Probabilidade e Estatistica - Calculo de Variáveis Aleatórias

Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 1 58 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias Alan da Silva Assunção Disciplina Probabilidade e Estatística Curso de Graduação em Matemática 30 de outubro de 2024 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 2 58 Sumário 1 Variável aleatória 2 Variáveis aleatórias discretas 3 Variáveis aleatórias contínuas 4 Esperança de variável aleatória 5 Função de variável aleatória 6 Referências Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 3 58 Variável aleatória Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 3 58 Variável aleatória Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 3 58 Variável aleatória Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 3 58 Variável aleatória Introdução Em muitos casos é conveniente desrever um experimento aleatório atribuíndo valores numéricos aos seus resultados Como os eventos que ocorrem quando se realiza o espaço amostral varia de experimento para experimento também variarão os valores numéricos que lhe são associados Há alguns experimentos que os resultados já são valores numéricos a número de chamadas telefônicas que chegam a uma central b tempo de duração de uma lâmpada c número de pontos que aparecem na face superior do dado No entanto em uma grande parte de experimentos os resultados não são expressos através de valores numéricos a observase o sexo do primogênito em famílias com 2 filhos Nesse caso o espaço amostral é Ω M F Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 4 58 Variável aleatória Variável aleatória Considere o experimento em que se lança uma moeda duas vezes O espaço amostral associado é Ω CC CK KC KK Podemos estar interessados no número de caras que ocorre nos dois lançamentos Portanto é natural pensarmos em definir uma função no espaço amostral que associa a cada ponto desse espaço amostral o número de caras que ocorreu Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 5 58 Variável aleatória Exemplo Seja X a função definida nesse espaço amostral que contabiliza o nú mero de caras em dois lançamentos de uma moeda então Espaço amostral Valores de X CC 2 CK 1 KC 1 KK 0 A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores de X também pode ser expressa da seguinte maneira XCC 2 XCK 1 XKC 1 XKK 0 Veja no R Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 5 58 Variável aleatória Exemplo Seja X a função definida nesse espaço amostral que contabiliza o nú mero de caras em dois lançamentos de uma moeda então Espaço amostral Valores de X CC 2 CK 1 KC 1 KK 0 A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores de X também pode ser expressa da seguinte maneira XCC 2 XCK 1 XKC 1 XKK 0 Veja no R Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 5 58 Variável aleatória Exemplo Seja X a função definida nesse espaço amostral que contabiliza o nú mero de caras em dois lançamentos de uma moeda então Espaço amostral Valores de X CC 2 CK 1 KC 1 KK 0 A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores de X também pode ser expressa da seguinte maneira XCC 2 XCK 1 XKC 1 XKK 0 Veja no R Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 6 58 Variável aleatória Variável aleatória Variávela aleatória Uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral que assume valores reais DANTAS 2013 ou seja designemos por X como sendo essa variável então X Ω R notação as letras maiúsculas do alfabeto X Y Z serão utili zadas para designar as variáveis aleatórias e as letras minúsculas x y z para designar seus valores observados Exemplo no exemplo anterior do lançamento das moedas de signamos por X a variável aleatória que contabiliza o número de caras resultante nos dois lançamentos e x1 0 x2 1 x3 2 sendo os valores que esta pode assumir Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 6 58 Variável aleatória Variável aleatória Variávela aleatória Uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral que assume valores reais DANTAS 2013 ou seja designemos por X como sendo essa variável então X Ω R notação as letras maiúsculas do alfabeto X Y Z serão utili zadas para designar as variáveis aleatórias e as letras minúsculas x y z para designar seus valores observados Exemplo no exemplo anterior do lançamento das moedas de signamos por X a variável aleatória que contabiliza o número de caras resultante nos dois lançamentos e x1 0 x2 1 x3 2 sendo