Modelos Probabilísticos Contínuos - Variáveis Aleatórias - UFPI

Variáveis aleatórias Prof Alan da Silva Assunção Disciplina Probabilidade e Estatística 9 de dezembro de 2023 Universidade Federal do Piauí Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Sumário Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas 1 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Uniforme contínuo A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo a b R se sua função densidade de probabilidade for dada por fx 1 b aIabx para a x b e fx 0 fora desse intervalo Usaremos a notação X Uca b 2 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Uniforme contínuo Se X Uca b então EX a b 2 VarX b a2 12 e a expressão para a sua FXx função de distribuição acumulada é dada por FXx 0 se x a x ab a se a x b 1 se x b No quadro 3 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Uniforme contínuo Se X Uca b então EX a b 2 VarX b a2 12 e a expressão para a sua FXx função de distribuição acumulada é dada por FXx 0 se x a x ab a se a x b 1 se x b No quadro 3 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 05 00 05 10 15 00 02 04 06 08 10 12 14 x fx 05 00 05 10 15 00 02 04 06 08 10 x3 FXx Figura 1 função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo Uc0 1 4 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Um programa de TV dura 1 hora e um telespectador impaciente incia assistindo mas vai trocar de canal a qualquer momento durante o programa Qual a probabilidade de ele assistir à maior parte do programa 5 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 05 00 05 10 15 00 02 04 06 08 10 x fx Figura 2 PX 12 para X Uc0 1 6 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Exponencial O modelo Exponencial possui aplicações em diversas áreas de engenharia e matemática Tempo de vida de equipamentos intervalos entre chegadas de mensagens eletrônicas ou de chamadas telefônicas a uma central são alguns dos exemplos que tem sido bem modelados pela distribuição exponencial 7 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Exponencial O modelo Exponencial possui aplicações em diversas áreas de engenharia e matemática Tempo de vida de equipamentos intervalos entre chegadas de mensagens eletrônicas ou de chamadas telefônicas a uma central são alguns dos exemplos que tem sido bem modelados pela distribuição exponencial 7 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Exponencial Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro λ se sua função densidade de probabilidade é da forma fx λeλxI0x em que λ é uma constante positiva Usaremos a notação X Expλ O parâmetro λ indica a taxa de ocorrência por unidade de medida que pode ser o tempo distância ou volume entre outras 8 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 00 05 10 15 20 25 30 02 04 06 08 10 x fx λ 1 λ 2 λ 3 00 05 10 15 20 25 30 00 02 04 06 08 x FXx λ 1 λ 2 λ 3 Figura 3 Densidade e função de distribuição acumulada do modelo Exponencial conforme os parâmetros indicados nas legendas 9 32 Se X Expλ então EX 1λ VarX 1λ² e a expressão para a sua FXx função de distribuição acumulada é dada por FXx 0 se x 0 1 eλx se x 0 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória exponencial de parâmetro 2 Calcule a PX 1 5 b PX 0 4 11 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 00 05 10 15 20 25 30 00 05 10 15 20 x fx 00 05 10 15 20 25 30 00 05 10 15 20 x fx Figura 4 PX 1 5 à esquerda e PX 0 4 à direita para X Exp2 12 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória exponencial tal que EX 3 Calcule a P3 X 6 b PX 3 c PX 6X 3 13 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 005 010 015 020 025 030 x fx 0 2 4 6 8 005 010 015 020 025 030 x fx Figura 5 PX 3 à esquerda e P3 X 6 à direita para X Exp13 14 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Falta de memória do modelo exponencial Dentre todos os modelos para variáveis aleatórias contínuas a distribuição exponencial é a única que possui a propriedade de falta de memória isto é se X Expλ então PX t sX s PX t t s 0 No quadro 15 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Falta de memória do modelo exponencial Dentre todos os modelos para variáveis aleatórias contínuas a distribuição exponencial é a única que possui a propriedade de falta de memória isto é se X Expλ então PX t sX s PX t t s 0 No quadro 15 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Falta de memória do modelo exponencial A propriedade da falta de memória do modelo exponencial pode ser interpretado da seguinte forma Considere um componente que tem distribuição de tempo de vida exponencial Se ele durou até o instante t então a probabilidade condicional de ele durar mais s unidades de tempo além do instante t é a mesma que um componente novo venha durar s unidades de tempo 16 32 Um modelo contínuo bastante versátil e que possui muitas aplicações é o modelo Gama Um modelo contínuo bastante versátil e que possui muitas aplicações é o modelo Gama Diremos que X segue o modelo Gamma se sua densidade de probabilidade for dada por fx βα Γα xα1 eβx I0x sendo α e β dois parâmetros positivos e com Γα sendo a função matemática Gama definida por Γα ₀ xα1ex dx α 0 Usaremos a notação X Gamaα β Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama 0 1 2 3 4 00 02 04 06 x fx α 2 β 2 α 3 β 2 α 2 β 1 0 1 2 3 4 00 02 04 06 08 10 x FXx α 2 β 2 α 3 β 2 α 2 β 1 Figura 6 Densidade e função de distribuição acumulada do modelo Gama conforme os parâmetros indicados nas legendas 18 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Algumas propriedades da função Gama i Γα 1 αΓα α 0 ii Γn n 1 n inteiro positivo iii Γ12 π Dependendo dos valores dos parâmetros o modelo Gama recebe outros nomes Parâmetros Nome especial Notação α 1 β 0 Exponencial Expβ α n2 n 0 inteiro β 12 Quiquadrado com n χ2n graus de liberdade α k k 0 inteiro β 0 Erlang de ordem k Erlkβ 19 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Algumas propriedades da função Gama i Γα 1 αΓα α 0 ii