Exercícios de Probabilidade e Estatística - Unidade I

Universidade Federal do Piauı Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Eletrica Prof Alan da Silva Assuncao Disciplina Probabilidade e Estatıstica Exercıcios UNIDADE I Teoria dos conjuntos e Probabilidade Exercıcio 1 Dado o conjunto A e B temos que A B 1 2 4 6 8 10 12 14 16 que A B 1 2 10 e que A B 6 8 16 Determine o conjunto B Exercıcio 2 Sejam A B e C conjuntos quaisquer Entao as duas propriedades seguintes sao validas para operacoes entre produtos cartesianos a A B C A B A C c A B C A B A C A prova para a propriedade a e dada abaixo Faca a prova para a propriedade b Resolucao A prova de A B C A B A C e justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω1 ω2 A B C Isso implica que ω1 A e ω2 B C e por este ultimo ω2 B e ω2 C Como ω1 A e ω2 B entao ω1 ω2 A B Pela segunda afirmacao ω2 B C ou seja ω2 B e ω2 C concluımos que ω1 ω2 A C Se ω1 ω2 A B e ω1 ω2 A C entao ω1 ω2 A B A C prova de ii Suponha que ω1 ω2 A B A C Isso implica que ω1 ω2 A B e ω1 ω2 A C Pela primeira afirmacao concluımos na segunda afirmacao ω1 ω2 A C que ω2 C Como ω2 B e ω2 C entao concluımos que ω2 B C Logo unindo este ultimo resultado com o resultado decorrente da primeira afirmacao temos que ω1 A e ω2 B C Entao concluımos que ω1 ω2 A B C Exercıcio 3 Sejam A B e C subconjuntos quaisquer expresse em notacao matematica os conjuntos cujos elementos Exemplo A expressao matematica do conjunto A unido a B e A B x x A ou x B 1 a Estao em A e B mas nao em C b Nao estao em nenhum deles c Estao no maximo em dois deles d Estao em A mas no maximo em um dos outros conjuntos e Estao na interseccao dos trˆes conjuntos e no complementar de A Exercıcio 4 Descreva um espaco amostral Ω adequado aos seguintes experimentos aleatorios Responda se Ω e finito infinito enumeravel ou infinito naoenumeravel e determine sua cardinalidade no caso finito a Escolhese ao acaso uma famılia com duas criancas de um municıpio e registrase os sexos do primeiro e do segundo filhos b No item a observase apenas o numero de meninas na famılia selecionada c No item a registrase apenas o peso em quilogramas com que cada uma das criancas nasceu d Vinte produtos eletrˆonicos sao sorteados de um lote e a quantidade de produtos com defeito e contada e Um dado e lancado 3 vezes e a sequˆencia de numeros obtida e contada f Registrase o total de pontos quando um dado e lancado 3 vezes Exercıcio 5 Uma moeda e lancada 3 vezes Descreva o espaco amostral Considere os eventos Ai cara no iesimo lancamento para i 1 2 3 Determine os seguintes eventos a Ac 1 A2 b Ac 1 A2 c Ac 1 Ac 2c d A1 A2 A3 Exercıcio 6 Um numero e escolhido ao acaso entre os numeros inteiros de 1 a 20 Considere os eventos A o numero escolhido e multiplo de 3 B o numero escolhido e par Descreva os eventos A B A B A Bc Exercıcio 7 Suponha que o espaco amostral e o intervalo 0 1 dos reais Considere os eventos A x 14 x 58 e B x 12 x 78 Determine os eventos a Ac b A Bc 2 c A Bc d Ac B Exercıcio 8 Escolhese ao acaso um numero entre 1 e 50 Se o numero e primo qual e a probabilidade de que seja ımpar Exercıcio 9 Da populacao de uma cidade 28 fumam cigarro 7 fumam charuto e 5 ambos Calcule a porcentagem da populacao a que nao fuma nem cigarro nem charuto b que fuma charuto mas nao cigarro Exercıcio 10 Em uma escola 60 dos estudantes nao usam anel nem colar 20 usam anela e 30 usam colar Se um aluno e escolhido aleatoriamente qual a probabilidade de que ele esteja usando a pelo menos uma das joias b ambas as joias c um anel mas nao um colar Exercıcio 11 Um comitˆe e formado por quatro homens e duas mulheres Dois membros do comitˆe sao selecionados sucessivamente ao acaso e sem reposicao Calcule a probabilidade de cada um dos resultados HH HM MH e MM Exercıcio 12 Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeicoes salada completa e um prato a base de carne 20 dos frequeses do sexo masculino preferem salada e 30 das mulheres preferem carne 75 dos fregueses sao homens Considere os seguintes eventos H o freguˆes e homem M o freguˆes e mulher A o freguˆes prefere salada B o freguˆes prefere carne mulher Calcule a PH PAH e PBH b PA H PA H c PMA Exercıcio 13 Uma moeda e lancada ate se obter a primeira cara Determine a a probabilidade de que isso ocorra em um lancamento de numero par b a probabilidade de que isso