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Centro de Computacao Cientifica e Software Livre Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia de Computacao Titulo: APS Controle II Turma: 2021.2 Professor: Guilherme Augusto Braz Vieira Aluno: __________________________________________________________ Data: ________________ Instrucoes: Resolva as questoes a seguir com caneta e nao use corretivo. (valor: 20%) (1) Calcular a transformada de laplace bilateral do sinal: X(t) = 6cos(2t)x(t-6)] + 4e^(-3t)u(t-6) + te^(-t)u(t) (valor: 20%) (2) Calcular a transformada de laplace bilateral do sinal: X(t) = 88 + 5e^(-4(t-9)) - sen(6(t-9))x(t-9) (valor: 20%) (3) Use a expressao em fracao parcial para determinar a transformada inversa da transformada bilateral Laplace a seguir: X(s) = [8(s) + 4]{[s}^{2} + s+1} (valor: 20%) (4) Calcular a transformada Z do sinal: X[n] = [(1/2)^n]x[n] - [(1/4)^n]x[n-4], n=[0i+00). Problema 1 X(t) = cos(2t)x(t-6) + 4e^-3t u(t-6) + te^-t u(t) Passo 1: Considerar cada termo separadamente: 1 - cos(2t)x(t-6): -> L { f(t)x(t-t0) } = { F.Cos(2t)x(t-6) = cos(2X6) = cos(12) e^-6s } = Cos(12) e^-6s 2 - 4e^-3t u(t-5) -> L{u(t-a)f(t-a)} = e^-as*F(s) onde f(s) e a transformada de Laplace de f(t) 3 - te^-t u(t) => L {te^-t u(t)} -> L{te^t} = 1/(s+1)^2 Finalmente a trasnformada de Laplace bilateral de x(t) e a soma das transformadas individuais: L {x(t)} = cos(12t) e^-6s + 1/s+3 + 1/(s+1)^2 2°: 1 - L {88} = 88 /s 2 - L {5e^-4t u(t-9)} u(t-9) = {0, t<9 | 1, t>=9} Para t >= 9: -> L {u(t-a)f(t-a)} = e^-as*F(s) = 5e^-9s*L(de^-4t) = 5e^-9s*/(s+4) 3° L { sin(6t)e^-9tu(t) } L { sin(6t)u(t)e^-9t } - L {sin(6t)e^-9t} -> L { sin(at)e^-bt } = a/[(s+b)^2+a^2] > L { sin (6 t) e^(-8 t) } f = 6 / ((s + 8)^2 + 6^2) = 6 / ((s + 8)^2 + 36) Portanto a transformada bilateral do sinal x(t) é: X(s) , x8 + 5 e^(-9 s) / s s + 4 + 6 (s + 8)^2 + 36 1 --------- = A + B + C + D + E (s + 2)^4(s + 1) s + 1 (s + 2) (s + 2)^2 (s + 2)^3 (s + 2)^4 Multiplicando ambos os lados por (s + 2)^4(s + 1) => 1 = A(s + 2)^4 + B(s +1(s +2)^3) + C(s+1)(s+2)2 + D(s+1)(s+2) + E(s+1) => Encontrando A , fazendo s = -1 1 = A (-1 + 2)^4 => 1 = A(1)4 => A = 1 fazendo s = -2 1 = E (-2 + 1) => E = -1/ Fazendo s=0 1 = A (0+2)^4 + B(0+1)(0+2)^3 + C(0+1)(0+2)^2 + D(0+1)(0+2) + E (0+1) 1 = 16A + 8B + 4C + 2D + E Expandindo o termo: 1 = (5^4 + 8s^3 + 24s^2 + 32s +16) + B (s^4 + 6s^3 + 12s^2 + 8s) + C (s^3 + 4s^2 + 4s) + D(s^2 + 2s) - s - 1 Para s^4: 1 = 1 + B => B = 0 s^3: 0 = 8 + 6B + C => 0 = 8 + 0 + C => C = -8 s^2: 0 = 24 + 2B + 4C + D => => A = 1, B = 0, C = -8, D = 8, E = -1 => 1 -------------- = 1 ------- - 8 + 8 - ------- (s + 2)^4(s + 1) s + 1 (s + 2)^2 (s + 2)^3 (s + 2)^4 { L^-1 { ----------- } = e^(-s) . { L^-1 { ----------- } = t e^(-2 t) / s + 1 (3+2)^3 { L^-1 { ------------ } = -------- e^(-2 t) (s + 2)^3 2 { L^-1 { ----------- } = --------- e^(-2 t) (s + 2)2/4 e^(-s) x(t) => e^(-t) - 8 t e^(2 t) + 8 t^2 e^(-2 t) - t^2 e^(-t) --------- --------- 2 6 x(t) = e^(-t) - 8 t e^(2 t) + 4 t^2 e^(-2 t) - -------- e^(-2 t) -------------------------------- 6