os valores que esta pode assumir Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 7 58 Variável aleatória Variável aleatória Figura Ilustração de variável aleatória como função definida em Ω Fontehttpsptwikipediaorgwiki Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 8 58 Variável aleatória Exemplo Considere o experimento em que se observa três peças retiradas de uma linha de produção e verificamos se ela é boa ou defeituosa O espaço amostral associado é Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Podemos estar interessados no número de peças defeituosas na amostra e não necessariamente na ordem em que estas ocorrem no experimento Defina uma variável Y que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 8 58 Variável aleatória Exemplo Considere o experimento em que se observa três peças retiradas de uma linha de produção e verificamos se ela é boa ou defeituosa O espaço amostral associado é Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Podemos estar interessados no número de peças defeituosas na amostra e não necessariamente na ordem em que estas ocorrem no experimento Defina uma variável Y que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 9 58 Variável aleatória Exemplo Seja Y a função definida no espaço amostral que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção então Espaço amostral Valores de Y BBB 0 BBD 1 BDB 1 BDD 2 DBB 1 DBD 2 DDB 2 DDD 3 Veja no R Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 10 58 Variável aleatória Exemplo Figura Ilustração da variável Y Ω R nº de peças defeituosas em uma amostra de 3 peças Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 11 58 Variável aleatória Exemplo Para os exemplos a seguir determine os valores que as variáveis podem assumir a o número de peças defeituosas entre n peças retiradas de uma linha de produção b a duração de um componente de um circuíto c o tempo de vida até a fadiga de um cabo de aço d o número de partículas radioativas desintegradas em um dado intervalo de tempo No exemplo a o valor assumido pela variável está contido em um conjunto finito de valores inteiros não negativos nos exemplos b e c os valores das variáveis podem ser qualquer valor real no d a variável assume valores no conjunto dos inteiros não negativos que é enumerável infinito Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 11 58 Variável aleatória Exemplo Para os exemplos a seguir determine os valores que as variáveis podem assumir a o número de peças defeituosas entre n peças retiradas de uma linha de produção b a duração de um componente de um circuíto c o tempo de vida até a fadiga de um cabo de aço d o número de partículas radioativas desintegradas em um dado intervalo de tempo No exemplo a o valor assumido pela variável está contido em um conjunto finito de valores inteiros não negativos nos exemplos b e c os valores das variáveis podem ser qualquer valor real no d a variável assume valores no conjunto dos inteiros não negativos que é enumerável infinito Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 12 58 Variável aleatória Classificação de variáveis aleatórias Variáveis aleatórias contínuas e discretas As variáveis aleatórias que assumem valores em um conjunto enumerável serão denominadas discretas e aquelas que assumem valores num intervalo da reta real serão denominadas contínuas Nos exemplos anteriores os exemplos a e d são variáveis aleatórias discretas e os exemplos b e c são variáveis aleatórias contínuas Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 12 58 Variável aleatória Classificação de variáveis aleatórias Variáveis aleatórias contínuas e discretas As variáveis aleatórias que assumem valores em um conjunto enumerável serão denominadas discretas e aquelas que assumem valores num intervalo da reta real serão denominadas contínuas Nos exemplos anteriores os exemplos a e d são variáveis aleatórias discretas e os exemplos b e c são variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias discretas Distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias discretas A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X definida em um espaço amostral Ω é uma função que associa a cada valor de X sua respectiva probabilidade isto é sendo X uma variável assumindo os valores x1 x2 xn então para i 1 n pxi PX xi A função de probabilidade de X possui as seguintes propriedades fp1 0 pxi 1 i 1 n fp2 ni1 pxi 1 Variáveis aleatórias discretas Distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias discretas A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X definida em um espaço amostral Ω é uma função que associa a cada valor de X sua respectiva probabilidade isto é sendo X uma variável assumindo os valores x1 x2 xn então para i 1 n pxi PX xi A função de probabilidade de X possui as seguintes propriedades fp1 0 pxi 1 i 1 n fp2 ni1 pxi 1 A definição acima para função de probabilidade e as respectivas propriedades também valem quando se tem um conjunto infinito enumerável de valores de X Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 14 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Considere o exemplo anterior referente ao lançamento de uma moeda duas vezes Para determinar cada valor de X precisamos identificar os pontos amostrais em Ω em que X é igual a esse valor Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 14 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Considere o exemplo anterior referente ao lançamento de uma moeda duas vezes Para determinar cada valor de X precisamos identificar os pontos amostrais em Ω em que X é igual a esse valor Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 14 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Considere o exemplo anterior referente ao lançamento de uma moeda duas vezes Para determinar cada valor de X precisamos identificar os pontos amostrais em Ω em que X é igual a esse valor Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 15 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 PX 0 PX10 PKK 14 PX 1 PX11 PCK PKC 12 PX 2 PX12 PCC 14 Observação PX xi Pω Ω Xω xi Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 15 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 PX 0 PX10 PKK 14 PX 1 PX11 PCK PKC 12 PX 2 PX12 PCC 14 Observação PX xi Pω Ω Xω xi Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 15 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Em outras palavras precisamos determinar a a imagem inversa de cada valor de X valores de X Pontos amostrais Probabilidade 0 KK 14 1 CK KC 12 2 CC 14 PX 0 PX10 PKK 14 PX 1 PX11 PCK PKC 12 PX 2 PX12 PCC 14 Observação PX xi Pω Ω Xω xi Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 16 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Figura Variável aleatória para o exemplo do lançamento de uma moeda duas vezes Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 17 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Seja Y a função definida no espaço amostral que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção Assuma que a probabilidade de se obervar uma peça boa na linha de produção seja de 09 Calcule a distribuição de probabilidade de Y Observe que Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Dado que PB 0 9 e a observação de uma peça ser boa ou defeituosa independe das observações das demais temos PBBB PBPBPB 0 93 PBBD PBPBPD 0 920 1 e assim sucessivamente Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 17 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Seja Y a função definida no espaço amostral que contabiliza o número de peças defeituosas entre três peças retiradas de uma linha de produção Assuma que a probabilidade de se obervar uma peça boa na linha de produção seja de 09 Calcule a distribuição de probabilidade de Y Observe que Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD Dado que PB 0 9 e a observação de uma peça ser boa ou defeituosa independe das observações das demais temos PBBB PBPBPB 0 93 PBBD PBPBPD 0 920 1 e assim sucessivamente Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 18 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo valores de Y Pontos amostrais Probabilidade 0 BBB 0 93 1 BBD BDB DBB 30 920 1 2 BDD DBD DDB 30 90 12 3 DDD 0 13 PX 0 PBBB 0 93 PX 1 PBBD PBDB PDBB 0 920 1 0 920 1 0 920 1 30 920 1 PX 2 PBDD PDBD PDDB 0 90 12 0 90 12 0 90 12 30 90 12 PX 3 PDDD 0 13 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 18 58 Variáveis aleatórias discretas Exemplo valores de Y Pontos amostrais Probabilidade 0 BBB 0 93 1 BBD BDB DBB 30 920 1 2 BDD DBD DDB 30 90 12 3 DDD 0 13 PX 0 PBBB 0 93 PX 1 PBBD PBDB PDBB 0 920 1 0 920 1 0 920 1 30 920 1 PX 2 PBDD PDBD PDDB 0 90 12 0 90 12 0 90 12 30 90 12 PX 3 PDDD 0 13 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 19 58 Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas Para variáveis aleatórias contínuas não podemos esperar atribuir