Slide Transformas Integrais Laplace e Fourier-2023 1

TRANSFORMADAS INTEGRAIS LAPLACE E FOURIER Transformada integral Em Física Matemática há pares de funções que satisfazem uma expressão na forma: F 𝛼 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝐾 𝛼, 𝑡 𝑑𝑡 A função F() é denominada de transformada integral de f(t) pelo núcleo K(,t), e vice-versa. A operação também pode ser descrita como o mapeamento de uma função f(t) no espaço t para uma outra função, F(), no espaço . 𝑓 𝑡 = 𝑎 𝑏 𝐹 𝛼 𝐾∗ 𝛼, 𝑡 𝑑𝛼 Transformada de Laplace Definição G(s) é a Transformada de Laplace de f(t) e vice-versa 𝑓 𝑡 = 0 ∞ 𝐺 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑠 𝐺 𝑠 = 0 ∞ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝐾 𝑠, 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡 Núcleo ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐺(𝑠) ℒ−1 𝐺(𝑠) = 𝑓(𝑡) Para t > 0 F 𝝎 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝒇 𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 𝑲 𝝎, 𝒕 = 1 2𝜋 1/2 𝒆𝒊𝝎𝒕 Núcleo: 𝒇 𝒕 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝑭 𝝎 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎 Transformada de Fourier Definição Transformada de Laplace (TL) Cálculo da TL para funções elementares 𝑓 𝑡 = 0 ∞ 𝐺 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑠 𝐺 𝑠 = 0 ∞ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 Exemplos: 𝑓 𝑡 = 1 𝑓 𝑡 = cos 𝑎𝑡 𝐺 𝑠 = 1 𝑠 𝐺 𝑠 = 𝑠 𝑠2 + 𝑎2 Tabela de TL de funções elementares G(s) G(s) Tabela de TL de funções elementares – cont. G(s) G(s) Algumas Propriedades da TL Observe que nesta tabela F(s) = G(s) Observe que nesta tabela F(s) = G(s) Algumas Propriedades da TL – cont. Utilização de TL Equação Diferencial Ordinária L Equação Algébrica Solução da Equação Diferencial L⁻¹ Solução da Equação Algébrica Exemplo: Solução de problemas de valor inicial 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Com y(0) = 2 e y’(0)=1 Aplica a TL na equação diferencial 0 ∞ 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + 0 ∞ 𝑦 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 0 ∞ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Ou ℒ 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 + ℒ 𝑦 = ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 ℒ 𝑦′′ + ℒ 𝑦 = ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Exemplo: Solução de problemas de valor inicial 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒕𝟐 + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Com y(0) = 2 e y’(0)=1 𝓛 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒕𝟐 + 𝓛 𝒚 = 𝓛 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 TL de funções elementares f(t)=y(t) e F(s) = Y(s) ℒ ℒ ℒ ℒ 𝑦 = 𝑌 𝑠 = 0 ∞ 𝑦 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 𝑌 𝑠 = 2 𝑠2 + 22 Substitui-se os valores iniciais: 𝑠2𝑌 𝑠 − 2𝑠 − 1 + 𝑌 𝑠 = 2 𝑠2 + 22 Isola-se Y(s): 𝑌 𝑠 = 2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6 (𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4) 𝑌 𝑠 = 2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6 (𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4) A ideia é escrever Y(s) em vários termos já conhecidos da Tabela de TL e calcular a transformada inversa para obter y(t): Frações parciais 𝑌 𝑠 = 2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6 (𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4) 𝑌 𝑠 = 𝑎𝑠 + 𝑏 (𝑠2 + 1) + 𝑐𝑠 + 𝑑 (𝑠2+4) 𝑌 𝑠 = 𝑎𝑠 + 𝑏 × 𝑠2 + 4 + (𝑐𝑠 + 𝑑) × (𝑠2 + 1) (𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4) Comparando-se os termos, determina-se a, b, c e d: 𝑎𝑠 + 𝑏 × 𝑠2 + 4 + 𝑐𝑠 + 𝑑 × 𝑠2 + 1 = 𝑎 + 𝑐 𝑠3 + 𝑏 + 𝑑 𝑠2 + 4𝑎 + 𝑐 𝑠 + 4𝑏 + 𝑑 Devem ser iguais 2𝑠3 + 𝑠2 + 8𝑠 + 6 = 𝑎 + 𝑐 𝑠3 + 𝑏 + 𝑑 𝑠2 + 4𝑎 + 𝑐 𝑠 + 4𝑏 + 𝑑 Logo: Expandindo o numerador de Y(s) 𝑎 + 𝑐 = 2 𝑏 + 𝑑 = 1 4𝑎 + 𝑐 = 8 4𝑏 + 𝑑 = 6 𝑌 𝑠 = 𝑎𝑠 + 𝑏 (𝑠2 + 1) + 𝑐𝑠 + 𝑑 (𝑠2+4) 𝑎 + 𝑐 = 2 𝑏 + 𝑑 = 1 4𝑎 + 𝑐 = 8 4𝑏 + 𝑑 = 6 a = 2 b = 5/3 c = 0 d = -2/3 𝑌 𝑠 = 2 𝑠 (𝑠2 + 1) + 5 3 1 (𝑠2 + 1) − 1 3 2 (𝑠2+4) ℒ−1 𝑌 𝑠 = 2ℒ−1 𝑠 (𝑠2 + 1) + 5 3 ℒ−1 1 (𝑠2 + 1) − 1 3 ℒ−1 2 (𝑠2+4) Aplicando-se a TL inversa: 𝑦(𝑡) = 2 cos 𝑡 + 5 3 sin 𝑡 − 1 3 sin 2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Com y(0) = 2 e y’(0)=1 Logo, a solução y(t) para a ED com condições iniciais é: Transformada de Fourier (TF) Transformada de Fourier Forma exponencial 𝑭 𝝎 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝒇 𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 𝒇 𝒕 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝑭 𝝎 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝒆±𝒊𝝎𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 ± 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝒇 −𝒕 = 𝒇 𝒕 𝑷𝑨𝑹 𝒇 −𝒕 = − 𝒇(𝒕) 𝑰𝑴𝑷𝑨𝑹 𝑭 𝝎 = 2 𝜋 1/2 0 +∞ 𝒇 𝒕 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑭 𝝎 = 2 𝜋 1/2 0 +∞ 𝒇 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒇 𝒕 = 2 𝜋 1/2 0 +∞ 𝑭 𝝎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝒇 𝒕 = 2 𝜋 1/2 0 +∞ 𝑭 𝝎 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝒅𝝎 TF: Em senos e cossenos Obtidas a partir da forma exponencial e usando: {1, \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{se} \ |x|<a, \\ 0 & \text{se} \ |x|>a. \end{array} \right.} & \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(a\omega)}{\omega} \\ 2, & \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{se} \ a\le x<b, \\ 0 & \text{caso contrário.} \end{array} \right.} & \frac{i(e^{-ib\omega}-e^{-ia\omega})}{\sqrt{2\pi}\omega} \\ 3, & \left\{ \begin{array}{ll} 1-\frac{|x|}{a} & \text{se} \ |x|<a, \ , \ a>0. \\ 0 & \text{se} \ |x|>a, \end{array} \right.} & 2\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin^2\frac{a\omega}{2}}{a\omega^2} \\ 4, & \left\{ \begin{array}{ll} x & \text{se} \ |x|<a, \\ 0 & \text{se} \ |x|>a, \ , \ a>0. \end{array} \right.} & i\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{a\omega \cos(a\omega)-\sin(a\omega)}{\omega^2} \\ 5, & \left\{ \begin{array}{ll} \sin x & \text{se} \ |x|<\pi, \\ 0 & \text{se} \ |x|>\pi, \end{array} \right.} & i\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(\pi\omega)}{\omega^2-1} \\ 6, & \left\{ \begin{array}{ll} \sin(ax) & \text{se} \ |x|<b, \ , \ a,b>0. \\ 0 & \text{se} \ |x|>b, \end{array} \right.} & -\frac{i}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{\sin[(\omega-a)b]}{\omega-a} + \frac{\sin[(\omega+a)b]}{\omega+a} \right) \\ 7, & \left\{ \begin{array}{ll} \cos(ax) & \text{se} \ |x|<b, \ , \ a,b>0. \\ 0 & \text{se} \ |x|>b, \end{array} \right.