ocorra em um lancamento de numero ımpar 3 Exercıcio 14 Em um curso secundario 13 dos estudantes sao do sexo masculino e 23 dos estudantes sao do sexo feminino A proporcao de rapazes que estudam ciˆencias e 20 e apenas 10 das mocas dedicamse as ciˆencias Obtenha as probabilidades de que a um estudante escolhido ao acaso estude ciˆencias b um estudante de ciˆencias selecionado ao acaso seja do sexo feminino Exercıcio 15 Uma fabrica de sorvetes recebe o leite que utiliza de trˆes fazendas 20 da fazenda 1 30 da fazenda 2 e 50 da fazenda 3 Um orgao de fiscalizacao inspecionou as fazendas e constatou que 20 do leite produzido na fazenda 1 estava adulterado por adicao de agua enquanto que para as fazendas 2 e 3 essa proporcao era de 5 e 2 respectivamente A fabrica de sorvetes recebe o leite em galoes que sao armazenados em um refrigerador sem identificacao da fazenda de proveniˆencia Um galao e escolhido ao acaso e seu conteudo e testado para verificar adulteracao a Qual a probabilidade de que o galao contenha leite adulterado b Sabendo que o teste constatou que o leite do gado esta adulterado obtenha a probabilidade de que o galao seja proveniente da fazenda 1 Exercıcio 16 Todo domingo um pescador vai a um de trˆes lugares pertos de sua casa ao mar com probabilidade 12 a um rio com probabilidade 14 ou a um lago com probabilidade 14 No mar ele consegue fisgar um peixe com probabilidade 80 no rio e no lago essa probabilidade vale de 40 e 60 respectivamente Se em um domingo o pescador volta para casa sem peixe algum para onde e mais provavel que ele tenha ido Exercıcio 17 Lancase um dado duas vezes Considere os eventos A Obtemse 2 ou 5 no primeiro lancamento B A soma das faces obtidas nos dois lancamentos e pelo menos 7 Sao A e B independentes Exercıcio 18 Um experimento consiste em lancar uma moeda honesta duas vezes Considere os eventos A O primeiro lancamento resulta em cara B O segundo lancamento resulta em cara C O resultado do primeiro lancamento coincide com o resultado do segundo lancamento Prove que A B e C sao independentes dois a dois mas nao sao independentes Variaveis aleatorias 4 Exercıcio 19 Seja X uma variavela aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada por px cx x 1 2 3 4 5 6 Encontre a o valor de c b a probabilidade de X ser um numero ımpar Exercıcio 20 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de de distribuicao dada por Fx 0 se x 0 12 se 0 x 1 35 se 1 x 2 45 se 2 x 3 910 se 3 x 4 1 se x 4 Encontre a determine a funcao de probabilidade de X Exercıcio 21 Quinze pessoas portadoras de determinada doenca sao selecionadas para se submeter a um tratamento Sabese que este tratamento e eficaz na cura da doenca em 80 dos casos Suponha que os indivıduos submetidos ao tratamento curamse ou nao independentemente uns dos outros e considere X o numero de curados dentre os 15 pacientes submetidos ao tratamento a Qual a distribuicao de X b Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados c Qual a probabilidade de que pelo menos dois nao sejam curados Exercıcio 22 Um estudante preenche por adivinhacao um exame de multipla escolha com 5 respostas possıveis das quais uma e correta para cada uma de 10 questoes a Qual a distribuicao do numero de respostas certas b Qual a probabilidade de que o estudante obtenha 9 ou mais respostas certas c Qual a probabilidade de que ele acerte pelo menos duas questoes Exercıcio 23 Em uma pizzaria com entrega em domicılio 30 dos pedidos por telefone sao de mais de uma pizza Certo dia o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza Seja X o numero de pedidos recebidos ate o ganhador do brinde 5 a Qual a distribuicgéo de X b Determine 0 menor ntimero de pedidos necessdrios para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 09 Exercicio 24 Verifique que as seguintes fungoes sao densidades a 18 se0Oa42 fx 34 se4da5 0 caso contrario b 1l2 se0Oa2 ft a 0 caso contrario c 23 se l2z0 fz 2213 se0Oal 0 caso contrario d 312 se0Oal fx 0 caso contrario c fx 42e x 0 f fx senz 0a72 Exercicio 25 Seja X uma variavel aleatéria continua com densidade dada por C fz 73 rel Obtenha 6 a o valor de c b a probabilidade de X ser maior que 2 c a funcao de distribuicao de X Exercıcio 26 Seja X uma variavel aleatoria com funcao de distribuicao dada por Fx 0 se x 0 log x se 1 x e 1 se x e a Prove que de fato F e uma