Slide - Série de Fourier Trigonométrica - 2022-1

Análise de Fourier no tempo contínuo: Série de Fourier trigonométrica Leandro dos Santos Coelho Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR), Escola Politécnica Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas (PPGEPS), Graduação em Engenharia de Controle e Automação (Mecatrônica) Rua Imaculada Conceição, 1155, CEP 80215-901, Curitiba, PR, Brasil Universidade Federal do Paraná (UFPR), Graduação e Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Campus Centro Politécnico Av. Cel. Francisco H. dos Santos, 100, CEP 81530-000, Curitiba, PR, Brasil e-mail: leandro.coelho@pucpr.br; lscoelho2009@gmail.com; leandro.coelho@ufpr.br Currículo Lattes: http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4792095Y4 Google Scholar: https://scholar.google.com/citations?user=0X7VkC4AAAAJ&hl=pt-PT Linkedin: https://www.linkedin.com/in/leandro-dos-santos-coelho-07a08893/ Suporte na preparação dos slides TE739 – Prática de Docência 01/2022 PPGEE-UFPR Doutoranda: Luiza ScapinelloAquino da Silva Tópicos 2 Leandro dos Santos Coelho  Análise de Fourier no tempo contínuo: Introdução  Séries de Fourier Teoria Exercícios  Propriedades das Séries de Fourier Teoria Exercícios  Transformada de Fourier Teoria Exercícios  Propriedades da Transformada de Fourier Teoria Exercícios Análise de Fourier no tempo contínuo Representação trigonométrica 3 Leandro dos Santos Coelho Analise de Fourier no tempo continuo Série de Fourier: Representacao trigonometrica A representagao trigonometrica da serie de Fourier é detinida por Ao KO ib —\ x(t) = > + » {a -cos(kwot) + by -sen(kwot)}, k=1 determinar it it it onde Ag, Ay e Dy sao os coeficientes de Fourier dados por 2 a;,= 7 Jers XO) cos(kwot) dt _ 4 0. wot) = cos(0) = 1 aAp= . Jens XO) dt om cos(0. wot) = cos(0) 2 e b,= 7 Jens XO sen(kwot) dt Leandro dos Santos Coelho Analise de Fourier no tempo continuo — Exponencial: x(t) = YS) cg elkoot k=-00 Série de Fourier: Representacao trigonometrica _ Trigonométrica: x(€) = > + > {ae ‘cos(kwot) + by + sen(kwot)} k=1 representa¢ao trigonometrica representa¢ao exponencial MH Os coeficientes Az e Dy e os coeficientes complexos Cx se relacionam por Ao _ _ _: 5 £0 Ay = Ch 1 CK by = J(CK — C-x) De outra forma tem-se que 1 . 1 . Ck = 5 (Ax — fbx) Cp = 5 (Ax + fbx) Quando x(t) for um sinal real, dy, e Dy sao reais também e equivalentes a A, = 2+ Re(c,) b, = —2:-Im(c,x) © Leandro dos Santos Coelho Análise de Fourier no tempo contínuo 6 Leandro dos Santos Coelho Série de Fourier: Representação trigonométrica Se um sinal periódico for par então e a série de Fourier contém apenas termos de cosseno, ou seja, Analogamente, se for ímpar então e a série de Fourier contém apenas termos de seno, ou seja, Análise de Fourier no tempo contínuo 7 Leandro dos Santos Coelho Série de Fourier: Relações de ortogonalidade https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/livro.pdf onde n e m são inteiros não negativos. Análise de Fourier no tempo contínuo 8 Leandro dos Santos Coelho Série de Fourier: Relações de ortogonalidade https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/livro.pdf Exemplo 