} & \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{\sin[(\omega-a)b]}{\omega-a} + \frac{\sin[(\omega+a)b]}{\omega+a} \right) \\ 8, & \frac{1}{x^2+a^2}, \ a>0. & \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{-a|\omega|}}{a} {9, & \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{a}{1+a^2x^2}, \ a>0. & e^{-\frac{|\omega|}{a}} \\ 10, & \frac{4}{\sqrt{2\pi}} \frac{\sin^2\frac{ax}{2}}{ax^2}, \ a>0. & \left\{ \begin{array}{ll} 1-\frac{|\omega|}{a} & \text{se} \ |\omega|<a, \\ 0 & \text{se} \ |\omega|>a. \end{array} \right.} \\ 11, & e^{-a|x|}, \ a>0. & \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{a}{a^2+\omega^2} \\ 12, & \left\{ \begin{array}{ll} e^{-ax} & \text{se} \ x>0, \ , \ a>0. \\ 0 & \text{se} \ x<0, \end{array} \right.} & \frac{1}{\sqrt{2\pi} \ a+i\omega} \\ 13, & \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{se} \ x>0, \ , \ a>0. \\ e^{ax} & \text{se} \ x<0, \end{array} \right.} & \frac{1}{\sqrt{2\pi} \ a-i\omega} \\ 14, & |x|^n e^{-a|x|}, \ a>0,n>0. & \frac{\Gamma(n+1)}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{1}{(a-i\omega)^{n+1}} + \frac{1}{(a+i\omega)^{n+1}} \right) \\ 15, & e^{-\frac{ax^2}{2}}, \ a>0. & \frac{1}{\sqrt{a}}e^{-\frac{\omega^2}{2a}}} Alguns problemas são difíceis de solucionar diretamente. Pode ser mais fácil resolver o problema transformado e aplicar a transformada inversa na solução. Exemplo: A representação de um sinal no domínio do tempo (do espaço, ...) está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Porém, certas operações tornam-se muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da frequência, domínio este, conseguido a partir das Transformadas de Fourier (TF). t  f x  k Exemplo Imagine um trem de ondas sen0t ∶ 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 𝑁𝜋 𝜔0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 𝑁𝜋 𝜔0 Considere que esta onda passe por um filtro de abertura finita. Trem de ondas original para N = 5. Exemplo 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 𝑁𝜋 𝜔0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 𝑁𝜋 𝜔0 𝓕 𝒇(𝒕) = 𝑭 𝝎 = 2 𝜋 1/2 0 𝑁𝜋 𝜔0 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕 Fazendo a integral, ou usando a tabela de TF obtém-se: Para   0 Somente o primeiro termo é importante pois o denominador é pequeno. Somente o máximo central é relevante e a dispersão em frequências pode ser dada por: Se N for grande, pulso longo, a dispersão da frequência será pequena. Por outro lado, se o pulso for limitado, N pequeno, a distribuição será mais larga e os máximos secundários mais importantes. Princípio da Incerteza Análogo clássico do Princípio da Incerteza da MQ. Se tivemos tratando de ondas eletromagnéticas, sendo h a constante de Planck: 𝐸 = ℎ𝜔 2𝜋 ∆𝐸 = ℎ∆𝜔 2𝜋 E representa a incerteza na energia do pulso. Há também uma incerteza no tempo, pois a onda de N ciclos leva 2N/0 segundos para passar ( 𝑡 < 𝑁𝜋 𝜔0). ∆𝑡 = 2𝑁 0 ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 = ℎ∆𝜔 2𝜋 ∙ 2𝑁 0 com ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 = ℎ ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥ ℎ 4𝜋 = ℏ/2 Pelo Princípio da Incerteza: Transformada de Fourier de Derivadas 𝑭 𝝎 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝒇 𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 𝑭𝟏 𝝎 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 𝑭𝟏 𝝎 = − 𝑖𝜔 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝑓 𝑡 𝒆𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 = −𝒊𝜔𝐹(𝜔) 𝑭𝒏 𝝎 = (−𝒊𝝎)𝒏𝑭 𝝎 Linearidade Convolução Translação Escalonamento Derivada Algumas Propriedades da TF Exemplo: ED Fluxo de Calor 𝜕𝜓 𝜕𝑡 = 𝛼2 𝜕2𝜓 𝜕𝑥2 𝜓  𝜓 𝑥, 𝑡 Ψ(𝑘, 𝑡) Transformada em x, fazendo  = k. 