probabilidade aos seus valores da mesma forma que fizemos para o caso discreto pois a soma de um número não enumerável de valores positivos não poderia ser igual a um Ao invés de se atribuir probabilidade a valores da variável como foi feito no caso discreto vamos atribuir valores a intervalos da variável contínua por meio de uma função Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 19 58 Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas Para variáveis aleatórias contínuas não podemos esperar atribuir probabilidade aos seus valores da mesma forma que fizemos para o caso discreto pois a soma de um número não enumerável de valores positivos não poderia ser igual a um Ao invés de se atribuir probabilidade a valores da variável como foi feito no caso discreto vamos atribuir valores a intervalos da variável contínua por meio de uma função Função densidade de probabilidade Função densidade de probabilidade A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é uma função fx 0 tal que fxdx 1 Decorre da definição acima que a função fx 0 para todo x ℝ e que a integral estendida a reta toda seja igual a um Função densidade de probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória X pertencer a um intervalo ab é dada por Pa X b ab fxdx Obs1 a integral não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b ou seja a b a b e a b Obs2 para as variáveis contínuas a probabilidade da variável ser igual a um valor em particular é zero Função densidade de probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória X pertencer a um intervalo ab é dada por Pa X b ab fxdx Obs1 a integral não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b ou seja a b a b e a b Obs2 para as variáveis contínuas a probabilidade da variável ser igual a um valor em particular é zero Função densidade de probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória X pertencer a um intervalo ab é dada por Pa X b ab fxdx Obs1 a integral não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b ou seja a b a b e a b Obs2 para as variáveis contínuas a probabilidade da variável ser igual a um valor em particular é zero Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 22 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo Seja fx x para 0 x 1 fx 2 x para 1 x 2 e zero no complementar a Esboce o gráfico de fx b Calcule P0 X 0 8 c Calcule P0 3 X 1 5 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 23 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo Uma variável aleatória possui a seguinte função densidade fx cx se 0 x 12 c1 xx se 12 x 1 0 caso contrário Determine a o valor de c b Esboce o gráfico de fx c Calcule PX 810 e P14 X 34 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 24 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo Figura Gráfico da função densidade de probabilidade de fx Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 25 58 Variáveis aleatórias contínuas Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Função de distribuição de uma variável aleatória A função de distribuição acumulada fda de uma variável aleatória X é uma função que a cada número real x associa o valor FXx PX x x R A função de distribuição nos fornece uma outra ideia de descrever como as probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória O conhecimento da função de distribuição nos permite obter qualquer informação sobre a variável aleatória MAGALHÃES 2006 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 25 58 Variáveis aleatórias contínuas Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Função de distribuição de uma variável aleatória A função de distribuição acumulada fda de uma variável aleatória X é uma função que a cada número real x associa o valor FXx PX x x R A função de distribuição nos fornece uma outra ideia de descrever como as probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória O conhecimento da função de distribuição nos permite obter qualquer informação sobre a variável aleatória MAGALHÃES 2006 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 26 58 Variáveis aleatórias contínuas Função de distribuição de uma variável aleatória A função de distribuição de uma variável aleatória X satisfaz as seguin tes condições a 0 FXx 1 b FXx é não decrescente e contínua à direita c lim xFXx 0 e lim xFXx 1 Função de distribuição de uma variável aleatória Seja X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade associa aos valores