Slide - Energia Potência e Sinais Básicos - 2022-1

Sinais de tempo contínuo: Energia, potência e sinais básicos Leandro dos Santos Coelho Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR), Escola Politécnica Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas (PPGEPS), Graduação em Engenharia de Controle e Automação (Mecatrônica) Rua Imaculada Conceição, 1155, CEP 80215-901, Curitiba, PR, Brasil Universidade Federal do Paraná (UFPR), Graduação e Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Campus Centro Politécnico Av. Cel. Francisco H. dos Santos, 100, CEP 81530-000, Curitiba, PR, Brasil e-mail: leandro.coelho@pucpr.br; lscoelho2009@gmail.com; leandro.coelho@ufpr.br Currículo Lattes: http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4792095Y4 Google Scholar: https://scholar.google.com/citations?user=0X7VkC4AAAAJ&hl=pt-PT Linkedin: https://www.linkedin.com/in/leandro-dos-santos-coelho-07a08893/ Suporte na preparação dos slides TE739 – Prática de Docência 01/2022 PPGEE-UFPR Doutoranda: Luiza ScapinelloAquino da Silva Tópicos 2 Leandro dos Santos Coelho  Sinais de tempo contínuo  Tipos de sinais  Sinais básicos  Operações com sinais  Material adicional (livros, links de apostilas, códigos fonte em Matlab e Python) Sinais e sistemas de tempo continuo os Tipos de sinais: Sinais energia e potencia aD Seja V(t) a tensdo em um resistor R produzindo James Prescott Joule uma corrente i (t) (1818-1889) Fisico britanico A poténcia instantanea p(t) é definida como cy p(t) — v(t) i(t) — R. i*(t) Watt (1736-1819 v(t)-1(t) 2 Mote, con — —— ronan A energia totale EF = R i i? (t) dt [Joules] o A potencia media para um periodo T e dada por (*j © ‘ T — ya, F ¢2 72 P= lim; Jiri (t) dt [Watts] © Leandro dos Santos Coelho Sinais e sistemas de tempo contínuo 4 Leandro dos Santos Coelho Tipos de sinais: Sinais energia e potência Em termos gerais, para algum sinal contínuo , a energia total (normalizada) é definida como E a potência média (normalizada) é  Potência é a média da energia por unidade de tempo Energia e potência 5 Leandro dos Santos Coelho  O sinal é dito um sinal de energia se e somente se e . Exemplo:  O sinal é dito um sinal de potência se e somente se e . Exemplo:  Sinais que não satisfazem nenhuma das classes acima não são sinais de energia nem de potência. Exemplo: Energia de um sinal: Medida do “tamanho” do sinal Potência de um sinal: Outra possível medida do sinal Energi téncia re B.P. LatHi@®) O O sinal x(t) é dito um sinal de energia se e somente se 0 < E,, < Oe Py = 0. ® O sinal x(C) € dito um sinal de poténcia se e somente se 0 < Py < Oc Ey = ©. © Sinais que n4o satisfazem as classes acima n4o sao sinais de energia nem de poténcia. Sinal com energia finita (e poténcia nula) x(t) t—_ Sinal com potencia finita (e energia infinita) x(t) (—_~> © http: / /www2.ene.unb.br /lelio/ss/capitulol_secaola5.pdf Leandro dos Santos Coelho Exem D lot ee af 20 a Qe7 1/2 —! 0 2 4 t —~ Eo= | |x(e)P at 0 00 3 0 co B= | 2)? de + | \2e~*/2| at = | sat +| 4edt =4+4=8 @ Leandro dos Santos Coelho | -2 -1 |0 1 2 t Analisando o sinal “por partes” tem-se: O @ ix ax O l l l -? =] -| O 1\Q2 t Ea= | |x(t)|? dt i T ro (+23 | (13 E..= [@+2)°ar+ [ar+ [d-n?ar ( +f“) =2 9 4 0 eZ 0 ° Oo @ © Sinais periódicos 9 Leandro dos Santos Coelho  A potência média normalizada é  Valor médio é dado por  Valor eficaz (do inglês Root Mean Square, RMS) é dado por = https://web.fe.up.pt/~anibal/SS/Teoricas/01sinsist_aula1.pdf . 