1 Determinar a série de Fourier com representação trigonométrica para = , −1 ≤ < 1 com período 2, ou seja, = , t . ae 7 2 [sen 2nnt sen 2nmt dt = (‘ aye Analise de Fourier no tempo continuo Cr) CT) La nemee [F008 (=) cos (=) at = E ey Série de Fourier: Relacoes de ortogonalidade Pn 28) (0 honem=o ee = jdt = 0 x(t)=|t], -1 <t <1 com pertodo 2. = x(t) = > + > {ax -cos(kwot) + by: sen(kwot)} k=1 Ty) =2> @ = 2m _ 2m —7 a, = ens *O cos(kwot) dt To 2 Ay = Zens *O dt 5 5 , , b, = Jens tO sen(kwot) dt Ao == | x(t) dt 3 eae) = 2( | tat] =1 10 Jety> 2\J_4 0 2 2 1 1 ~1)2-14 a, = re Jen *O) cos(kwot) dt = =(f2 le cos(krt) dt) =2 (J, t. cos(krt) dt)= > 2 2ffl b;, = 7 Jens tO sen(kwot) dt = =(f-, le sen(kmt) dt) =0 Ao = 1 t x@ x(t) = > + > {a -cos(kwot) + by - sen(kwot)} k=1 1. 4 1 1 ' x(t) = sta [cos(mt) + 5 cos(2nt) + 5g cos(Smt) ++] ni 1 2 3 4 © https: / / www.uftgs.br/reamat / TransformadasIntegrais /livro-af/ livro.pdf Leandro dos Santos Coelho Análise de Fourier no tempo contínuo 10 Leandro dos Santos Coelho Série de Fourier: Relações de ortogonalidade https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/livro.pdf Exemplo 2 Determinar a série de Fourier com representação trigonométrica para = −1, −1 < < 0, = 0, = 0 ou = 1 e = 1, 0 < < 1. O período do sinal é 2, ou seja, = , . 𝟎 ae 7 2 [sen 2nnt sen 2nmt dt = (‘ aye Analise de Fourier no tempo continuo Cr) CT) La nemee [F008 (=) cos (=) at = E ey Série de Fourier: Relacoes de ortogonalidade , homens 5 [ cos (==) sen (FS) ai = 0 x(t) =-1,-1<t<0,x(t)=0,t=Oout=1e = x(t) = | ) O<t<1. x(t) = s+ > {ax -cos(kwot) + by: sen(kwot)} k=1 Ty =2 5) = 2m _ 2m — 7 a, = ens *O cos(kwot) dt To 2 Ay = Zens *O dt 0 , by = Jens tO sen(kwot) dt 2 2 Ao == | (ar =3( | -1at + | iat =0 10 Jety> 2\J_4 0 2 20 1 ay = re Jen *O) cos(kwot) dt = =({°, —1.cos(krt) dt + J, 1.cos(krt) dt)= 0 2 2,0 1 1-(-1)2 by = 7 Jem> XO) sen(kwot) dt = =(f°, —1.sen(knt) dt + J, 1.sen(krt) dt) = 2——— x(t) rove) 1 _——S ao x(t) = > + > {ax -cos(kwot) + by - sen(Kwot)} k=l —1 1 2 3 r x(t) = =. [sen(t) + ~ sen (3zt) + ~ sen(5rt) +++] Ga) https: / / www.uftgs.br/reamat / TransformadasIntegrais /livro-af/ livro.pdf Leandro dos Santos Coelho Analise de Fourier no tempo continuo Série de Fourier: Relacoes de ortogonalidade x(t) =-1,-1<t<0,x(t)=0,t=Oout=1ex(t)=1,0<t<1. x(t) 1 ——— Sinal original x (t) —: t | 1 2 3 d ————_— —$$» x(t) = 2 + a1 lax: cos(kwot) + by» sen(kwot)} =<. [sen(at) + = sen(37t) + = sen(Srt) +] O sinal com aproximagao baseada em 1, 2, 3 e 4 termos. : ia i = sen (wt) (azul) — | ! , - (sen (wt) + sen (3xt) (verde) | f | } . (sen (wt) + 3 sen (37t) + + sen (57t)) (vermelho) \ al \ \ NOOSA WW ASOAV WAX AV - (sen (wt) + 4 sen (37t) + +sen (Sat) + 2sen (7xt)) (preto), WOM WOW WON © | Leandro dos Santos Coelho Análise de Fourier no tempo contínuo 13 Leandro dos Santos Coelho Série de Fourier: Relações de ortogonalidade https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/livro.pdf Exemplo 2 Determinar a série de Fourier com representação trigonométrica para = , 0 < < 1 e = 1/2, = 1. O período do sinal é 1, ou seja, = , . 