Slide Amostragem -2023 1

Amostragem Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis 13 de junho de 2023 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 1 Conte´udo 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 2 Sum´ario 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 3 ofthe oD Xa(t) x40) X(t) \ / 7s TN 7 N 7 \ \ / \ \ \y \ 7 \ - \ \ ce Ne No _ a DD —3T —2T —3T 0 T 2T 2T t GI€S a rece eet ek mmm Cesar GEER . ~ . [aed @ Os instantes de amostragem sdo igualmente espacados: x[n] = «(nT), -co <n < co T @ T - Periodo de amostragem. f; = 1/T' - Frequéncia de amostragem. w, = 27/T - Frequéncia de amostragem em rad/s. @ Conversor no tempo continuo-discreto ideal. @ Imperfeicdes de um conversor analdgico digital: oe a @ Erro no periodo de @ Quantizacdo dos niveis de P . amostragem amplitude | fot 4 4 . . ps e@ Imperfeicdes do circuito de e Linearidade dos niveis de P $ . amostragem amplitude sample-and-hold GI€S Discreto no tempo e amplitude cont´ınua Amostragem no tempo: x(t) → xp(t). xp(t) cont´ınuo no tempo mas diferente de zero s´o em nT. x[n] discreto no tempo onde j´a n˜ao exista a no¸c˜ao de T, ´e n a amostra. Conversor C/D p(t) x(t) Conversão de trem de impulsos para sequência de tempo discreto. x[n]=xp(nT) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 6 Sum´ario 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 7 O trem de pulsos s(t): UrPR oo = e p(t)= S > d(t—nT) n=—oo Multiplica o sinal x(t) CO e x(t) = 2(t)p(t)=a(t) S> 6(t—nT) = n=—0oo co SS 2(nT)6(t — nT) n=—0o Que no dominio da frequéncia se torna convoluc¢do: @ Espectro de p(t): P(jw) === > 5lw~ he) w) = — — J T Ww Ws k=—co @ Resultado da convolucao: . 1. . LOY. Xp(jw) = 5X (jw) * P(jw) = S> X(jw — kws)) k=—co GI@S ree eT Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 9 O resultado ´e peri´odico na frequˆencia (e se repete a cada ωs). Aliasing: se o sinal ocupa ωN e ωs < 2ωN os espectros se recobrem. Esse fenˆomeno ´e chamado de aliasing. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 10 O crit´erio de Nyquist para evitar o aliasing: ωs > 2ωM A reconstru¸c˜ao sinal xc(t) quando o crit´erio de Nyquist ´e preenchido, ´e atrav´es de um filtro passa baixa ideal Hr(jω): Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 11 Ligando a Transformada de Fourier de uma Sequéncia Discreta com a transformada de um sinal amostrado @ Para diferenciar tempo continuo e discreto (nota¢ao do livro): e (: frequéncia de tempo discreto (—7 < 2 <7). @ w: frequéncia de tempo continuo (—co < w < ow). e@ A transformada de uma sequéncia discreta: CO X (eI) = Ss" a[nje 2" n=—0o @ A transformada do sinal amostrado (sé vale quando t = nT’): X5(jw) = fo ws(thetdt = °° we(nT)e Je” @ Sendo que a sequéncia finita é resultado da amostragem: x|n] = x-(nT). @ Se aplicarmos 2 = wT na expressdo da transformada da sequéncia discreta: co co X(e#T) = S* a[nje™ = So x-(nT)et™ = n=—0o X.(jw) n=—0o GIES Ligando a Transformada de Fourier de uma Sequéncia . 7 aera Discreta com a transformada de um sinal amostrado e X(e!°) = X.(jw)lomwr @ Do espectro do sinal amostrado: 1< . X(cl*?) = X,(ju0) = YO Xel(w — hws) k=—co . 1 <= Q 27k Apli X(eI2) = = xX (7( 2 @ Aplicando em X(e!**) 7 S° (G(F =) k=—0o @ 9. 6 uma frequéncia normalizada Q = wT. Tal qual a amostra n € normalizada e cada n vale no tempo 1-T. GIéS are ae Sum´ario 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 14 UFPR @ O sinal amostrado «,(t) a partir das amostras 2[n] é formado ~~ a partir da seguinte equac¢ao: CO xs(t)= S > a2[n]d(t— nT) n=—0o e@ A amostra de de nimero n é associada ao impulso em t = nT’. @ Aplicando o filtro ideal passa baixa no sinal x(t) gera o seguinte resultado para o sinal reconstruido x,(t): oo _—_— Ideal reconstruction system | w(t) =he(t)* D2 aln]-d(¢—nT) | ! N=— OOo | Convert from Ideal . 