Slide Caracterização no Tempo e na Freqência de Sinais e Sistemas-2023 1

Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis 13 de junho de 2023 http://www.eletrica.ufpr.br/~luis.lolis Conte´udo 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao Magnitude-Fase da transformada de Fourier 3 Representa¸c˜ao magnitude-fase da resposta em frequˆencia dos sistemas LTI 4 Propriedades no dom´ınio do tempo dos filtros seletivos em frequˆencia ideais Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 2 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao Magnitude-Fase da transformada de Fourier 3 Representa¸c˜ao magnitude-fase da resposta em frequˆencia dos sistemas LTI 4 Propriedades no dom´ınio do tempo dos filtros seletivos em frequˆencia ideais Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 3 Introdu¸c˜ao Na frequˆencia: Derivadas e integrais se tornam produtos e divis˜oes. Visualiza¸c˜ao da filtragem. Compromissos entre seletividade e distor¸c˜ao. Compromissos entre dura¸c˜ao da resposta ao impulso e seletividade. Compromissos tempo-frequˆencia. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 4 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao Magnitude-Fase da transformada de Fourier 3 Representa¸c˜ao magnitude-fase da resposta em frequˆencia dos sistemas LTI 4 Propriedades no dom´ınio do tempo dos filtros seletivos em frequˆencia ideais Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 5 X(jω) = |X(jω)|ej∢X(jω) X(ejω) = |X(ejω)|ej∢X(ejω) |X(jω)|2: Densidade espectral de energia. ∢X(ejω): N˜ao afeta a potˆencias mas transporta informa¸c˜ao. ´E a fase das infinitas exponenciais complexas no dom´ınio da frequˆencia. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 6 Impacto da fase na representa¸c˜ao do sinal x(t) = 1 + 1 2 cos(2πt + ϕ1) + cos(4πt + ϕ2) + 2 3 cos(6πt + ϕ3) Para diferentes valores de ϕ1, ϕ3 e ϕ3 teremos o mesmo m´odulo no dom´ınio da frequˆencia. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 7 Impacto da fase em uma imagem Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 8 Impacto da fase em uma imagem Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 9 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao Magnitude-Fase da transformada de Fourier 3 Representa¸c˜ao magnitude-fase da resposta em frequˆencia dos sistemas LTI 4 Propriedades no dom´ınio do tempo dos filtros seletivos em frequˆencia ideais Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 10 Representa¸c˜ao magnitude-fase da resposta em frequˆencia dos sistemas LTI Y (jω) = H(jω)X(jω) |Y (jω)| = |H(jω)||X(jω)| ∢Y (jω) = ∢H(jω) + ∢X(jω) Rejei¸c˜ao fora da banda e distor¸c˜ao de magnitude e fase. Ganho do sistema e adi¸c˜ao de fase. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 11 Fase linear e n˜ao-linear Sistema que gera deslocamento de fase linear: H(jω) = e−jωt0 |H(jω)| = 1, ∢H(jω) = −ωt0 Propriedade de deslocamento do tempo: y(t − t0) Atrasa o sinal de maneira uniforme em t0 Uma fase n˜ao linear pode deslocar no tempo de maneira diferente as diferentes exponenciais complexas. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 12 Ilustra¸c˜ao da fase n˜ao linear Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 13 Ilustra¸c˜ao da fase n˜ao linear Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 14 Ilustra¸c˜ao da fase n˜ao linear - tempo discreto Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 15 Ilustra¸c˜ao da fase n˜ao linear - tempo discreto Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 16 Atraso de grupo Para um atraso constante, a fase ´e linear: ∢H(jω) = −t0ω, ent˜ao atraso ´e t0. τ(ω) = grd[H(ejω)] = − d dω{∢[H(ejω)]} Para cada frequˆencia, o atraso de grupo ´e o inverso da inclina¸c˜ao da fase. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 17 Exemplo de um sistema com atrasos de grupo que ; , ; esr gr invertem a ordem da saida do sinal e@ Sdo trés sistemas de segunda ordem em cascata: 3 H (jw) = | | Ai(Giw) i=1 1 ; 2 _ O4¢. . 2 (ju) = + Veli — 276 le) 1+ (jw /wi)? + 29¢i(w/ur) e@ Cada sub-sistema tem magnitude 1 mas frequéncias w; para os polos e zeros, e fatores ¢; com diferentes valores. w, = 315rad/s e ¢; = 0,066, e wa = 943rad/s e C2 = 0,033, w3 = 1888rad/s e ¢3 = 0, 058, @ As frequéncias w; = 27 f; em Hertz: f; ~ 50, fo ~ 150 e fs ~ 300 @ A fase do sistema é 0 acumulo das fases dos sub-sistemas: <H (jw) = Dy, tH (jw) GI@S ms — — TT Exemplo de um sistema com atrasos de grupo que invertem a ordem da saida do sinal BG @ Com o numerador sendo 0 complexo conjugado do denominador: |H;(jw)| = 1. Com o médulo sendo o produto dos mddulos: |H(jw)| = 1. 26;(W/W; e <H;(jw) = —2atan ee, Com a fase total sendo a 1+ (w/w) 3 soma das fases: <H(jw) = S° Ai (jw) i=1 GIéS ree oer — ET Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 20 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 21 Exemplo das linhas telefˆonicas e a voz Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 22 Exemplo das linhas telefˆonicas e a voz Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 23 Logaritmo da magnitude e diagrma de Bode Em log o produto se torna soma. O ganho ´e dado em decib´el, que ´e em log10, sendo 10X para ganho em potˆencia, ou seja, 20X para ganho em linear. 20 log10 |Y (jω)| = 20 log10 |H(jω)| + 20 log10 |X(jω)| Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 24 Exemplo Bode Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 25 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao Magnitude-Fase da transformada de Fourier 3 Representa¸c˜ao magnitude-fase da resposta em frequˆencia dos sistemas LTI 4 Propriedades no dom´ınio do tempo dos filtros seletivos em frequˆencia ideais Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 26 Propriedades no dominio do tempo dos filtros seletivos em Tac ME Tele bree ; 1, lw] <u, 1 lw] < we H _— ’ = H(e”) = ’ (jw) { 0, lw] > we (") 0, We < |u| <a t se h(t) = sen(wet) h[n} = n(wen) at Tm GIéS — were ae — Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 28 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 29 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 30 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 31 Aspectos no dom´ınio da frequˆencia e no dom´ınio do tempo dos filtros n˜ao ideais Tolerˆancia nas bandas de passagem e de rejei¸c˜ao. Banda de transi¸c˜ao diferente de zero. M´ascara de filtragem como especifica¸c˜ao; Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 32 Filtro El´ıptico vs. filtro Butterworth Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Caracteriza¸c˜ao no tempo e na frequˆencia de Sinais e Sistemas 33