Cálculo das Probabilidades: Teoria dos Conjuntos e Propriedades

Cálculo das Probabilidades Prof Alan da Silva Assunção Disciplina Probabilidade e Estatística 20 de outubro de 2023 Universidade Federal do Piauí Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Sumário Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade 1 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Propriedades Sejam A B e C conjuntos quaisquer Então valem as seguintes propriedades a Idempotente A A A A A A b Elemento neutro A A A Ω A c Comutativa A B B A A B B A d Associativa A B C A B C A B C A B C e Distributiva 1 A B C A B A C 2 A B C A B A C f Acc A g Lei de Morgan 1 A Bc Ac Bc 2 A Bc Ac Bc 2 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade d parte 1 A B C ω ω A ou ω B C ω ω A ou ω B ou ω C ω ω A ou ω B ou ω C ω ω A B ou C A B C 3 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A e ω B ou ω A e ω C Dessas duas afirmações concluímos De ambas as afirmações entre parênteses concluímos que ω A Se ω B concluímos que ω B C Se ω B concluímos que ω C e também ω C B Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω B C Como já sabíamos que ω A então chegamos a conclusão que ω A B C 5 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A e ω B ou ω A e ω C Dessas duas afirmações concluímos De ambas as afirmações entre parênteses concluímos que ω A Se ω B concluímos que ω B C Se ω B concluímos que ω C e também ω C B Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω B C Como já sabíamos que ω A então chegamos a conclusão que ω A B C 5 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A e ω B ou ω A e ω C Dessas duas afirmações concluímos De ambas as afirmações entre parênteses concluímos que ω A Se ω B concluímos que ω B C Se ω B concluímos que ω C e também ω C B Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω B C Como já sabíamos que ω A então chegamos a conclusão que ω A B C 5 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Produto Cartesiano Par odernado Sejam A1 e A2 dois conjuntos não vazios Para a1 A1 e a2 A2 o par ordenado a1 a2 fica determinado ao estabelecermos que a primeira coordenada é apresentada pelo elemento a1 e a segunda pelo elemento a2 Produto cartesiano O produto cartesiano A B é definido como A B a b a A e b B 1 Nota Detontamos por A2 A A a1 a2 a1 a2 A 8 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Exemplo Sejam A 2 4 e B 4 8 1 Calcule A B A B 2 4 2 8 2 1 4 4 4 8 4 1 2 9 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Exemplo Sejam A 2 4 e B 4 8 1 Calcule A B A B 2 4 2 8 2 1 4 4 4 8 4 1 2 9 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Definições Disjuntos Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos se A B Coleção de conjuntos Uma coleção de conjuntos ou classe de conjuntos é um conjunto que contém conjntos como seus elementos Ex conjunto das partes conjunto das partes Dado um conjunto não vazio Ω o conjunto das partes de Ω PΩ é definido como PΩ A A Ω 3 10 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Exemplos Considere os números inteiros entre 1 e 100 Definamos os seguintes conjuntos A1 conjunto dos nº pares entre 1 e 100 A2 conjunto dos nº terminados em 3 entre 1 e 100 Note que A1 e A2 são disjuntos isto é A1 A2 11 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Exemplos Considere os números inteiros entre 1 e 100 Definamos os seguintes conjuntos A1 conjunto dos nº pares entre 1 e 100 A2 conjunto dos nº terminados em 3 entre 1 e 100 Note que A1 e A2 são disjuntos isto é A1 A2 11 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Exemplo Seja A 1 2 3 um conjunto qualquer Então o conjunto das partes PA de A seria PA 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 4 Para determinar a quantidade de elementos que o conjunto das partes PA terá para um dado conjunto A temse a seguinte fórmula geral PA 2A 5 em que significa o número de elementos do conjunto A cardinalidade de A Para o exemplo acima A 3 logo PA 23 8 elementos 12 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Exemplo Seja A 1 2 3 um conjunto qualquer Então o conjunto das partes PA de A seria PA 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 4 Para determinar a quantidade de elementos que o conjunto das partes PA terá para um dado conjunto A temse a seguinte fórmula geral PA 2A 5 em que significa o número de elementos do conjunto A cardinalidade de A Para o exemplo acima A 3 logo PA 23 8 elementos 12 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Experimentos aleatórios Experimento aleatórios são aqueles experimentos que ao serem repetidos sob as mesmas condições não necessariamente produzirão os mesmos resultados Em contrapartida experimentos que ao serem repetidos sob as mesmas condições e que conduzem ao mesmo resultado são chamados de determinísticos Exemplos a Quando retiramos um lote de peças num processo de produção observamos que o número de peças defeituosas varia de lote para lote b Ao deixar uma pedra cair de uma certa altura podemos determinar sua posição e velocidade para qualquer instante de tempo posterior à queda 14 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Experimentos aleatórios Exemplos c O processo de ebulição da água A mesma sempre entrará em processo de ebulição quando a temperatura atinge 100º C d O resultado de um lançamento de uma moeda honesta variará de lançamento para lançamento O objetivo nessa disciplina é construir um modelo matemático para experimentos aleatórios Exemplo no R 15 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Simulação de Experimentos aleatórios Exemplo de experimento aleatório lançamento de uma moeda m 10 quantidade de replicações do processo for i in 1m y