y(t) —> by z(t) = Ax(t) + By(t) <> Aag + Boy @ Deslocamento no tempo: a(t — to) <> age FRwoto @ Reflexdo no tempo: x(—t) <— a_z @ Mudane¢a de escala no tempo: x(at) = 772. aged Mow) GI€éS ever a Propriedades @ Multiplicacao:: x(t) &%, ak SF y(t) —> be co x(t)y(t) + he = S> arby-1 l=—0o @ Conjugacao e simetria conjugada: x(t) &%, ak x*(t) &%, ay. @ Relacdo de Parseval para sinais periddicos de tempo continuo: 1 co Qa 2 pf lePat= > a k=—co GIéS — waren . Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 35 Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 36 Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 37 Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 38 Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 39 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 40 Combinacoes lineares de exponenciais complexas ; ; a2 harmonicamente relacionadas @ Periodicidade no tempo discreto: x[n] = z[n + N] @ Conjunto de sinais de periodo N harmonicamente relacionados: ¢,[{n] = e7*0" = ef h27/N)n. ¢ — 0,41, 42,... @ Mas no tempo discreto: ¢o[n] = on [7], [2] = Oetrn[n] e x(n} = S— andar] = So ayer k k k @ O limite do somatério é N , pois é distinto apenas para N valores sucessivos de k: x{n] = Ss" angx[n| = S° ape] eo" k=(N) k=(N) k=(N) GIéS arr aT Determinacao da representacao de um sinal periddico em série de Fourier bree @ Calculando x[n] para N valores sucessivos: x0] = Ss" Ak k=(N) x{1] = S° a,ed®n/N) k=(N) a|N _ 1] _ Ss" ap,el®2n(N-)/N) k=(N) GIéS — STE Determinacao da representa¢ao de um sinal periodico em __ série de Fourier ; N, k=0,4£N,+2N,... e jk(2n/N)n _ ’ ’ mee » © 0, caso contrario k=(N) @ Multiplicando dos dois lados por e~J727/N)” @ somando em N elementos. 1 —jr(2n/N e@a,= NW S° x|ne jr(2a/N)n n=(N) GIéS arr aT Par da série de Fourier do tempo discreto Bree Equacdo de Sintese a(n] _ Ss" ee k=(N) Equac¢ao de Analise 1 ap = v S° a[njeIkGar/N)n n=(N) GIéS ree eae : Exemplos Fazer a an´alise para de s´erie de Fourier para o sinal: x[n] = sen(ω0n) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 45 Exemplos as e Fazer a andlise para de série de Fourier para o sinal: in] = 14 27 43 27 4 An 42 z|n| = sen {| — ] n cos | — }n+cos | —n+—= N N N 2 Refag 3 2 TLE LL -2N -N 0 N 2N k Sra 1 2 2. —N N 2N k ee (a) layl GIES Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 47 Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 48 Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 49 Exemplos A s´erie de Fourier discreta n˜ao sofre do fenˆomeno de Gibbs e converge para N elementos. S˜ao definidos por um parˆametro finito M = (N − 1)/2, fazendo a soma de −M a M. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 50 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 51 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 52 Nota¸c˜ao x[n] SF ←→ ak 1 Linearidade: x[n] SF ←→ ak y[n] SF ←→ bk z[n] = Ax[n] + By[n] SF ←→ Aak + Bbk 2 Primeira diferen¸ca no tempo: x[n] − x[n − 1] SF ←→ (1 − e−jk2π/N)ak Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 53 @ Multiplicacao: SF x|n| <> ag SH y[n] <> be SH x[n|y{n] > he = S> audy1 l=(N) @ Relacdo de Parseval para sinais periddicos de tempo discreto: 1 2 2 > lel = SS law n=(N) k=(N) GIéS are ee Exemplos Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 55 Exemplos Considere o sinal w[n] como sendo o resultado da soma de convolu¸c˜ao de x[n] por ele mesmo. Sabemos tamb´em que w[n] ´e peri´odico com fundamental N = 7 e coeficientes de s´erie de Fourier: ck = sen2(3πk/7) 7sen2(πk/7) Esboce w[n] Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 56 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 57 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 58 GPE oD e@ Vamos enviar um sinal x(t) representado por sua série de co Fourier: ) a,c wot n=—Cco e@ Cada uma das exponenciais complexas da série 6 uma autofuncao do sistema, cada coeficiente multiplicado pelo sua exponencial da ele na saida multiplicado pelo autovalor: CO _— . jkwot y(t) = ) ap H (jkwo er"? n=—oo GI€S a a Exemplo @ Aplicar x(t) = S~>__ 3 aget*?** com ag = 1,41 = a1 = 1/4, ag = a_2 = 1/2, ag = a_3 = 1/3 em um sistema cuja resposta ao impulso h(t) = e~‘u(t) @ Calcular y(t). GI€éS ree eae : Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 61 Introdu¸c˜ao Filtros: Diferentes ganhos e fase para diferentes frequˆencias. Filtros formadores em frequˆencia: altera a forma do espectro. Filtros seletivos em frequˆencia: rejeita determinada faixa e deixa passar determinada faixa. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 62 Filtros formadores em frequˆencia ´Audio: equalizador gr´afico. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 63 Filtros formadores em frequˆencia Circuito diferenciador, discriminador de frequˆencia. y(t) = dx/dt. x(t) = ejωt, y(t) = jωejωt . Resposta em frequˆencia: H(jω) = jω Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 64 Filtro equa¸c˜oes de diferen¸cas - tempo discreto Circuito de diferen¸cas no tempo discreto: enfatizar mudan¸cas bruscas. y[n] = 1/2(x[n] − x[n − 1]) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 65 Filtros seletivos em frequˆencia Selecionar determinada banda e rejeitar outras. Supress˜ao de ru´ıdo / transmiss˜ao de RF, entre outras. Tipos Passa-baixa Passa-alta Passa-faixa M´ascara do filtro Banda de passagem Banda de rejei¸c˜ao Filtros ideais: Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 66 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 67 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 68 Passa-baixa RC Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 69 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Respostas dos sistemas LIT `as exponenciais complexas 3 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos de tempo cont´ınuo em s´erie de Fourier 4 Convergˆencia da S´erie de Fourier 5 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo cont´ınuo 6 Representa¸c˜ao de sinais peri´odicos discretos em s´erie de Fourier 7 Propriedades da S´erie de Fourier de Tempo Discreto 8 S´eries de Fourier em Sistemas LIT 9 Filtragem 10 Exemplos de filtros de tempo cont´ınuo descritos por equa¸c˜oes diferenciais 11 Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equa¸c˜oes de diferen¸cas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 70 Filtros recursivos no tempo discreto de primeira ordem Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 71 Filtros n˜ao recursivos no tempo discreto Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis S´eries de Fourier 72