1 T Exemplo 3 Po® lim fT Ix(t)/? dt ou a qe, 1 pT/2 2 x(t) Poo dim = J nj_lX (OI at A () 7/2 rr 72 rs Ti2 le 1p (24). 1 ¢ 442 442/23 x Poo=—[|x(nfde == [|] ae == | Sar = |S) = c f T c T ge 13 6 0 0 0 0 i? T/2 g Fiz Fis 1 2At 1 | At Valor medio = | x(Hdt =— | —dt =—|— _A fs F r|| x 4 0 0 0 _ A Valor eficaz (RMS) = — V6 © oo Leandro dos Santos Coelho x(t) = e 19" t > 0 €0 mesmo que e 1°". u(t q x(t) =e t% t>0 CO _ ” 2 dt = (Mle-10t2 que | =-g—-2@ at Bo = [le(OP de = fle"? ae ="SS] = 0- = 7 1 T 1 CO 1 e20t °° P,,= lim — | |x(t)|* dt = lim — | |e71°"|* dt = lim ——— © T>0 2T i ( )| T—00 mal | | T>0 2T —20 0 1 e720t)% 1 lim 1 1 = lim ral = lim —-=—?* _ = = 9 T>0 2T —20 9 670407 jim 407 a Degrau unitario —_ jl t>0 u(t) = f t<0 ® Oo - - Leandro dos Santos Coelho 2 Exem plo 5 jescets ol’ = cos? (6t + 7) + sen? (6t + =) =1 x(t) = ej (6t+1/4) | 2 Eo = fo koOr dt = f. Jes(oe+ (4) dt = f. 1.dt= | 00 = ©0O . 1 ¢T 1 . ti Po= lim = f_plx(O)? dt = lim = Jy 1.dt = lim =| =1 Sinais e sistemas de tempo contínuo 13 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Função degrau unitário A função degrau unitário , também denominada função Heaviside unitária é definida como Oliver Heaviside (1850-1925) Matemático e engenheiro eletricista inglês O degrau é função singular e descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. https://www.mathworks.com/help/symbolic/heaviside.html heaviside Sinais e sistemas de tempo contínuo 14 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Função degrau unitário t = (-5:0.01:5)’; degrau_unitario = t>=0; plot(t, degrau_unitario); axis([-5 5 -2 2]); xlabel('\itt'); ylabel('\itu(t)'); -5 0 5 t -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t = (início:passo:fim)’; Sinais e sistemas de tempo continuo > Sinais basicos: Funcao impulso y A funcao impulso 6(t), também chamada de . funcao delta de Dirac é definida como 0 t 4 0 £ Paul se oe Dirac 6(t) ~ 1° t — 0 J. 6(t)dt a 1 Fisico tedrico britanico 5(t) aa —e->0 0 t > lela t di du(t , : A ~ y= wy = | 5(t)dt | dt —00 syms t diff(heaviside(t), t) © “Tn (answer: resposta) ans — dirac(t) Leandro dos Santos Coelho Sinais e sistemas de tempo contínuo 16 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Função impulso (delta de Dirac) Propriedade de amostragem do impulso: Generalização deste resultado: T: atraso ou avanço no sinal Sinais e sistemas de tempo continuo CO 6(t) = !° t#0 / p(t)o(t —T)dt = d(T) co t=O —oo Exemplo de utilizagao da propriedade de amostragem do impulso: CO CO | S(t)e J 'dt =| S(t — Oe Jat —0O — 00 Nota-se que neste Caso T = 0 entao relagao de Euler ; a s.i§-| i S(t — 0)e J dt = (T) = (0) = e-J©° = cos(0) — j. sen(0) = 1 syms t w int (dirac(t)*exp(j*w*t), t, -Inf, Inf) © snmp pcs ans=1 (answer: resposta) Leandro dos Santos Coelho Sinais e sistemas de tempo contínuo 18 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Sinal rampa A função rampa é definida como ramp https://www.mathworks.com/help/sltest/ref/ramp.html Sinais e sistemas de tempo contínuo 19 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Sinal rampa t = (-5:0.01:5)'; rampa = max(0,t); plot(t,rampa); xlabel('\itt'); ylabel('\itr(t)'); -5 0 5 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Sinais e sistemas de tempo continuo Sinais basicos: Sinais senoidais