sampleccaracoroa1replaceFALSE printy Syssleep1 Exemplo de experimento aleatório lançamento de um dado equilibrado for i in 1m y samplec1234561replaceFALSE printy Syssleep1 16 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral Espaço amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Nessa disciplina a nomeclatura dada para representar o espaço amostral é Ω Cada resultado contido no espaço amostral é denominado de ponto amostral Exemplos lançamento de um dado corresponde ao seguinte espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 6 neste caso cada um dos possíveis resultados 1 2 3 4 5 6 são pontos amostrais 17 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral Espaço amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Nessa disciplina a nomeclatura dada para representar o espaço amostral é Ω Cada resultado contido no espaço amostral é denominado de ponto amostral Exemplos lançamento de um dado corresponde ao seguinte espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 6 neste caso cada um dos possíveis resultados 1 2 3 4 5 6 são pontos amostrais 17 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral O espaço amostral Ω pode ser finito ou infinito e este último pode ser enumerável quando posto em correspondência biunívoca com os números naturais e nãoenumerável quando não há correspondência biunívoca com o conjunto dos naturais a Exemplo de espaço amostral finito lançamento de um dado ou lançamento de um moeda Para esse último o espaço amostral é Ω C K em que C referese a cara e K referese a coroa 18 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral O espaço amostral Ω pode ser finito ou infinito e este último pode ser enumerável quando posto em correspondência biunívoca com os números naturais e nãoenumerável quando não há correspondência biunívoca com o conjunto dos naturais a Exemplo de espaço amostral finito lançamento de um dado ou lançamento de um moeda Para esse último o espaço amostral é Ω C K em que C referese a cara e K referese a coroa 18 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral b Exemplo de espaço amostral infinito enumerável uma moeda é lançada sucessivamente até que apareça cara pela primeira vez Se ocorrer cara no 1º lançamento o experimento termina Se ocorrer coroa no 1º lançamento repetese o experimento e se ocorrer cara no 2º lançamento o experimento termina Se não ocorrer cara nos dois primeiros lançamentos fazse um terceiro lançamento caso não ocorra cara fazse um quarto lançamento e assim sucessivamente O espaço amostral para esse experimento é Ω C KC KKC KKKC 19 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral b Exemplo de espaço amostral infinito enumerável uma moeda é lançada sucessivamente até que apareça cara pela primeira vez Se ocorrer cara no 1º lançamento o experimento termina Se ocorrer coroa no 1º lançamento repetese o experimento e se ocorrer cara no 2º lançamento o experimento termina Se não ocorrer cara nos dois primeiros lançamentos fazse um terceiro lançamento caso não ocorra cara fazse um quarto lançamento e assim sucessivamente O espaço amostral para esse experimento é Ω C KC KKC KKKC 19 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral c Exemplo de espaço amostral infinito nãoenumerável Considere o experimento de observar o tempo de vida de uma lâmpada O espaço amostral para esse experimento é Ω x x real x 0 Observação i Para um mesmo experimento aleatório podemos associar vários espaços amostrais A escolha de qual é o adequado depende do interesse do estudo e muitas vezes é possível trabalhar com mais de um espaço amostral Ex Magalhães 2006 Uma rede de computadores está em operação contínua mas pode sofrer avaria a qualquer momento 20 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral c Exemplo de espaço amostral infinito nãoenumerável Considere o experimento de observar o tempo de vida de uma lâmpada O espaço amostral para esse experimento é Ω x x real x 0 Observação i Para um mesmo experimento aleatório podemos associar vários espaços amostrais A escolha de qual é o adequado depende do interesse do estudo e muitas vezes é possível trabalhar com mais de um espaço amostral Ex Magalhães 2006 Uma rede de computadores está em operação contínua mas pode sofrer avaria a qualquer momento 20 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral c Exemplo de espaço amostral infinito nãoenumerável Considere o experimento de observar o tempo de vida de uma lâmpada O espaço amostral para esse experimento é Ω x x real x 0 Observação i Para um mesmo experimento aleatório podemos associar vários espaços amostrais A escolha de qual é o adequado depende do interesse do estudo e muitas vezes é possível trabalhar com mais de um espaço amostral Ex Magalhães 2006 Uma rede de computadores está em operação contínua mas pode sofrer avaria a qualquer momento 20 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Diagrama da árvore As vezes pode ser útil para descrever cada um dos pontos amostrais do espaço amostral construir o chamado diagrama de árvore A construção de um diagrama de árvores é feita simplesmente através da ramificação de todas as possibilidades de ocorrência do experimento Cada nó da árvore representa uma possibilidade de ocorrência do experimento A extensão dos galhos é definida de acordo com o tamanho da amostra n do problema em questão Esse diagrama pode ser construído tanto para problemas que envolvem amostragem com reposição e sem reposição 23 24 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa Dantas Carlos Alberto Barbosa 2013 Probabilidade Um Curso Introdutório Vol 10 Edusp Magalhães Marcos Nascimento 2006 Probabilidade e variáveis aleatórias Edusp 24 24