𝟎 ae 7 2 [sen 2nnt sen 2nmt dt = (‘ aye Analise de Fourier no tempo continuo CP) CEM Le names [F008 (=) cos (=) at = E ey Série de Fourier: Relacoes de ortogonalidade , horeme 5 [ cos (==) sen (FS) ai = 0 x(t) =t,0<t<1ex(t) =1/2,t=1 = x(t) = > + > {a -cos(kwot) + by: sen(kwot)} k=1 Ty =1>0)= 2m _ 2m — 2n a, = Jens *O cos(kwot) dt 1 1 Ay = Fens *O dt 3 3 1 by = Jens tO sen(kwot) dt Ao == | ear =F edt) =1 To <To> 1 0 2 2(fl ay = 7 Jen> XO) cos(kwot) dt == (J, t.cos(k2mt) dt)= 0 2 2ffl 1 b, = 7 Jem> XO) sen(kwot) dt = =(J, t.sen(k2rt) dt) = -— ao - x(t) = > + > {a -cos(kwot) + by - sen(kwot)} k=1 1 1 1 1 x(t) = sm [sen(2mt) + 5 sen(4nt) + ; sen(6mt) +++] ® https: / / www.uftgs.br/reamat / TransformadasIntegrais /livro-af/ livro.pdf Leandro dos Santos Coelho a . . a _ 1 . Analise de Fourier no tempo continuo Cie = 5 ie — OK) 1 Propriedades da série de Fourier: Exemplo Ce = 5 (Ae + Ju) Expresse X(t) na forma trigonométrica da série de Fourier, 0 = ¢, sabendo que o sinal x(t) tem um periodo fundamental T = 8 e din =~, +c, coeficientes C, da serie de Fourier diferentes de zero b, = j(Ce — C_x) especificados como —- Cy = C“y = J Cs =C_. =2 Resolucao: Modo 1: Modo 2: 21 1 ~ O= 35 x(t) = Cy eI Keo! 2° 270 270 270 Ap = Ch + Cx x(t) = cell r)* + ce AT) + cect (r)t + c_ge DF) as = 2+2=4 (20 . (270 (270 (270 Dy = j(cy _ c_p) x(t) = jet —je i 8 )e + 215( 8 )e + 2e i5( 8 )e bn =U CD) = sn (t) = —-2sen(—t) +4 (= 7 _ Sm x(t) = —2sen(— cos {| — x(t) = -—2 sen(=t) + 4cos (~ t) 4 4 \ x(t) = = + > {ae -cos(kwot) + by: sen(kwot)} = Leandro dos Santos Coelho Exe (Cc Cc | O 1: F Nn U Nn Cc | a d O Propriedade de amostragem [8 -t0)- oat = o) Determine os coeficientes e a serie de Fourier com representagao trigonometrica dos sinais a seguir. 65,,(t): 270 é 0 pertodo do sinal a. x(t) = bon(t) Oi ontop 5 sen3t+3cos2t ,0O<t<m7 b. x(t) = , (t) tS mT<t<270 c x(t) = 2sent+cost, O<t<7 " ~ /—2sent—cost, nam<t<2z d x(t) = (0) 1 1 3 5 t —1 © Leandro dos Santos Coelho F Xe (Cc iC | O 1 7 S O | U C °F O Propriedade de amostragem a CO [8 -t0)- oat = o) —0O CO 1 1 1 1 a. x(t)=—+ - > cos(kt) = ——+—(cost + cos 2t + cos 3t + ::) x(t) 2m 7 2m 7 k=1 —An —21 0 21 At t 6>5,,(t): 27 é0 periodo do sinal b. Tp = 217 > Wo =] 10 6 ag = Bn / _ 1/5 2 cos((3—k))+1 5 ; sen((3+k)) 3 _ se ((2-k)) 3 ; sen(m(2+k)) : ak =F (? 3-k T 3+k T5 2-k 5 2+k ) = Se k for par ay = ay se kK for impar ax, = 0 e _ 5 — cos(m(3—-k))+1 | —cos(m(3+k))+1 5 be = 20 ( 3-k + 3+k ) = Se k for par by = wo’ se K for impar by = 0 ; © Leandro dos Santos Coelho Exercicio 1: Solucao / ee, \ c.Tp = 12> Wy = 2 | \ \ _8 \ | ag = I , \ \ _ 2 -cos(m(1-2k))+1 4 "| \ "J i 1—2k ~ 7(1—2k) | | ‘ 4 _ 2 (-co (m-2mk)+ — cos(m+27k)+ 1 sen(m(2k-1)) _ 1 sen(+27k) _ 8 ; 1 DR =F ( 1-2k + 142k +5 2k-1 2 142k ) 1 (=z) d. Wy) = Ag = 0 Ay = O (fungao impar, nao possui parte par) 2(-1)* Pk = ae 00 2(-1)* 2 1 2 x(t) = Mead ——~—— sen (kat) = —sen (mt) — — sen (2nt) + 3, Sen (3mt)+-: © Leandro dos Santos Coelho Analise de Fourier no tempo continuo 3 wr e e A e / e e ) Série de Fourier: Convergencia da Serie de Fourier Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859, matematico alemao) Um sinal periodico x (t) possui uma representacgao em serie de Fourier se satisfizer as condicoes de Dirichlet. . a ae / . / 2 O Sinal com energia finita em um periodo, isto é, J <n> tO dt < oo ® Em um intervalo de tempo, xX (t) tem variacao limitada, ou seja, existe um numero finito de maximos e minimos em um periodo. © O sinal x(t) tem um numero finito de descontinuidades em um periodo. 