O sinal senoidal pode ser expresso como x(t) = Acos(Wot + @) = RefA. eJ@oft@)y onde A é€ a amplitude (numero real), Wo é a frequéncia em rad/s, e 6 € o angulo de fase em radianos. Sendo um sinal periodico cujo periodo fundamental ¢ dado por Tg = = 0 O reciproco de Tg € a frequéncia fundamental dada por fo = = em Hertz 0 A frequéncia angular fundamental ¢ dada por Wy = 27 fo © Leandro dos Santos Coelho Sinais e sistemas de tempo contínuo 21 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Sinais senoidais t = (-5:0.01:5)'; A = 5; w0 = 10; phi = 2; x = A*cos(w0*t + phi); plot(t,x); xlabel('\itt'); ylabel('\itx(t)'); -5 0 5 t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Sinais e sistemas de tempo contínuo 22 Leandro dos Santos Coelho * Conceitos importantes: Números complexos http://www2.ene.unb.br/lelio/ss/capitulo1_secao1a5.pdf Lembrando... Sinais e sistemas de tempo contínuo 23 Leandro dos Santos Coelho * Conceitos importantes: Números complexos (em Matlab) https://www.slideserve.com/lonato/useful-functions-in-matlab-related-to-complex-numbers https://www.mathworks.com/help/matlab/complex-numbers.html Sinais e sistemas de tempo contínuo 24 Leandro dos Santos Coelho * Conceitos importantes: Relação (identidade) de Euler http://www2.ene.unb.br/lelio/ss/capitulo1_secao1a5.pdf      Leonhard Euler (1707-1783) Matemático e físico suíço Lembrando... Sinais e sistemas de tempo continuo Sinais basicos: Sinais exponenciais complexos O sinal complexo x (t) = eJ Mot pode ser definido como x(t) = eJ°0° = coswot + j sen Wot 21U Sendo um sinal periodico cujo periodo fundamental ¢ dado por Tg = - 0 Seja S = 0+ JW um numero complexo (tambem denominada frequéncia complexa), o € a frequéncia neperiana, e x(t) e definido por x(t) = eS! = eOto)t = ert eJot — ert (coswot + j sen wot) Esse sinal senoidal é exponencialmente crescente se 0 >0 e exponencialmente decrescente seo < 0 © Leandro dos Santos Coelho Sinais e sistemas de tempo contínuo 26 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Sinais exponenciais complexos Esse sinal senoidal é exponencialmente crescente se e exponencialmente decrescente se . Ilustração a seguir: http://www2.ene.unb.br/lelio/ss/capitulo1_secao1a5.pdf envoltória (ou envelope) da oscilação Sinais e sistemas de tempo continuo Sinais basicos: Sinais exponenciais complexos x(t) = eS = e@tHt = e% (cos wot + j sen Wot) A x(t) = e+ "(cos 20t + j sen20t) tc = (0:0.01:5)'; 200 Sigma = 1.3; w0 = 20; _ x = exp(sigma.*t) .* (cos (wO*t)+... x ° j*sin(w0*t) ) ; 200 plot (t,x); xlabel('\itt'); ylabel('\itx(t)"'); ” Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y naan 1 2 3 4 5 arguments ignored. @ oe a Leandro dos Santos Coelho Sinais e sistemas de tempo contínuo 28 Leandro dos Santos Coelho Sinais básicos: Sinais exponenciais complexos http://www2.ene.unb.br/lelio/ss/capitulo1_secao1a5.pdf Sinais e sistemas de tempo continuo Sinais basicos: Sinais exponenciais complexos s=oaotjw eS' = e (cos wot + j sen Wot) jw (eixo imaginario) Semi-plano esquerdo Semi-plano direito i ti‘(<i‘é zy”)~wdUdLUrL !!C«wmS 1 an ee t 1 Tale J : 1 oly t 1 an ! 1 a ee t i a l 1 a ' o (eixo real) 1 an ! 1 a ee ' 1 a t 1 Pouliot t 1 an ee ! bee eee ee eee ees I bee ee ee ee ee ee we! o <0: sinais exponencialmente o > 0: sinais exponencialmente decrescentes we crescentes o =0: sinais senoidais ee 0), sinal nado tem ————— 0), sinal 6 constante e?