funcao de distribuicao b Explique por que X e contınua e obtenha a densidade de X Exercıcio 27 Numa populacao o nıvel serico de colesterol em adultos medidos em mgdl e uma variavel aleatoria com distribuicao normal com parˆametros µ 225 e σ 75 Calcule a a proporcao de pessoas com nıvel de colesterol entre 200 e 350 b o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10 da populacao que tem os nıveis mais elevados Exercıcio 28 Seja X N5 16 a PX 13 b PX 1 c P4 X 9 d o valor de a tal que PX a004 e o valor de b tal que PX b001 f o intervalo que contem 95 dos valores centrais de X Exercıcio 29 Considere uma variavel aleatoria discreta T cuja distribuicao de probabilidade e apresentada a seguir Valores de T 2 3 4 5 6 7 Probabilidades 110 110 410 210 110 110 a PT 6 b PT 4 2 7 c PT ser um numero primo Exercıcio 30 Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao de probabilidade dada por PX x c2x para x N 0 1 2 3 conjunto dos numeros naturais incluındo o zero e zero no complementar Determine a O valor da constante c b PX 2 c PX 5 d PX ser ımpar Exercıcio 31 Suponha que uma variavel aleatoria discreta X tenha a seguinte distribuicao de probabilidade PX x cx para x 0 1 2 3 N e zero no complementar Determine a O valor da constante c quando N 4 b O valor de c para um N qualquer c PX a a N d PX ser par Exercıcio 32 Seja X uma variavel aleatoria contınua com densidade dada por fx cx2 1 x 1 e fx 0 caso contrario Obtenha a o valor de c b calcule PX 12 c ache o valor de α tal que FXα PX α 14 Exercıcio 33 Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao triangular no intervalo 0 1 se sua densidade e dada por fx cx se 0 x 12 c1 xx se 12 x 1 0 caso contrario Determine a o valor de c b Esboce o grafico de fx c Calcule PX 810 e P14 X 34 8 Exercıcio 34 Um computador foi usado para gerar sete numeros aleatorios no intervalo 0 1 calcule a probabilidade de que a exatamente trˆes numeros estejam entre 12 e 1 b menos do que trˆes sejam maiores que 34 Exercıcio 35 Em 1693 Samuel Pepys escreveu uma carta para Isaac Newton propondolhe um problema de probabilidade relacionado a uma aposta que planejava fazer Pepys perguntou o que e mais provavel obter pelo menos um 6 quando 6 dados sao lancados obter pelo menos dois 6 quando 12 dados sao lancados ou obter pelo menos trˆes 6 quando 18 dados sao lancados Newton escreveu trˆes cartas a Pepys e finalmente o convenceu de que o primeiro evento e mais provavel Calcule as trˆes probabilidades Exercıcio 36 Em uma pizzaria com entrega em domicılio 30 dos pedidos por telefone sao de mais de uma pizza Certo dia o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza Seja X o numero de pedidos ate o ganhador do brinde a Qual a distribuicao de X b Determine o menor numero de pedidos necessarios para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 09 c Calcule EX e V arX Exercıcio 37 Se X e uniformemente distribuıda no intervalo 0 1 calcule a probabilidade de a X 3 b X 12 c 4 X 11 d X 3 4 Exercıcio 38 Se X e uma variavel aleatoria Normal com parˆametros µ 3 e σ2 9 determine a P2 X 5 b PX 0 c PX 3 6 Exercıcio 39 Se X e uma variavel aleatoria uniformemente distribuıda no intervalo 3 7 calcule a A funcao de distribuicao acumulada de X b PX 1 2 9 c PX 3 Exercıcio 40 ˆonibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manha isto e os ˆonibus chegam ao ponto as 7h00 7h15 7h30 7h45 e assim por diante Se o instante de chegada de um passageiro ao ponto e uniformemente distribuıdo entre 7h00 e 7h30 determine a probabilidade a De que ele espere menos que 5 minutos ate a chegada de um ˆonibus b De que ele espere mais de 10 minutos ate a chegada de um ˆonibus Exercıcio 41 Suponha que a duracao de uma ligacao telefˆonica em uma cabine publica em minutos e uma variavel aleatoria exponencial com parˆametro λ 1 10 Se uma pessoa chega imediatamente a sua frente na cabine publia determine a probabilidade de que vocˆe tera de esperar a mais que 10 minutos b entre 10 e 20 minutos Exercıcio 42 Setenta por cento da populacao de uma cidade tˆem computador em casa Se um pesquisador procura por munıcipes ao acaso na rua ate encontrar uma pessoa que tenha computador em casa qual a probabilidade de que ele precise a de exatamente quatro tentativas b de pelo menos quatro tentativas Exercıcio 43 Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em 40 das