27 . _ Exemplo 1: x (t) = sen (=) , O<t <1 satisfaz a condicao O, mas nao a @. x(t) Exemplo 2: ou. X(t) viola a condicio ©. © 8 16 t Leandro dos Santos Coelho Análise de Fourier no tempo contínuo 20 Leandro dos Santos Coelho Série de Fourier: Fenômeno de Gibbs O fenômeno de Gibbs ocorre quando representa-se uma função por série de Fourier, a qual possui um número finito de descontinuidades em seu período. Tal fenômeno envolve o fato de que ocorre uma ultrapassagem nos saltos dessas descontinuidades não desaparecem a medida que ocorre a adição de mais termos na soma parcial. Especificamente, para uma descontinuidade de altura unitária, a soma parcial apresenta um valor máximo de 1,09 (ou seja, um sobressinal de 9% da altura da descontinuidade), não importa quantas harmônicas incluir. https://www.ime.usp.br/mat/2456/arquivos/Fourier.pdf Este é um fenômeno sobre séries de Fourier de funções com descontinuidades. Foi descoberto por Henry Wilbraham (1848) (“On a certain periodic function”, The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Vol. 3: pp. 198–201) e redescoberto por J. Willard Gibbs (1899) (“Fourier’s Series”, Nature, Vol. 59 (No. 1539): p. 60. JosiahWillard Gibbs (1839-1903), cientista americano Analise de Fourier no tempo continuo 245 ke b ke Série de Fourier: Representagao trigonometrica => + D(a “costriot) + By sen(kiwot)} x(t) | x (t) k=1 e (| © PySDR: A Guide to SDR and DSP @ using Python Leandro dos Santos Coelho 22 Leandro dos Santos Coelho Sejam e sinais de tempo contínuo com período fundamental . Determinar: a.Os coeficientes diferentes de zero da série de Fourier de ambos os sinais. b. Os coeficientes de . c.Os coeficientes trigonométricos e exponenciais de . d.Os coeficientes e a representação exponencial de . e.Os coeficientes e a representação exponencial de . Exercício 2: Enunciado E icio 2: Soluca =e Cr XELrCcIiClO = O UCaO 2 29 Ce = 5 (Ge — fx) Ay = Cy + Cz 1 bi =fCe— Cop) Ok = Ze F IPL) — m . — — 1 — . — — 1 — da. Wo _ 2 x(t): Cg _ C_g _ 2 Ag _ 1 y(t): C6 _ —C_6= 2j be = 1 b. Utilizando a propriedade de linearidade: 1 x(t): Cg = C_g = 2 Ag = 4 y(t): C6 = ~o-6= 5 be = 2 z(t) — 2ej4nt 4 Qe sant 4 el 3mt _ <e Jane 1 1 1 c. z(t)= ~sen —1t + =sen 71t = ~sen 7mt —>senmt bi, = 5 b, = 5 1; 1 _; 1; 1 _; 1 1 z(t) = -eJ7™ —-e I —-eIM foe IM Cy = Cy == Cc, =—-C, = —= (t) j j j j 14 14 = 5 2 2 j d. Utilizando as propriedades de reflexao e mudanga de escala no tempo: ~_, -~_i7ete _ = _ 1 joe 1 -joe _ 1 jt 1 jt C6 = —C_6= a 7 12 , Wo 5 z(t) =e He =7e 7° e. Utilizando as propriedades de deslocamento no tempo: 4 1 j *) 1 -j4n(t-+ Cg =C_g = ~e/ 5 z(t) = 2 esan(e+5) + 5e jan(t 5) © Leandro dos Santos Coelho Exemplo usando Matlab A © Dado o sinal t, O<t<l = 47" 1<t<2 Calcular a aproximagao percentual quando o sinal e aproximado para 3, 5, 7, 15 e 25 termos da serie de Fourier com representa¢gao exponencial. Fazer o