*(cos0 + j sen 0) = e*(1+4+ j.0)= e* e°(cos0 + j sen 0) = 1(1+ j.0)= 1 © http:/ /www2.ene.unb.br/Ielio/ss /capitulol_secaola5.pdf Leandro dos Santos Coelho EXxercicios: © Determinar a poténcia dos seguintes sinais: P,,4 jim — fel (t)? dt ou b uo - “(0 Poo him 5 7 _lXOl? at . x(t)=u c. x(t) =6sen(3zt + ~) E> | |x(t)|? dt d. x(t) =e7®- u(t) _ e, x(t) = {10 + 2sen(3t)}. cos(10¢) oe f x(t) = 10cos(5t). cos(10t) ee u(t) = f t>0 0 t<0 ® Determinar a energia dos seguintes sinais: a. x(t) = 5cos(zt) u(t) b. x(t) = e1-J8ME . u(t) c x(t) =t.[u(t) — u(t — 6)] d. x(t) =5.[u(t) — u(t — 10)] : Exercícios: Solução 31 Leandro dos Santos Coelho   ~ a 1 Resolucao do exercicio O(c) 7U x(t) = 6sen(3z2t + >) mt, |? Tl |x(t) |? =|6 sen(3at + | = 36sen *(3mt + > 1 T/2 9 . 1 T/2 1 12 1 T/2 , IC Po tim a xO dt = fim a \6 sen(3mt + 7) dt = fim 36 sen *(3mt + >) dt Observe que a integral de sen *(37t + 5) ao longo de um periodo completo ¢ 1/2 , entao 1/7? , Tl 1 Patina] 36 sen “(37t + > dt = jim =. 18T = 18 © Leandro dos Santos Coelho Exercicio @(c) do Pyth 2 7U x(t) = 6sen(3z2t + >) 1 T/2 1 T/2 1 12 Po= jim = | Ix(t)|? dt = lim = | |6 sen(3mt + 5) dt —-T/2 —T/2 import numpy as np from scipy import integrate from scipy.signal import square Pi = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 # Definir a funcado do sinal x(t) def x(t): return (6 * np.sin(3*pi*tt+pi/2) ) # Definir os limites de integracdo e€ o numero de pontos de amostragem T = 1000 # Valor grande para se aproximar do limite de infinito t values = np.linspace(-T/2, T/2, num=10000) # Calcular o valor absoluto ao quadrado do sinal x Squared = np.abs(x(t_values) )**2 # Calcular a poténcia média usando integracdo numérica power = integrate.trapz(x squared, t values) / T print("Poténcia do sinal:", power) © Poténcia do sinal: 18.000000000000007 Leandro dos Santos Coelho E icio O@(e) usando Python a x(t) = {10 + 2sen(3t)}. cos(10¢) = 1 T/2 1 T/2 Po= jim = | |x(t)|? dt = lim = | {10 + 2sen(3t)}. cos(10t)|7dt —-T/2 —T/2 import numpy as np from scipy import integrate from scipy.signal import square # Definir a funcado do sinal x(t) def x(t): return (10 + 2 * np.sin(3*t)) * np.cos(10*t) # Definir os limites de integracdo e€ o numero de pontos de amostragem T = 1000 # Valor grande para se aproximar do limite de infinito t values = np.linspace(-T/2, T/2, num=10000) # Calcular o valor absoluto ao quadrado do sinal x Squared = np.abs(x(t_values) )**2 # Calcular a poténcia média usando integracdo numérica power = integrate.trapz(x squared, t values) / T print("Poténcia do sinal:", power) © Poténcia do sinal: 50.998897145 303886 Leandro dos Santos Coelho Frase (quote) 35 The saddest aspect of life right now is that science gathers knowledge faster than society gathers wisdom. O aspecto mais triste da vida atualmente é que a ciência reúne conhecimento mais rapidamente do que a sociedade reúne sabedoria. Isaac Asimov (1920-1992) He immigrated with his family of Russia to the United States and became a biochemistry professor while pursuing writing. He published his first novel, Pebble in the Sky, in 1950. An immensely prolific author who penned nearly 500 books, he published influential sci-fi works like I, Robot and the Foundation trilogy, as well as books in a variety of other genres. Leandro dos Santos Coelho http://www.asimovonline.com/asimov_home_page.html