Variáveis Aleatórias - Probabilidade e Estatística UFPI

Variáveis aleatórias Prof Alan da Silva Assunção Disciplina Probabilidade e Estatística 17 de novembro de 2023 Universidade Federal do Piauí Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Sumário Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas 1 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F 2 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F 2 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F 2 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F 2 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Variável aleatória Considere o experimento em que se lança uma moeda duas vezes O espaço amostral associado é Ω CC CK KC KK Podemos estar interessados no número de caras que ocorre nos dois lançamentos Portanto é natural pensarmos em definir uma função no espaço amostral que associa a cada ponto desse espaço amostral o número de caras que ocorreu 3 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X a função definida nesse espaço amostral que contabiliza o número de caras em dois lançamentos de uma moeda então Espaço amostral Valores de X CC 2 CK 1 KC 1 KK 0 A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores de X também pode ser expressa da seguinte maneira XCC 2 XCK 1 XKC 1 XKK 0 Veja no R 4 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X a função definida nesse espaço amostral que contabiliza o número de caras em dois lançamentos de uma moeda então Espaço amostral Valores de X CC 2 CK 1 KC 1 KK 0 A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores de X também pode ser expressa da seguinte maneira XCC 2 XCK 1 XKC 1 XKK 0 Veja no R 4 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X a função definida nesse espaço amostral que contabiliza o número de caras em dois lançamentos de uma moeda então Espaço amostral Valores de X CC 2 CK 1 KC 1 KK 0 A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores de X também pode ser expressa da seguinte maneira XCC 2 XCK 1 XKC 1 XKK 0 Veja no R 4 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Variável aleatória Variávela aleatória Uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral que assume valores reais Dantas 2013 ou seja designemos por X como sendo essa variável então X Ω R notação as letras maiúsculas do alfabeto X Y Z serão utilizadas para designar as variáveis aleatórias e as letras minúsculas x y z para designar seus valores observados Exemplo no exemplo anterior do lançamento das moedas designamos por X a variável aleatória que contabiliza o número de caras resultante nos dois lançamentos e x1 0 x2 1 x3 2 sendo os valores que esta pode assumir 5 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Variável aleatória Variávela aleatória Uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral que assume valores reais Dantas 2013 ou seja designemos por X como sendo essa variável então X Ω R notação as letras maiúsculas do alfabeto X Y Z serão utilizadas para designar as variáveis aleatórias e as letras minúsculas x y z para designar seus valores observados Exemplo no exemplo anterior do lançamento das moedas designamos por X a variável aleatória que contabiliza o número de caras resultante nos dois lançamentos e x1 0 x2 1 x3 2 sendo os valores que esta pode assumir 5 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Variável aleatória Figura 1 Ilustração de variável aleatória como função definida em Ω Fontehttpsptwikipediaorgwiki 6 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Considere o experimento em que se observa três peças retiradas de uma linha de produção e verificamos se ela é boa ou defeituosa O espaço amostral associado é Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Podemos estar interessados no número de peças defeituosas na amostra e não necessariamente na ordem em que estas ocorrem no experimento Defina uma variável Y que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção 7 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Considere o experimento em que se observa três peças retiradas de uma linha de produção e verificamos se ela é boa ou defeituosa O espaço amostral associado é Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Podemos estar interessados no número de peças defeituosas na amostra e não necessariamente na ordem em que estas ocorrem no experimento Defina uma variável Y que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção 7 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja Y a função definida no espaço amostral que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção então Espaço amostral Valores de Y BBB 0 BBD 1 BDB 1 BDD 2 DBB 1 DBD 2 DDB 2 DDD 3 Veja no R 8 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Figura 2 Ilustração da variável Y Ω R nº de peças defeituosas em uma amostra de 3 peças 9 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Para os exemplos a seguir determine os valores que as variáveis podem assumir a o número de peças defeituosas entre n peças retiradas de uma linha de produção b a duração de um componente de um circuíto c o tempo de vida até a fadiga de um cabo de aço d o número de partículas radioativas desintegradas em um dado intervalo de tempo No exemplo a o valor assumido pela variável está contido em um conjunto finito de valores inteiros não negativos nos exemplos b e c os valores das variáveis podem ser qualquer valor real no d a variável assume valores no conjunto dos inteiros não negativos que é enumerável infinito 10 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Para os exemplos a seguir determine os valores que as variáveis podem assumir a o número de peças defeituosas entre n peças retiradas de uma linha de produção b a duração de um componente de um circuíto c o tempo de