0° sequence to reconstruction malt) = Sale bol 45000) n=—oco ! | ee) Sampling x(t)= 5° x[n]-h,(t—nT) LPenod n=—Co (a) GI€S oD A(t) H,(jQ) ; , ” _7 T 2 | Tr r 4237 7 oT 3ST 4T_ ot (b) (c) @ Como 0 filtro h,(t) é definido pela fun¢ao sinc: h,(t) = weT sen(wet) Tet e@ Deslocando o filtro sinc para t = nT’. Gera o seguinte resultado para o sinal reconstruido: CO sen[m(t — nT)/T] t)= oN nt n()= D7 alr m(t—nT)/T n=—0oo GI@S ree eT UFPR ——> ‘ff \ 4 \ DPD Vv \s 2 / \ /\ N\ /\ » aa aS NEE = aN t NU NU NUT OS oF OST ONT OL t }-—-+| (a) T (c) / ot OK D/C / XN 3s) x(n] x,(t) mf (b) T @ No dominio da frequéncia: co co X;(jw) =F So alr] -hr(t—nT) 9 = So a[n|H(jw)eFe"7 n=—co n=—oco Xr (jw) = Hr(jw)X(e3*") GI€S Sum´ario 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 18 A amostragem de diferentes cossenos xc(t) = cos(4000πt) e T = 1/6000 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 19 A amostragem de diferentes cossenos, v2 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 20 A amostragem de diferentes cossenos, v2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 21 Sem Aliasing: Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 22 Com Aliasing: Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 23 Sum´ario 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 24 Hi) Geer Pon ng re oD 1 i ptt I 1 ' | Conversao de Conversao de T | \ Xp (t) trem de xan] O Ya tn] sequéncia paral YP o tH ' 6 x0 —>(x) impulsos para Ha(e") trem de @s |! | Ye | sequéncia impulsos “3 2 ' I | 1 | 1 e@ Para um sistema LTI e@ Considere as respostas em frequéncia do sistema discreto e a entrada e saida discretos: Ya(eI?) = Ha(e3?) Xq(e3”) e A saida reconstruida leva em conta a saida discreta - oe jwT\. multiplicada por trem de pulsos Y,,(e/”* ): iw _ . _ . . Yale" ) = Yp(Gw) = Hp(jw) Xp(jw) e o filtro de reconstru¢dao: . . , T }, T Y,(jw) = Hy(jw) [Ha(el*") Xa(el?)] GI€S e A funcao de transferéncia efetiva se passa dentro da banda de Nyquist: . Ha(el®"), |w| < (n/T =w,/2) A = , ef f(Jw) { 0, lw] > («/T = w,/2) GI@S ree eT o EPR Ex: Filtragem passa baixa Bree Xe (iw) Ha (e!*), Xa (e!") 1 + oe) IN Rory oy 0 wy o -wyT —O, Qe OyT Qn Hg (e!) (a) (a) 4 e | Xp (jo) H, (ia), Xp (io) 1 1 T t =N, 0 O% Qn 0 /\ \ /\ dy dy o S jo) Ah ATK ALN 0s oy 0 wy Os © Mo, oy 8 } Be, o ° A ©) © Xg(e) He Ui), Xe ia) & % ° 1 KX lie) LS He (je) ATK oT —oyT 0 oT oT =20 0 7 2 Me S © mM = EO (©) 0 UFPR Luis Henrique Assump¢ao Lolis Amostragem 27 On . . et Invariancia ao impulso @ Queremos implementar um sistema equivalente do tempo continuo no tempo discreto: H(e!®) = H.GQ/T), |Q| <a | h[n] | = H(@) x[n] y[n] @ h[n| =Th,(nT) — T: fator de escala. . Q e H(e°) = H, (s7). \Q| <a GIéS are wer Ex: Passa baixa em tempo discreto obtido por invariancia _ ao impulso ~\ fl, lw) <u, ° He(jw) 7 { 0, || 2 We sen(wet) he(t) = ———2* @ h(t) mt T Q © hin) =The(nT) = prenwen ) _ sen(Q.7) mT rn @ Com Q. = uT: . 1 IQ, <Q JQ) _ , c He!) = 09/7) =4 ge, GIéS are ae Ex: Inavriˆancia ao Impulso para fun¸c˜oes de sistemas racionais Fun¸c˜oes exponenciais no dom´ınio do tempo e frequˆencia. hc(t) = Aep0tu(t) Hc(jω) = A jω − p0 h[n] = Thc(nT) = ATep0Tnu[n] H(ejΩ) = AT 1 − ep0T e−jΩ Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 30 Sum´ario 1 Amostragem Peri´odica e representa¸c˜ao na frequˆencia 2 Amostragem por trem de impulsos 3 Reconstru¸c˜ao de sinais limitados em frequˆencia 4 Subamostragem: aliasing 5 Processamento no tempo discreto de sinais cont´ınuos 6 Exerc´ıcios Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 31 Exerc´ıcios 1 Qual a sequˆencia discreta obtida quando se amostra o sinal xc(t) = sen(2π100t) com uma frequˆencia de amostragem de 400Hz? 2 Considere o sistema de processamento no tempo discreto de um sinal no tempo cont´ınuo sendo o sistema no tempo discreto um filtro passa-baixa ideal com frequˆencia de corte de π/8 rad/s. (a) Se xc(t) ´e limitado em banda a 5KHz, qual o valor m´aximo de T que evitar´a aliasing no conversor C/D? (b) Se 1/T = 10KHz, qual ´e a frequˆencia de corte do filtro no tempo cont´ınuo equivalente? (c) Repita o item (b) para T = 1/20 kHz. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 32 Exerc´ıcios 1 Qual a sequˆencia discreta obtida quando se amostra o sinal xc(t) = sen(2π100t) com uma frequˆencia de amostragem de 400Hz? 2 Considere o sistema de processamento no tempo discreto de um sinal no tempo cont´ınuo sendo o sistema no tempo discreto um filtro passa-baixa ideal com frequˆencia de corte de π/8 rad/s. (a) Se xc(t) ´e limitado em banda a 5KHz, qual o valor m´aximo de T que evitar´a aliasing no conversor C/D? (b) Se 1/T = 10KHz, qual ´e a frequˆencia de corte do filtro no tempo cont´ınuo equivalente? (c) Repita o item (b) para T = 1/20 kHz. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 33 Exerc´ıcios 3 Considere o sinal cuja a resposta em frequˆencia ´e dada pela figura abaixo. w0 w0 w0 w0 w (a) Considerando um filtro de reconstru¸c˜ao ideal, para que valores de per´ıodo o sinal reconstru´ıdo ser´a igual ao sinal cont´ınuo de origem? Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Amostragem 34