Γn n 1 n inteiro positivo iii Γ12 π Dependendo dos valores dos parâmetros o modelo Gama recebe outros nomes Parâmetros Nome especial Notação α 1 β 0 Exponencial Expβ α n2 n 0 inteiro β 12 Quiquadrado com n χ2n graus de liberdade α k k 0 inteiro β 0 Erlang de ordem k Erlkβ 19 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Se X Gamaα β então EX α β VarX α β2 Exceto em situações especiais a função de distribuição acumulada do modelo Gama não possui uma forma simples e compacta 20 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Se X Gamaα β então EX α β VarX α β2 Exceto em situações especiais a função de distribuição acumulada do modelo Gama não possui uma forma simples e compacta 20 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733 pelo matemático Francês Abraham De Moivre Gauss em seus estudos mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio com uma certa variabilidade A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média apresentando um formato de sino 21 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733 pelo matemático Francês Abraham De Moivre Gauss em seus estudos mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio com uma certa variabilidade A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média apresentando um formato de sino 21 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733 pelo matemático Francês Abraham De Moivre Gauss em seus estudos mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio com uma certa variabilidade A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média apresentando um formato de sino 21 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733 pelo matemático Francês Abraham De Moivre Gauss em seus estudos mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio com uma certa variabilidade A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média apresentando um formato de sino 21 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Modelo Normal Diremos que uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros μ e σ² se sua densidade de probabilidade é dada por fx 12πσ² exp xμ²2σ² Ix As constantes μ e σ² satisfazem as condições μ e σ² 0 Usaremos a notação X Nμσ² Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Modelo Normal Diremos que uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros μ e σ² se sua densidade de probabilidade é dada por fx 12πσ² exp xμ²2σ² Ix As constantes μ e σ² satisfazem as condições μ e σ² 0 Usaremos a notação X Nμσ² No modelo Normal μ é a média da distribuição e σ² é a variância Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal 4 2 0 2 4 00 01 02 03 04 x fx µ 0 σ 1 µ 2 σ 1 µ 1 σ 1 4 2 0 2 4 00 02 04 06 08 10 x FXx µ 0 σ 1 µ 2 σ 1 µ 1 σ 1 Figura 7 Função densidade e função de distribuição acumulada do modelo Normal conforme os parâmetros indicados 23 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal Se X Nµ σ2 então EX µ VarX σ2 24 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal A função de distribuição acumulada da Nµ σ2 não tem uma forma fechada e de fato fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral pois esta não possui primitiva Assim os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse É necessário tabelar as probabilidades para µ 0 e σ2 1 25 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal A função de distribuição acumulada da Nµ σ2 não tem uma forma fechada e de fato fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral pois esta não possui primitiva Assim os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse É necessário tabelar as probabilidades para µ 0 e σ2 1 25 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal A função de distribuição acumulada da Nµ σ2 não tem uma forma fechada e de fato fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral pois esta não possui primitiva Assim os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse É necessário tabelar as probabilidades para µ 0 e σ2 1 25 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal A função de distribuição acumulada da Nµ σ2 não tem uma forma fechada e de fato fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral pois esta não possui primitiva Assim os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse É necessário tabelar as probabilidades para µ 0 e σ2 1 25 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Modelo Normal Sendo X Nμσ² então Z Xμσ terá distribuição N01 Sendo X Nμ σ² então Z X μ σ terá distribuição N0 1 De fato temos PX μ σ z PX z σ μ from to zσμ 1 2 π σ² expx μ² 2σ² dx from to z 1 2 π exp y² 2 dy em que nesta última igualdade usamos y x μ σ Observe que este último integrando é a função densidade de uma N0 1 e portanto o resultado está verificado Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal Com o auxílio do resultado anterior convertemos as probabilidades de interesse em probabilidades equivalentes de uma N0 1 A distribuição N0 1 é denotada por Normal padrão ou Normal reduzida e sua função de distribuição acumulada é representada por Φ 27 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal Com o auxílio do resultado anterior convertemos as probabilidades de interesse em probabilidades equivalentes de uma N0 1 A distribuição N0 1 é denotada por Normal padrão ou Normal reduzida e sua função de distribuição acumulada é representada por Φ 27 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal Como ilustração sendo X N10 4 desejamos obter a probabilidade de X estar entre 7 e 12 Temos P7 X 12 P7 10 4 X 10 4 12 10 4 P7 10 4 Z 12 10 4 P32 Z 1 Φ1 Φ32 O valor numérico poderia ser obtido com o uso da tabela da Normal padrão mencionada 28 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição N30 9 Calcular P25 X 31 29 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição N10 100 Calcular a PX 30 b P10 X 20 30 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição N5 16 Calcular a PX 3 b P3 X 9 31 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa 32 32