x1 x2 xn as respectivas probabilidades PX x1 PX x2 PX xn Para calcular a função de distribuição acumulada precisamos calcular a probabilidade do evento X x ixi x X xi Como os valores de X são todos disjuntos os eventos do lado direito são mutuamente exclusivos e então temse FXx PX x P ixi x X xi ixi x PX xi 1 A expressão em 1 nos mostra que se for dada a distribuição de de probabilidade da variável aleatória X então fica determinada a sua fda OBS o evento X x ω Ω Xω x Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 28 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo Determine a função de distribuição da variável aleatória X que é igual ao número de caras em dois lançamentos de uma moeda No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 28 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo Determine a função de distribuição da variável aleatória X que é igual ao número de caras em dois lançamentos de uma moeda No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 29 58 Variáveis aleatórias contínuas FXx para variáveis aleatórias discretas Para todo ponto de descontinuidade da função de distribuição que são os valores xi i 1 2 onde a variável discreta assume um valor com probabilidade positiva temos PX xi FXxi lim xx i FXx 2 em que x x i significa o limite da função FXx à esquerda de x A expressão em 2 nos dá a distribuição de probabilidade de X em termos da função de distribuição As expressões em 1 e 2 nos dão maneiras diferentes de atribuir probabilidades aos valores da variável aleatória X pois dada uma delas obtemos a outra Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 30 58 Variáveis aleatórias contínuas Figura FXx para variáveis aleatórias discretas Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 31 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo Exemplo A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por FXx 0 x 0 12 0 x 1 58 1 x 2 1 x 2 3 Determine a distribuição de probabilidade de X Função de distribuição de uma variável aleatória Seja X uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade fx podemos obter a função de distribuição acumulada FXx integrandose a densidade de probabilidade FXx PX x from to x fy dy Se a densidade for contínua em todo o seu campo de definição então decorre do teorema fundamental do cálculo que FXx fx em que FX representa a primeira derivada da função FX Função de distribuição de uma variável aleatória Seja X uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade fx podemos obter a função de distribuição acumulada FXx integrandose a densidade de probabilidade FXx PX x from to x fy dy Se a densidade for contínua em todo o seu campo de definição então decorre do teorema fundamental do cálculo que FXx fx em que FX representa a primeira derivada da função FX Para calcular a probabilidade de a variável aleatória X pertencer ao intervalo a b a partir da função de distribuição FX Pa X b FXb FXa A duração em anos de uma certa lâmpada especial é uma variável aleatória contínua com densidade da da por fx 2e2x x 0 0 caso contrário Usando uma notação mais resumida com função indicadora fx 2e2x I0x Calcule a função de distribuição FXx para a variável aleatória X e P05 X 2 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 34 58 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo 00 05 10 15 20 25 30 02 04 06 08 10 x fx λ 1 λ 2 λ 3 00 05 10 15 20 25 30 00 02 04 06 08 x FXx λ 1 λ 2 λ 3 Figura Função densidade de probabilidade à esquerda para o exemplo anterior fx 2e2xI0x função de distribuição acumulada FXx à direita Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 35 58 Esperança de variável aleatória Esperança de variável aleatória O conceito de valor esperado ou média parece ter sido historicamente desenvolvido para avaliar ganhos em jogos com apostas e dinheiro O retorno financeiro em uma dada jogada ou aposta é imprevisível A questão de interesse era avaliar esse retorno num horizonte de várias jogadas Seria uma espécie de balança final de muitas jogadas após contabilizar ganhos e perdas MAGALHÃES 2006 A esperança matemática de uma uma variável aleatória discreta X que assume os valores xi com respectivas probabilidades pxi PX xi para i 1 2 é dada por EX μX i1 xi pxi A valor esperado da variável aleatória X pondera os valores pelas respectivas probabilidades e não precisa ser um dos valores possíveis pela variável Lembrando o conceito de equilíbrio de um corpo em Física