vida até a fadiga de um cabo de aço d o número de partículas radioativas desintegradas em um dado intervalo de tempo No exemplo a o valor assumido pela variável está contido em um conjunto finito de valores inteiros não negativos nos exemplos b e c os valores das variáveis podem ser qualquer valor real no d a variável assume valores no conjunto dos inteiros não negativos que é enumerável infinito 10 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Classificação de variáveis aleatórias As variáveis aleatórias que assumem valores em um conjunto enumerável serão denominadas discretas e aquelas que assumem valores num intervalo da reta real serão denominadas contínuas Nos exemplos anteriores os exemplos a e d são variáveis aleatórias discretas e os exemplos b e c são variáveis aleatórias contínuas 11 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Classificação de variáveis aleatórias As variáveis aleatórias que assumem valores em um conjunto enumerável serão denominadas discretas e aquelas que assumem valores num intervalo da reta real serão denominadas contínuas Nos exemplos anteriores os exemplos a e d são variáveis aleatórias discretas e os exemplos b e c são variáveis aleatórias contínuas 11 31 Variáveis aleatórias discretas Distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias discretas A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X definida em um espaço amostral Ω é uma função que associa a cada valor de X sua respectiva probabilidade isto é sendo X uma variável assumindo os valores x₁ x₂ xₙ então para i 1 n pxᵢ PX xᵢ A função de probabilidade de X possui as seguintes propriedades fp1 0 pxᵢ 1 i 1 n fp2 ⁿ ᵢ₁ pxᵢ 1 Variáveis aleatórias discretas Distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias discretas A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X definida em um espaço amostral Ω é uma função que associa a cada valor de X sua respectiva probabilidade isto é sendo X uma variável assumindo os valores x₁ x₂ xₙ então para i 1 n pxᵢ PX xᵢ A função de probabilidade de X possui as seguintes propriedades fp1 0 pxᵢ 1 i 1 n fp2 ⁿ ᵢ₁ pxᵢ 1 A definição acima para função de probabilidade e as respectivas propriedades também valem quando se tem um conjunto infinito enumerável de valores de X Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Considere o exemplo anterior referente ao lançamento de uma moeda duas vezes Para determinar cada valor de X precisamos identificar os pontos amostrais em Ω em que X é igual a esse valor Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 13 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Considere o exemplo anterior referente ao lançamento de uma moeda duas vezes Para determinar cada valor de X precisamos identificar os pontos amostrais em Ω em que X é igual a esse valor Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 13 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Considere o exemplo anterior referente ao lançamento de uma moeda duas vezes Para determinar cada valor de X precisamos identificar os pontos amostrais em Ω em que X é igual a esse valor Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 13 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 PX 0 PX 10 PKK 14 PX 1 PX 11 PCK PKC 12 PX 2 PX 12 PCC 14 Observação PX xi Pω Ω Xω xi 14 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 PX 0 PX 10 PKK 14 PX 1 PX 11 PCK PKC 12 PX 2 PX 12 PCC 14 Observação PX xi Pω Ω Xω xi 14 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 PX 0 PX 10 PKK 14 PX 1 PX 11 PCK PKC 12 PX 2 PX 12 PCC 14 Observação PX xi Pω Ω Xω xi 14 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Figura 3 Variável aleatória para o exemplo do lançamento de uma moeda duas vezes 15 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja Y a função definida no espaço amostral que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção Assuma que a probabilidade de se obervar uma peça boa na linha de produção seja de 09 Calcule a distribuição de probabilidade de Y Observe que Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Dado que PB 0 9 e a observação de uma peça ser boa ou defeituosa independe das observações das demais temos PBBB PBPBPB 0 93 PBBD PBPBPD 0 920 1 e assim sucessivamente 16 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja Y a função definida no espaço amostral que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção Assuma que a probabilidade de se obervar uma peça boa na linha de produção seja de 09 Calcule a distribuição de probabilidade de Y Observe que Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Dado que PB 0 9 e a observação de uma peça ser boa ou defeituosa independe das observações das demais temos PBBB PBPBPB 0 93 PBBD PBPBPD 0 920 1 e assim sucessivamente 16 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo valores de Y Pontos amostrais Probabilidade 0 BBB 0 93 1 BBD BDB DBB 30 920 1 2 BDD DBD DDB 30 90 12 3 DDD 0 13 PX 0 PBBB 0 93 PX 1 PBBD PBDB PDBB 0 920 1 0 920 1 0 920 1 30 920 1 PX 2 PBDD PDBD PDDB 0 90 12 0 90 12 0 90 12 30 90 12 PX 3 PDDD 0 13 17 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo valores de Y Pontos amostrais Probabilidade 0 BBB 0 93 1 BBD BDB DBB 30 920 1 2 BDD DBD DDB 30 90 12 3 DDD 0 13 PX 0 PBBB 0 93 PX 1 PBBD PBDB PDBB 0 920 1 0 920 1 0 920 1 30 920 1 PX 2 PBDD PDBD PDDB 0 90 12 0 90 12 0 90 12 30 90 12 PX 3 PDDD 0 13 17 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Variáveis aleatórias contínuas Para variáveis aleatórias contínuas não podemos esperar atribuir probabilidade aos seus valores da mesma forma que fizemos para o caso discreto pois a soma de um número não enumerável de valores positivos não poderia ser igual a um Ao invés de se atribuir probabilidade a valores da variável como foi feito no caso