Slide Transformada de Fourier de Tempo Contínuo-2023 1

Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis 6 de junho de 2023 http://www.eletrica.ufpr.br/~luis.lolis Conte´udo 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 2 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 3 Introdu¸c˜ao Representa¸c˜ao de sinais n˜ao peri´odicos como combina¸c˜ao linear de exponenciais complexas. N˜ao est´a relacionada pelas harmˆonicas (n˜ao tˆem espectro discreto). Combina¸c˜ao de exponenciais infinitesimalmente pr´oximas = integral. Os infinitos coeficientes s˜ao a transformada de Fourier. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 4 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 5 ~ et Deducao Fes @ Revisando a série de Fourier da onda quadrada x(t) 2 2 Figura 3.6 Onda quadrada periddica. x(t) _ 1, |t| < Tj 0, Th< \¢| < T/2 2 sen(kwoT1 ) ° a, = ——_— kwol @ Que pode ser vista como amostragem de uma onda continua, tida como envolt6éria dos coeficientes: Ta, = Zsen(oT)| w=kwo GIES A medida que T → ∞ as harmˆonicas se aproximam umas das outras at´e se tornarem uma onda cont´ınua na envolt´oria. T → ∞ significa o sinal s´o com o pulso em 0. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 7 Deduzindo os coeficientes e operacao de sintese e andlise para 7’ — oo bree Sintese: Transformada Inversa de Fourier 1 * ‘ut x(t) = = | X (jw)e?* dw 27 Joo Andlise: Transformada de Fourier oo . X(jw) = / 2(t)e~I™" at —Co GI@S — ower IN . . aa Convergéncia das transformadas de Fourier @ Consideramos X (jw) como a transformada de Fourier de x(t) e &(t) a transformada Inversa de Fourier de X (jw). 1 f* ‘ e «(t) = — X (jw)ed! dw =5 f Xe) co @ Se a transformada converge: / |a(t)|? dt < co e X(jw) é —Co finito, indicando que o erro entre x(t) e &(t) é CO / le(t)|2 dt = 0 —CoO GI€éS are oer Condicoes de Dirichlet co @ x(t) absolutamente integravel: / |x(t)| dt < oo. —Co @ x(t) com numero finito de maximos e minimos em qualquer intervalo finito. @ x(t) ter um numero finito de descontinuidades e com descontinuidades finitas. GI€éS are oer Exemplos de transf. Fourier do tempo cont´ınuo Ex. 4.1 - x(t) = e−atu(t), a > 0 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 11 Ex. 4.2 - x(t) = e−a|t|, a > 0 Ex. 4.3 - x(t) = δ(t) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 12 UFPR ——> 1 \¢| < Tj e@ Ex. 4.4 - Impulso retangular: x(t) = , p g (t) 0, |t|> TZ; ] X(jw) x(t) 2T, mi qm ® 7 o (a) = T; T; Figura 4.8 (a) 0 sinal pulso retangular do Exemplo 4.4 e (b) sua transformada de Fourier. Ex. 4.5 - Retangulo na frequéncia, fazer a transformada inversa. GI€S Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 14 . . . og no et Transformada de Fourier para sinais periddicos e@ Além de mostrar os coeficientes da série de Fourier, a representac¢ao mostra os impulsos nas frequéncias das harmGnicas do sinal periddico. e@ Consideremos um sinal cuja a transformada de Fourier 6 um nico pulso: X (jw) = 27d(w — wo) e@ Aplicando a transformada de Fourier inversa: CO x(t) = / 275(w — wo)et! dw = J! —CoO GIéS are er et Exemplo ae e@ O sinal de onda cujos coeficientes da série de Fourier: sen(kwoT} ) ay = ————— wk +00 . 2 sen(kwoT ) X(jw) = 5 —— 7 o(w = kwo) k=—0o X(o) T 2/ \2 7” Ee \ | 7 -@0 “ \ | / " “Soo : Figura 4.12 Transformada de Fourier de uma onda quadrada periddica simétrica. GIES x(t) = sen(ωot) a1 = 1/2j, a−1 = −1/2j, ak = 0, fora. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 17 @ Sequéncia de pulsos de Dirac: very importante. UFPR co 1OQ e x(t) = y d(t — kT) k=—0o 1 T/2 | 1 ea== O(t)e Iho! dt = — T J_ryje T +00 . Qn 2rk e X(jw) = — ) 6 {w—- —— T T k=—0o x(t) bbb be -2T -T 0 T 2T t (a) X (jo) | ar | T 4a 20 0 2a 4a o T T T T GI@S _ Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 19 Nota¸c˜ao: x(t) F ←→ X(jω) 1 Linearidade ax(t) + by(t) F ←→ aX(jω) + bY (jω) 2 Deslocamento no tempo: x(t − t0) F ←→ e−jωt0X(jω) 3 Conjuga¸c˜ao e simetria conjugada: x(t) F ←→ X(jω) x∗(t) F ←→ X∗(−jω) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 20 @ Diferenciacao e integracao: 105, dx(t) e, . —— <*> jwX (jw) ' dt \ / a(t) dr + Lx (jw) + eX (0)5(w) 00 jw @ Mudanc¢a de escala no tempo e na frequéncia: x(t) 3+ X (jw) 1 x(at) OB, —x (J% |a| a @ Dualidade: a(t) 2+ X(f) X(t) 3+ a(-f) @ Relacdo de Parseval: CO 1 co : 9 B,= | |o()Pat=5- [ |x(jw)Paw 00 27 Joo GIéS — —_ Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 22 elisa oD @ Aplicando as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo, calcular a transformada de Fourier do sinal da figura baixo: x(t) 1,5 1 1 2 38 4 t @) . 