grafico de cada caso (em Matlab). @ x(t) = = + Sta: -cos(kwot) + by: sen(kwot)} _ Leandro dos Santos Coelho 25 Leandro dos Santos Coelho  Resolução syms x t %sinal original x = t*(heaviside(t) - heaviside(t-1))+(2-t)*(heaviside(t-1) - heaviside(t-2)); subplot(2,3,1) fplot(t, x,[0, 2], 'Color', '#D34817', 'LineWidth', 2) ylabel('x(t)') xlabel('t') T = 2; % período w = 2*pi/T; % omega termo = [3 5 7 15 25]; %termo = número de k, ex. termo = 3, k = -1, 0, 1 aux = size(termo); for aux2 = 1:aux(2) aux3 = termo(aux2); k = -((aux3-1)/2):(aux3-1)/2; ck = (1/T)*int(x*exp(-j*k*w*t), t, 0, T); xx = sum(ck.*exp(j*k*w*t)); subplot(2,3,aux2+1) fplot(t, xx,[0, 2], 'Color', '#D34817', 'LineWidth', 2) ylabel(['Aproximação ', num2str(aux3), ' termos']) xlabel('t') end Exemplo usando Matlab O Resolucao Aproximac6es: A . 5 termos sinal x(t) 3 termos 1 0.9 0.9. oe 0.8 0.8 0.8 % 0.7 5 0.7 0.7 3 fo] 0.6 E 0.6 E 0.6 oO wo Sos 8 05 80.5 0.4 5 0.4 5 0.4 0.3 z =< 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0.1 0.1 0 0.5 1 15 2 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 4:5 ey t t t 7 termos 15 termos 25 termos m8 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 g 0.7 2 0.7 2 07 206 £ o6 = 06 n 2 a 8 05 1G 0.5 iG 0.5 g 0.4 E 0.4 E 0.4 5 2 6 to3 03 03 0.2 0.2 0.2 01 0.1 0.1 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 co ao x(t) = 7 + > {ax -cos(kwot) + by, - sen(kwot)} k=1 Leandro dos Santos Coelho 27 Leandro dos Santos Coelho Aplicação de série de Fourier trigonométrica Controle auto-ajustável (do inglês auto-tuning) de processos usando método do relé Ziegler, J. G., Nichols, N. B. (1942). Optimum setting for automatic controllers. Trans. ASME, vol. 62, no. 3, p. 759-768. https://web01.usn.no/~davidr/iia1117/control/theory/papers/Ziegler_Nichols_%201942.pdf Åström, K. J., Hägglund, T. (1984). Automatic tuning of simple regulators with specifications on phase and amplitude margins, Automatica, vol. 20, p. 645-651. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0005109884900141 Material suplementar 28 Leandro dos Santos Coelho Análise de Sinais - Notas em Sinais e Sistemas, Notas de aula, 4ª Edição (2019), J. A. M. Felippe de Souza http://users.isr.ist.utl.pt/~iml/MEEC/ss_09-10_sem1/ Capítulo 7, Séries de Fourier http://webx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap7.pdf 29 Leandro dos Santos Coelho *Aplicação de série de Fourier trigonométrica Controle auto-ajustável (do inglês auto-tuning) de processos usando método do relé Ziegler, J. G., Nichols, N. B. (1942). Optimum setting for automatic controllers. Trans. ASME, vol. 62, no. 3, p. 759-768. https://web01.usn.no/~davidr/iia1117/control/theory/papers/Ziegler_Nichols_%201942.pdf Åström, K. J., Hägglund, T. (1984). Automatic tuning of simple regulators with specifications on phase and amplitude margins, Automatica, vol. 20, p. 645-651. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0005109884900141 *Livros de controle auto-ajustável 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 Leandro dos Santos Coelho 31 Leandro dos Santos Coelho https://www.youtube.com/watch?v=L0fJ0EHHfOA 2021 Robotic apple harvester making headway Fresh Fruit Robotics’ apple harvester trials in 2021 set the stage for the company to prepare for commercialization. The latest iteration of the robot picked about 80 percent of the fruit, leaving fruit that’s too small, too green or blocked behind a branch or wire. It’s never going to be able to pick 100 percent. Company CEO Avi Kahani said with the bin delivery system running, he expects the machine to pick a few bins per hour, 24 hours a day. (TJ Mullinax and Kate Prengaman/Good Fruit Grower). https://www.youtube.com/watch?v=OtPsKtUyGxg Aplicações de controle robótica 32 Leandro dos Santos Coelho https://www.youtube.com/watch?v=L0fJ0EHHfOA 2022 Swarm of micro flying robots in the wild This swarm of 10 autonomous drones can manoeuvre through a bamboo forest in China. They are the first to successfully fly outdoors and navigate unprogrammed obstacles, according to researchers at Zhejiang University who led the experiment. http://zju-fast.com/ https://techxplore.com/news/2022-05-drone-swarms-autonomously-thick-forest.html Aplicações de controle robótica 33 https://www.youtube.com/watch?v=ssZ_8cqfBlE How many robots does it take to run a grocery store? Inside The Hive - Ocado Technology https://www.youtube.com/watch?v=e31UqBT5bKE https://www.youtube.com/watch?v=GHz9Q9cKxXA https://www.ocado.com/webshop/startWebshop.do Ocado Group is a technology-led, global, software and robotics platform business, with a strong retail heritage, which gives retailers including Kroger in the USA, Sobeys in Canada and Australia's Coles Supermarkets the means to get online food orders to their customers. Aplicações de controle Leandro dos Santos Coelho 34 Exercícios de série de Fourier (representação trigonométrica) Leandro dos Santos Coelho Represente os seguintes sinais usando série de Fourier (representacao trigonomeétrica): x(t) 1O<t<7 rT } rT a. x(t) = st : i, —1, —TT < t < 0 —31 —2ht an 1 2m 370 To = 27 Wo = = = 1 = | (t) dt c le +f tae =|t|" + ( | An = — xX = — =— — © Ty <Ty> 27 |Jo —1 WL '0 —7 1 =—|xn-0-0-z|=0 1 2 2 TU 0 a, = — | x(t) cos(kwot) dt = — il cos(kt)dt + | — cos(kt)de 19 Jeto> 2 | Jo —1 1f/1 | 7 OL. ° 1. | | | = —||—sin(kt)] — | —sin(kt) = —(sin(kz) — sin0 — sin0 + sin(—km)) = 0 1T|\k 0 k a 1k © Leandro dos Santos Coelho 2 ? TU 0 by = — | x(t) sen(kwot) dt = — il sin(kt)dt + | — sin(keae To Jeto> 2 | Jo —1 1{/ 1 " 1 ° 1 ==I\(- 7, costkt) —|- 7, costkt) == (— cos(kz) + cos 0 + cos 0 — cos(kz)) 0 —T1 _ 2-—2cos(km) 7 1k 2—2cos(m) 4 parak =1 > b, = ——— = - 1 1 b=2 =>5 _ 27 2cos(2n) _ 9 parak = 5 = - — 2—2cos(3m) 4 parak =3 > bz; =—z, =a b=4 = 5 _ 27 2cos4n) _ 9 parak = 4= = — 2—2cos(5z) 4 parak =5 > bs => Fe 4 4 4 x(t) =-—sint +—sin3t +—sin 5t... TU 370 570 © Leandro dos Santos Coelho 37 Leandro dos Santos Coelho b. Resposta 38 Leandro dos Santos Coelho Resposta 39 Leandro dos Santos Coelho Resposta 40 Leandro dos Santos Coelho Resposta 41 Curiosity is the lust of the mind. Thomas Hobbes (1588-1679) English philosopher. He is considered as one of the founding fathers of modern political philosophy. ‘Leviathan’ is considered to be his best book. Leandro dos Santos Coelho Curiosidade é a luxúria da mente. Frase (quote)