𝒈 𝒌 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝒇 𝒙 𝒆𝒊𝒌𝒙𝒅𝒙 𝚿 𝒌, 𝒕 = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ 𝝍 𝒙, 𝒕 𝒆𝒊𝒌𝒙𝒅𝒙 Aplica a TF na EDP: Aplica a TF inversa para Ψ 𝑘, 𝑡 : 𝜕𝜓 𝜕𝑡 = 𝛼2 𝜕2𝜓 𝜕𝑥2 𝜕Ψ 𝜕𝑡 = −𝛼2𝑘2Ψ Ψ 𝑘, 𝑡 = 𝐶𝑒𝑥𝑝(−𝛼2𝑘2𝑡) 𝝍(𝒙, 𝒕) = 1 2𝜋 1/2 −∞ +∞ Ψ 𝑘, 𝑡 𝒆−𝒊𝒌𝒙 𝒅𝒌 𝝍(𝒙, 𝒕) = 𝑪 𝜶 𝟏 𝟐𝒕 𝒆𝒙𝒑 𝒙𝟐 𝟒𝜶𝟐𝒕 {EXTRA \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}. \\ O seu valor pode ser obtido da seguinte forma: \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2} dxdy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r drd\theta = \int_{0}^{2\pi}\left[ \frac{-1}{2} e^{-r^2} \right]_{0}^{\infty} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \pi.} Sinais ... Ondas...  Distribuição de elétrons em um átomos pode ser obtida de uma transformada de Fourier da amplitude de raios X espalhados.  Na Mecânica Quântica, a origem Física das relações de Fourier é a natureza ondulatória da matéria e a descrição que fazemos em termos de ondas (k). A TF decompõe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno Funções periódicas são representadas por séries de Fourier; Funções não-periódicas oscilantes são representadas por transformadas de Fourier (espectro do sinal); Sinal Fenômeno variável no tempo e/ou espaço. Descrito quantitativamente. "Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes e, tipicamente contêm informação acerca do comportamento ou natureza de um fenômeno físico." Exemplos: F(t) -> Som F(x,y) -> Imagem F(x,y,t) -> Vídeo Aplicações da TF: ▪ Física ▪ Química ▪ Teoria dos números ▪ Análise combinatória ▪ Processamento de sinais ▪ Teoria das probabilidades ▪ Estatística ▪ Criptografia ▪ e outras áreas. Fontes http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/Transfo rmadaDeFourier.pdf FÍSICA MATEMÁTICA - MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA E FÍSICA, GEORGE ARFKEN, Ed. CAMPUS ELSEVIER. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES E PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO, William E. Boyce, Richard C. DiPrima, 9ª. Ed., Editora LTC. Exercícios para TL 1) Mostrar que: 2) Mostrar que: 3) Usando o método das frações parciais mostre que: 4) Encontre a solução da ED do oscilador harmônico simples usando TL, sendo m a massa do oscilador, a mola é ideal e tem constante elástica k, desprezando o atrito. As condições iniciais são: X(0)=X0 e X’(0)=0 ℒ−1 𝑠 (𝑠+𝑎)(𝑠+𝑏) = 𝑎𝑒−𝑎𝑡−𝑏𝑒−𝑏𝑡 (𝑎−𝑏) com a b ℒ 0 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠) 𝑠 ℒ 𝑒𝛽𝑡 sin 𝛼𝑡 = 𝛼 (𝑠−𝛽)2+𝛼2 𝑚 𝑑2𝑋 𝑑𝑡2 + 𝑘𝑋 = 0, 𝑋(𝑡) Exercícios para TF 1) Na Tabela de Transformadas de Fourier demonstrei as propriedades 1 e 13. Dica: Use a definição integral. Dicas para resolver os exercícios de TL Nos exercícios 1 e 2, usar a definição integral da TL. No exercício 3 seguir a mesma sistemática de resolução usada em “Frações parciais” resolvido em sala. No exercício 4 seguir a mesma sistemática do exemplo dado em aula, ou seja, aplica-se a TL na equação diferencial e determina-se a TL. Depois reescrever a TL de forma a identificar termos que aparecem na Tabela de funções elementares.