3 sen(w/2) + 2sen(3w/2 X (jun) = enter? { Senllo/2) + 2sen(3/2) a) GI€S 2 Aplicando a propriedade de conjuga¸c˜ao e simetria conjugada calcule a transformada de x1(t) = e−a|t| a partir da transformada de x(t) = e−atu(t) X1(jω) = 2a a2 + ω2 3 Aplicando a propriedade da integral, calcular, a partir da transformada do impulso unit´ario a transformada do degrau unit´ario. Encontrar novamente a transformada do impulso a partir do resultado da transformada do degrau aplicando a propriedade da derivada. Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 24 4 Atrav´es da propriedade da dualidade calcular a transformada de Fourier de X(t) = 2 1 + t2 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 25 UFPR sD @ Para os sinais com transformadas de Fourier representadas na Figura abaixo, encontre as seguintes grandezas: @ £E, d @ D= —x(t) dt t=0 X(jw) Xo) iN. VT Vir/2 0 1 o —-1 -0,5 0 0,5 1 o @) _ VT (6) GI€S Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 27 . . . aa A transformada de Fourier como o limite de uma soma 1 jut lS jkwot 1 - \ jwt 7, ye . phew e x(t) = oa i X (jw)e* dw = iim oa d_ *(shwo)e wo @ Resposta em frequéncia de um sistema LIT: co H(jhup) = / h(t)e iho" at —0co e Assim a resposta do sistema linear com x(t) na entrada fica: 1 , — lim — X(j Hj jkwot _ y(t) = lim = S |X (jkwo)H (jkwo)e 1 oe . > | X (jw) H(jw)et! dw 27 Jo oo . @ Como y(t) -/ Y (jw)e?" dws: —oo YGw) = X(jw)H (jw) GIéS are ower 5 ~~ a 5 aa A integral de convolucao e o produto na frequéncia co @ ut) =yt) =f a(r)h(t—r) dr —oo e ¥(jw) = X (jw) HGw) y(t) = a(t) * h(t) > ¥ (jw) = (jw) X (jw) GI@S — ower : sac oD @ Calcule a saida do sistema de resposta ao impulso h(t) = 6(t — to) no dominio da frequéncia para entrada arbitrdria x(t) @ Calcule a resposta em frequéncia do sistema cuja relacdo entrada / saida é a seguinte: y(t) = dx(t)/dt @ Calcule a resposta em frequéncia do sistema cuja relacdo ry oe _ et entrada / saida é a seguinte: y(t) = [' |. «(r) dr @ Encontre a saida do sistema no tempo para um sinal de entrada 2(t) = e~"u(t) passando por um sistema cuja resposta ao impulso 6 h(t) = e “u(t). GI@S are wee Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 31 r(t) = s(t)p(t) F ←→ R(jω) = 1 2π [S(jω) ∗ P(jω)] Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 32 7 . nn . Oo” et LAYMAN Olea MaKle [lel ecnae Nel aE Nol @ Construir um filtro passa faixa complexo (ou nao) a partir do filtro passa baixa. e@ Deslocar a resposta em frequéncia fazendo um produto no tempo, uma convolucao na frequéncia. e@ Equacao do deslocamento na frequéncia: co F (hw) = / 0(0 — w.)H(w — 6) dO, resposta ao impulso —Co FO) = het" GIéS arr er : : Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 34 Propriedades 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 35 Propriedades 2 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 36 Tabela 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 37 Tabela 1 Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 38 Sum´ario 1 Introdu¸c˜ao 2 Representa¸c˜ao de sinais aperi´odicos: transformada de Fourier de tempo cont´ınuo 3 Transformada de Fourier para sinais peri´odicos 4 Propriedades da transformada de Fourier no tempo cont´ınuo 5 Exemplos propriedades 6 A propriedade da convolu¸c˜ao 7 A propriedade da multiplica¸c˜ao 8 Tabela de propriedades e pares b´asicos de transformada de Fourier 9 Sistemas caracterizados por equa¸c˜oes diferenciais lineares com coeficientes constantes Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 39 N M ee d*y(t) d*x(t) e@ Equacao basica: ea = eas k=0 k=0 e@ Para caracterizar a resposta em frequéncia desse sistema: Y (jw) A (jw) = =~ X (jw) @ Calculando Y (jw) e X(jw) a partir da primeira equacao: N M d* y(t) d® x(t) {dotnet aa {y ene k=0 M k=0 oy ye=0 by (jw)* H (jw) = Se=0 Ie ek =0 ap(jw) GIéS arr er : ', Exemplos 1 A partir da equa¸c˜ao diferencial dy(t) dt + ay(t) = x(t), encontrar a resposta em frequˆencia do sistema e em seguida a resposta ao impulso do sistema. 2 Fazer o mesmo processo para o sistema com equa¸c˜ao diferencial: d2y(t) dt + 4dy(t) dt + 3y(t) = dx(t) dt + 2x(t) Luis Henrique Assump¸c˜ao Lolis Transformada de Fourier de tempo Cont´ınuo 41