podemos interpretar o valor esperado como o centro de gravidade de um objeto de massa unitária Exemplo considere uma barra de peso desprezível que tem massas distribuídas nos pontos 2 1 0 e 2 As massas são equivalentemente proporcionais as probabilidades de ocorrências dos valores 2 1 0 e 2 Seja G o centro de gravidade da barra A obtenção de G é dada por i14 xi Gpi 0 i14 xi pi i14 G pi 0 G i14 xi pi em que pi pxi E portanto G é o valor esperado de uma variável aleatória discreta X Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 38 58 Esperança de variável aleatória Interpretação Física de Esperança 02 02 03 03 03 Interpretação Física de Esperança Seja X o número obtido na face superior de um dado honesto O valor esperado de X é dado por EX i16 xi pxi 16 26 36 46 56 66 216 72 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 40 58 Esperança de variável aleatória Interpretação frequentista do valor esperado Z numero na face superior de um dado m 1000 quantidade de repetições contZ0 para armazenar os valores da variavel Z fori in 1m y samplec1234561replaceFALSE Zy contZccontZZ printZ ptablecontZ2mm probabilidades de Z sumpseq161 média empírica de Z valor esperado 1 3533 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 41 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Uma loteria vende 100 bilhetes O preço de cada bilhete é R 120 e o bilhete sorteado paga um prêmio de R 10000 Você compra um bilhete Qual a esperança de seu ganho No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 41 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Uma loteria vende 100 bilhetes O preço de cada bilhete é R 120 e o bilhete sorteado paga um prêmio de R 10000 Você compra um bilhete Qual a esperança de seu ganho No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 42 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Suponha um jogo com um dado equilibrado e com a seguinte regra em cada rodada o jogador paga a uma banca R 1 para jogar e ganha R 1 se der face 4 ou 5 e R 2 se der face 6 Nos demais resultados ele não ganha nada Esse jogo é interessante para quem No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 42 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Suponha um jogo com um dado equilibrado e com a seguinte regra em cada rodada o jogador paga a uma banca R 1 para jogar e ganha R 1 se der face 4 ou 5 e R 2 se der face 6 Nos demais resultados ele não ganha nada Esse jogo é interessante para quem No quadro Esperança de variável aleatória contínua Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f Definimos valor esperado ou esperança matemática ou média de X por EX μX x fx dx desde que a integral esteja bem definida Observações a A interpretação de EX para o caso contínuo é similar ao mencionado para o caso de variáveis aleatórias discretas O valor esperado é o centro de gravidade da distribuição da variável aleatória Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 44 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f dada por fx 1 4I20x 1 4I24x Calcule o valor esperado de X Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 45 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Figura função densidade de probabilidade do Exemplo e seu valor esperado Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 46 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Calcular a esperança da variável aleatória X cuja densidade de proba bilidade é dada por fx 2x 0 x 0 5 2 3x 4 3 0 5 x 2 0 caso contrário No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 46 58 Esperança de variável aleatória Exemplo Calcular a esperança da variável aleatória X cuja densidade de proba bilidade é dada por fx 2x 0 x 0 5 2 3x 4 3 0 5 x 2 0 caso contrário No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 47 58 Esperança de variável aleatória Exemplo 00 05 10 15 20 00 02 04 06 08 10 x fx EX Figura Exemplo da função densidade de probabilidade do exemplo e seu valor esperado Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 48 58 Esperança de variável aleatória Propriedades do valor esperado Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade Ω A P e a b R Temos 1 Se X a emtão EX a 2 linearidade da esperança EaX b aEX b 3 linearidade da esperança EX Y EX EY 4 monotonicidade da esperança Se X Y então EX EY Observações obs1 O resultado em 3 pode ser extendido para a soma de n variáveis aleatórias X1 X2 Xn dado que EX1 X2 Xn exista obs2 as propriedades 