discreto vamos atribuir valores a intervalos da variável contínua por meio de uma função 18 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Variáveis aleatórias contínuas Para variáveis aleatórias contínuas não podemos esperar atribuir probabilidade aos seus valores da mesma forma que fizemos para o caso discreto pois a soma de um número não enumerável de valores positivos não poderia ser igual a um Ao invés de se atribuir probabilidade a valores da variável como foi feito no caso discreto vamos atribuir valores a intervalos da variável contínua por meio de uma função 18 31 Função densidade de probabilidade Função densidade de probabilidade A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é uma função fx 0 tal que fxdx 1 Decorre da definição acima que a função fx 0 para todo x ℝ e que a integral estendida a reta toda seja igual a um Função densidade de probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória X pertencer a um intervalo ab é dada por Pa X b ᵃᵇ fx dx Função densidade de probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória X pertencer a um intervalo ab é dada por Pa X b ᵃᵇ fx dx Obs1 a integral não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b ou seja ab ab e ab Função densidade de probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória X pertencer a um intervalo ab é dada por Pa X b ᵃᵇ fx dx Obs1 a integral não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b ou seja ab ab e ab Obs2 para as variáveis contínuas a probabilidade da variável ser igual a um valor em particular é zero Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja fx x para 0 x 1 fx 2 x para 1 x 2 e zero no complementar a Esboce o gráfico de fx b Calcule P0 X 0 8 c Calcule P0 3 X 1 5 21 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição triangular no intervalo 0 1 se sua densidade é dada por fx cx se 0 x 12 c1 xx se 12 x 1 0 caso contrário Determine a o valor de c b Esboce o gráfico de fx c Calcule PX 810 e P14 X 34 22 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Figura 4 Gráfico da função densidade de probabilidade de fx 23 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Função de distribuição de uma variável aleatória A função de distribuição acumulada fda de uma variável aleatória X é uma função que a cada número real x associa o valor FXx PX x x R A função de distribuição nos fornece uma outra ideia de descrever como as probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória O conhecimento da função de distribuição nos permite obter qualquer informação sobre a variável aleatória Magalhães 2006 24 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Função de distribuição de uma variável aleatória A função de distribuição acumulada fda de uma variável aleatória X é uma função que a cada número real x associa o valor FXx PX x x R A função de distribuição nos fornece uma outra ideia de descrever como as probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória O conhecimento da função de distribuição nos permite obter qualquer informação sobre a variável aleatória Magalhães 2006 24 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Função de distribuição de uma variável aleatória A função de distribuição de uma variável aleatória X satisfaz as seguintes condições a 0 FXx 1 b FXx é não decrescente e contínua à direita c lim xFXx 0 e lim xFXx 1 25 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Determine a função de distribuição da variável aleatória X que é igual ao número de caras em dois lançamentos de uma moeda No quadro 26 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Determine a função de distribuição da variável aleatória X que é igual ao número de caras em dois lançamentos de uma moeda No quadro 26 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia FXx para variáveis aleatórias discretas Para todo ponto de descontinuidade da função de distribuição que são os valores xi i 1 2 onde a variável discreta assume um valor com probabilidade positiva temos PX xi FXxi lim xx i FXx 1 em que x x i significa o limite da função FXx à esquerda de x A expressão em 1 nos dá a distribuição de probabilidade de X em termos da função de distribuição A distribuição de probabilidades apresentada anteriormente e 1 nos dão maneiras diferentes de atribuir probabilidades aos valores da variável aleatória X pois dada uma delas obtemos a outra 27 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Figura 5 FX x para variáveis aleatórias discretas 28 31 Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Exemplo A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por FXx 0 x 0 12 0 x 1 58 1 x 2 1 x 2 2 Determine a distribuição de probabilidade de X 29 31 Seja X uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade fx podemos obter a função de distribuição acumulada FXx integrandose a densidade de probabilidade FXx PX x x fy dy Se a densidade for contínua em todo o seu campo de definição então decorre do teorema fundamental do cálculo que FXx fx em que FX representa a primeira derivada da função FX Seja X uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade fx podemos obter a função de distribuição acumulada FXx integrandose a densidade de probabilidade FXx PX x x fy dy Se a densidade for contínua em todo o seu campo de definição então decorre do teorema fundamental do cálculo que FXx fx em que FX representa a primeira derivada da função FX Para calcular a probabilidade de a variável aleatória X pertencer ao intervalo a b a partir da função de distribuição FX Pa X b FXb FXa Variável aleatória Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa Dantas Carlos Alberto Barbosa 2013 Probabilidade Um Curso Introdutório Vol 10 Edusp Magalhães Marcos Nascimento 2006 Probabilidade e variáveis aleatórias Edusp 31 31