visitar que faz Ele planeja efetuar no mınimo duas vendas por dia Seja X o numero de visitas feitas ate que a segunda venda seja efetivada a Qual a distribuicao de X b Calcule a probabilidade de que o vendedor faca no maximo seis visitas para concluir as duas vendas Exercıcio 44 O numero de erros tipograficos numa pagina de determinado livro e uma variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parˆametro 12 Encontre a probabilidade de que haja trˆes ou mais erros tipograficos nesta pagina Calcule esta probabilidade dado que ha pelo menos um erro nesta pagina Exercıcio 45 Um contador Geiger registra o numero de partıculas emitidas por um material radioativo Suponha que o numero de partıculas que o material emite por segundo e uma variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parˆametro 3 Obtenha a probabilidade de que em um segundo sejam registradas a no maximo duas partıculas 10 b no mınimo duas partıculas Exercıcio 46 O numero X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fabrica por semana segue uma distribuicao de Poisson Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente e um terco da porcentagem de semanas em que nao acontece nenhum calcule a o parˆametro da distribuicao b a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e tambem um na semana seguinte A partir de uma data a direcao da fabrica vai registrar o numero Y de semanas decorridas ate uma semana com ao menos um acidente a Qual a distribuicao de Y b Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem Exercıcio 47 A liga de futebol de um paıs tem quatro times time 1 time 2 e time 3 Um time estrangeiro em excursao pelo paıs vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1 2 e 3 Suponha que consta o time 1 este time tem probabilidade 14 de conquistar a vitoria enquanto essa probabilidade vale 12 quando o adversario e o time 2 e vale 25 quando o adversario e o time 3 Assuma tambem que os resultados dos trˆes amistosos sao independentes Seja X o numero de vitorias conquistadas pelo time estrangeiro nos trˆes amistosos a Obtenha a funcao de probabilidade de X b Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitoria Exercıcio 48 Um revendedor de componentes eletricos os compra em lotes de 10 pecas Seu controle de qualidade consiste em inspecionar 3 componentes selecionados aleatoriamente de um lote e aceitar o lote somente se os trˆes componentes nao sao defeituosos Sabese que 30 dos lotes tˆem 4 componentes defeituosos e 70 tˆem apenas 1 componente defeituoso Dos trˆes componentes selecionados de um lote seja X o numero de componentes defeituosos a Obtenha a funcao de probabilidade de X b Qual a probabilidade de que um lote seja aceito Exercıcio 49 Em uma fabrica de refrigerante uma maquina e usada para encher garrafas de 600 ml O conteudo lıquido em ml por garrafa varia segundo a distribuicao normal com parˆametros µ 600 e σ 4 Calcule a a porcentagem de garrafas produzidas com conteudo inferior a 592 ml ou superior a 612 ml b o valor do conteudo excedido por 96 das garrafas fabricadas 11 Exercıcio 50 O peso em gramas dos recemnascidos em uma maternidade tem distribuicao normal com parˆametro µ 3000 Sabese que 98 dos bebˆes nascem com um peso compreendido entre 25 e 35 quilos Determine a o parˆametro σ b o peso abaixo do qual nascem 04 dos bebˆes dessa maternidade Exercıcio 51 Uma fabrica utiliza dois metodos para a producao de lˆampadas 70 delas sao pro duzidas pelo metodo A e o resto pelo metodo B A duracao em horas das lˆampadas tem distribuicao exponencial com parˆametro 180 ou 1100 conforme se utilize o metodo A ou o B Em um grupo de 10 lˆampadas selecionadas ao acaso qual a probabilidade de que 6 delas durem pelo menos 90 horas Exercıcio 52 O tempo de vida util em anos de um eletrodomestico e uma variavel aleatoria com densidade dada por fx xex2 4 x 0 a Mostre que de fato f e uma densidade b Se o fabricante da um tempo de garantia de seis meses para o produto qual a proporcao de aparelhos que devem usar essa garantia Exercıcio 53 O diˆametro em centımetros das bolinhas de gude em um lote tem distribuicao normal com parˆametro µ 1 Um terco das bolinhas tem diˆametro maior que 11 cm Obtenha a o parˆametro σ b a proporcao de bolinhas cujo diˆametro esta entre 08 e 12 cm c o valor do diˆametro superado por 80 das bolinhas do lote Bom Trabalho 12