3 e 4 não serão demonstradas os leitores interessados podem consultar Magalhães 2006 e Dantas 2013 para terem uma ideia de como funciona a prova dessas propriedades Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 48 58 Esperança de variável aleatória Propriedades do valor esperado Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade Ω A P e a b R Temos 1 Se X a emtão EX a 2 linearidade da esperança EaX b aEX b 3 linearidade da esperança EX Y EX EY 4 monotonicidade da esperança Se X Y então EX EY Observações obs1 O resultado em 3 pode ser extendido para a soma de n variáveis aleatórias X1 X2 Xn dado que EX1 X2 Xn exista obs2 as propriedades 3 e 4 não serão demonstradas os leitores interessados podem consultar Magalhães 2006 e Dantas 2013 para terem uma ideia de como funciona a prova dessas propriedades Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 48 58 Esperança de variável aleatória Propriedades do valor esperado Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade Ω A P e a b R Temos 1 Se X a emtão EX a 2 linearidade da esperança EaX b aEX b 3 linearidade da esperança EX Y EX EY 4 monotonicidade da esperança Se X Y então EX EY Observações obs1 O resultado em 3 pode ser extendido para a soma de n variáveis aleatórias X1 X2 Xn dado que EX1 X2 Xn exista obs2 as propriedades 3 e 4 não serão demonstradas os leitores interessados podem consultar Magalhães 2006 e Dantas 2013 para terem uma ideia de como funciona a prova dessas propriedades Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 49 58 Função de variável aleatória Função de variáveis aleatórias Considere o jogo da roleta em que há 37 números inteiros de 0 a 36 sendo 18 dos quais da cor vermelha e 18 da cor preta e o zero é branco Dentre as muitas apostas que podem ser feitas uma delas consiste em apostar na primeira duzia isto é no conjunto dos números de 1 a 12 caso ocorra um desses números o jogador ganha R 2 para cada real apostado Suponha que um jogador faça uma aposta de R 10 na primeira duzia Designe por X a variável aleatória que é igual ao número observado quando se gira a roleta Designe por Y o seu ganho nessa rodada da roleta Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 49 58 Função de variável aleatória Função de variáveis aleatórias Considere o jogo da roleta em que há 37 números inteiros de 0 a 36 sendo 18 dos quais da cor vermelha e 18 da cor preta e o zero é branco Dentre as muitas apostas que podem ser feitas uma delas consiste em apostar na primeira duzia isto é no conjunto dos números de 1 a 12 caso ocorra um desses números o jogador ganha R 2 para cada real apostado Suponha que um jogador faça uma aposta de R 10 na primeira duzia Designe por X a variável aleatória que é igual ao número observado quando se gira a roleta Designe por Y o seu ganho nessa rodada da roleta Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 49 58 Função de variável aleatória Função de variáveis aleatórias Considere o jogo da roleta em que há 37 números inteiros de 0 a 36 sendo 18 dos quais da cor vermelha e 18 da cor preta e o zero é branco Dentre as muitas apostas que podem ser feitas uma delas consiste em apostar na primeira duzia isto é no conjunto dos números de 1 a 12 caso ocorra um desses números o jogador ganha R 2 para cada real apostado Suponha que um jogador faça uma aposta de R 10 na primeira duzia Designe por X a variável aleatória que é igual ao número observado quando se gira a roleta Designe por Y o seu ganho nessa rodada da roleta Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 50 58 Função de variável aleatória Função de variáveis aleatórias De acordo com as informações temos Tabela Distribuição de probabilidade de X Ω X Y PX xi 0 0 10 137 1 1 20 137 2 2 20 137 12 12 20 137 13 13 10 137 36 36 10 137 Tabela Distribuição de probabilidade de Y Y PY yj 10 2537 20 1237 Função de variáveis aleatórias Podemos calcular o valor esperado de Y de duas maneiras Função de variáveis aleatórias Podemos calcular o valor esperado de Y de duas maneiras 1º Usando a distribuição de Y EY 102537201237 1037 2º Considerando a variável aleatória YX usando a distribuição de X Para ω 1 2 12 YXω 20 e para ω 0 13 14 36 YXω 10 EYX ω036 YXωPω 201237102537 1037 Esperança de função de variável aleatória Seja X uma variável aleatória discreta definida em um espaço amostral Ω e g uma função real Então a o valor esperado da variável aleatória gX é dada por EgX i gxiPX xi Caso X seja contínua temos que EgX é dada por EgX gxfxdx Variância de variáveis aleatórias A variância de uma variável aleatória X denotada por VarX σ²X é definida por σ²X EX EX² Se a variável aleatória X é discreta então σ²X i1 xi EX² PX xi Caso X seja uma variável aleatória contínua σ²X x EX² fxdx Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 54 58 Função de variável aleatória Variância de variáves aleatórias Uma outra forma de exprimir a variância é σ2X EX2 EX2 De fato note que por definição σ2X EX EX2 Então de senvolvendo o quadrado σ2X EX2 2XEX EX2 constante EX2 2EXEX EEX2 EX2 2EX2 EX2 EX2 EX2 4 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 54 58 Função de variável aleatória Variância de variáves aleatórias Uma outra forma de exprimir a variância é σ2X EX2 EX2 De fato note que por definição σ2X EX EX2 Então de senvolvendo o quadrado σ2X EX2 2XEX EX2 constante EX2 2EXEX EEX2 EX2 2EX2 EX2 EX2 EX2 4 Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 55 58 Função de variável aleatória Variância de variáves aleatórias Se a e b são constantes quaisquer então V araX b a2V arX o que implica V arb 0 ou seja variância de uma constante é zero Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então V arX Y V arX V arY OBS Mais a frente em momento oportuno definiremos a independên cia de variáveis aleatórias Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 55 58 Função de variável aleatória Variância de variáves aleatórias Se a e b são constantes quaisquer então V araX b a2V arX o que implica V arb 0 ou seja variância de uma constante é zero Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então V arX Y V arX V arY OBS Mais a frente em momento oportuno definiremos a independên cia de variáveis aleatórias Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 56 58 Função de variável aleatória Distribuição condicional de variável aleatória Utilizando o conceito de probabilidade condicional podemos estender o conceito de distribuição de probabilidade e função de distribuição acumulada considerando o condicionamento a um evento Seja X uma função definida em Ω A P e considere um evento A A com PA 0 a distribuição de probabilidade condicional de X dado que A ocorreu é definida por PX BA PX B A PA em que B representa uma região de valores da variável aleatória um conjunto de valores no caso discreto ou um subintervalo no caso con tínuo Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 56 58 Função de variável aleatória Distribuição condicional de variável aleatória Utilizando o conceito de probabilidade condicional podemos estender o conceito de distribuição de probabilidade e função de distribuição acumulada considerando o condicionamento a um evento Seja X uma função definida em Ω A P e considere um evento A A com PA 0 a distribuição de probabilidade condicional de X dado que A ocorreu é definida por PX BA PX B A PA em que B representa uma região de valores da variável aleatória um conjunto de valores no caso discreto ou um subintervalo no caso con tínuo Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 57 58 Função de variável aleatória Exemplo O desempenho diário de um certo conjunto de ações pode ser medido como a porcentagem de crescimento do preço de venda em relação ao dia anterior Suponha que esse desenpenho é uma variável aleatória contínua X com função densidade dada por fx 0 se x 3 ou x 4 1 12x 1 4 se 3 x 0 1 4x se 0 x 2 1 16 se 2 x 4 O desempenho negativo indica que as ações perderam valor de um dia para o outro Qual seria a probabilidade de um dia com desempenho excepcional isto é superior a 3 dado que o desempenho foi positivo No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 57 58 Função de variável aleatória Exemplo O desempenho diário de um certo conjunto de ações pode ser medido como a porcentagem de crescimento do preço de venda em relação ao dia anterior Suponha que esse desenpenho é uma variável aleatória contínua X com função densidade dada por fx 0 se x 3 ou x 4 1 12x 1 4 se 3 x 0 1 4x se 0 x 2 1 16 se 2 x 4 O desempenho negativo indica que as ações perderam valor de um dia para o outro Qual seria a probabilidade de um dia com desempenho excepcional isto é superior a 3 dado que o desempenho foi positivo No quadro Cálculo das probabilidades Variáveis aleatórias 58 58 Referências Referências I DANTAS C A B Probabilidade Um Curso Introdutório Vol 10 Sl Edusp 2013 MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias Sl Edusp 2006