Cálculo das Probabilidades: Teoria e Propriedades

Cálculo das Probabilidades Prof Alan da Silva Assunção Disciplina Probabilidade e Estatística 25 de outubro de 2023 Universidade Federal do Piauí Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Sumário Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade 1 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Propriedades Sejam A B e C conjuntos quaisquer Então valem as seguintes propriedades a Idempotente A A A A A A b Elemento neutro A A A Ω A c Comutativa A B B A A B B A d Associativa A B C A B C A B C A B C e Distributiva 1 A B C A B A C 2 A B C A B A C f Acc A g Lei de Morgan 1 A Bc Ac Bc 2 A Bc Ac Bc 2 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade d parte 1 A B C ω ω A ou ω B C ω ω A ou ω B ou ω C ω ω A ou ω B ou ω C ω ω A B ou C A B C 3 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A e ω B ou ω C Se ω B então ω A B pois da primeira afirmação ω A que deve ser verdadeira Se ω B temos que ω C Mas isso implica que ω A C decorrente também da primeira afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B A C 4 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A e ω B ou ω A e ω C Dessas duas afirmações concluímos De ambas as afirmações entre parênteses concluímos que ω A Se ω B concluímos que ω B C Se ω B concluímos que ω C e também ω C B Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω B C Como já sabíamos que ω A então chegamos a conclusão que ω A B C 5 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A e ω B ou ω A e ω C Dessas duas afirmações concluímos De ambas as afirmações entre parênteses concluímos que ω A Se ω B concluímos que ω B C Se ω B concluímos que ω C e também ω C B Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω B C Como já sabíamos que ω A então chegamos a conclusão que ω A B C 5 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 1 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A e ω B ou ω A e ω C Dessas duas afirmações concluímos De ambas as afirmações entre parênteses concluímos que ω A Se ω B concluímos que ω B C Se ω B concluímos que ω C e também ω C B Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω B C Como já sabíamos que ω A então chegamos a conclusão que ω A B C 5 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 A prova de A B C A B A C é justificada ao mostrarmos i A B C A B A C ii A B A C A B C prova de i Suponha que ω A B C Logo ω A ou ω B e ω C Se ω A então ω A B e ω A C Se ω A temos que ω B e ω C então ω A B e ω A C Qualquer que seja o caso ω A ou ω A concluímos que ω A B A C 6 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Prova da propriedade e parte 2 prova de ii Suponha que ω A B A C Logo ω A ou ω B e ω A ou ω C Se ω B então ω B C pela segunda afirmação e além disso ω B C A Se ω B implica que ω A e ω B C também pela segunda afirmação Qualquer que seja o caso ω B ou ω B concluímos que ω A B C As provas das demais propriedades decorrem do correto manuseio dos conectivos e e ou 7 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Produto Cartesiano Par odernado Sejam A1 e A2 dois conjuntos não vazios Para a1 A1 e a2 A2 o par ordenado a1 a2 fica determinado ao estabelecermos que a primeira coordenada é apresentada pelo elemento a1 e a segunda pelo elemento a2 Produto cartesiano O produto cartesiano A B é definido como A B a b a A e b B 1 Nota Detontamos por A2 A A a1 a2 a1 a2 A 8 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Sejam A 2 4 e B 4 8 1 Calcule A B A B 2 4 2 8 2 1 4 4 4 8 4 1 2 9 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Sejam A 2 4 e B 4 8 1 Calcule A B A B 2 4 2 8 2 1 4 4 4 8 4 1 2 9 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definições Disjuntos Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos se A B Coleção de conjuntos Uma coleção de conjuntos ou classe de conjuntos é um conjunto que contém conjntos como seus elementos Ex conjunto das partes conjunto das partes Dado um conjunto não vazio Ω o conjunto das partes de Ω PΩ é definido como PΩ A A Ω 3 10 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplos Considere os números inteiros entre 1 e 100 Definamos os seguintes conjuntos A1 conjunto dos nº pares entre 1 e 100 A2 conjunto dos nº terminados em 3 entre 1 e 100 Note que A1 e A2 são disjuntos isto é A1 A2 11 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplos Considere os números inteiros entre 1 e 100 Definamos os seguintes conjuntos A1 conjunto dos nº pares entre 1 e 100 A2 conjunto dos nº terminados em 3 entre 1 e 100 Note que A1 e A2 são disjuntos isto é A1 A2 11 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Seja A 1 2 3 um conjunto qualquer Então o conjunto das partes PA de A seria PA 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 4 Para determinar a quantidade de elementos que o conjunto das partes PA terá para um dado conjunto A temse a seguinte fórmula geral PA 2A 5 em que significa o número de elementos do conjunto A cardinalidade de A Para o exemplo acima A 3 logo PA 23 8 elementos 12 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Seja A 1 2 3 um conjunto qualquer Então o conjunto das partes PA de A seria PA 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 4 Para determinar a quantidade de elementos que o conjunto das partes PA terá para um dado conjunto A temse a seguinte fórmula geral PA 2A 5 em que significa o número de elementos do conjunto A cardinalidade de A Para o exemplo acima A 3 logo PA 23 8 elementos 12 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Introdução à probabilidade Hoje em dia há muitas situações nas quais nos deparamos com a incerteza quanto a ocorrência de uma das suas possíveis alternativas de ocorrênciaDantas 2013 Exemplos a Um torcedor de futebol procura avaliar as chances de vitória do seu time antes de cada jogo que ele participa b Muitas vezes ao acordarmos nos perguntamos será que vai chover c Na loteria esportiva a cada rodada são escolhidos treze jogos e uma aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos possíveis resultados ou seja vitória de um dos dois clubes ou o empate Probabilidade é a ferramenta matemática que nos permite mensurar a incerteza inerente à experimentosfenômenos aleatórios 13 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Experimentos aleatórios Experimento aleatórios são aqueles experimentos que ao serem repetidos sob as mesmas condições não necessariamente produzirão os mesmos resultados Em contrapartida experimentos que ao serem repetidos sob as mesmas condições e que conduzem ao mesmo resultado são chamados de determinísticos Exemplos a Quando retiramos um lote de peças num processo de produção observamos que o número de peças defeituosas varia de lote para lote b Ao deixar uma pedra cair de uma certa altura podemos determinar sua posição e velocidade para qualquer instante de tempo posterior à queda 14 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Experimentos aleatórios Exemplos c O processo de ebulição da água A mesma sempre entrará em processo de ebulição quando a temperatura atinge 100º C d O resultado de um lançamento de uma moeda honesta variará de lançamento para lançamento O objetivo nessa disciplina é construir um modelo matemático para experimentos aleatórios 15 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Simulação de Experimentos aleatórios no R Exemplo de experimento aleatório lançamento de uma moeda m 10 quantidade de replicações do processo for i in 1m y sampleccaracoroa1replaceFALSE printy Syssleep1 Exemplo de experimento aleatório lançamento de um dado equilibrado for i in 1m y samplec1234561replaceFALSE printy Syssleep1 16 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral Espaço amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Nessa disciplina a nomeclatura dada para representar o espaço amostral é Ω Cada resultado contido no espaço amostral é denominado de ponto amostral Exemplos lançamento de um dado corresponde ao seguinte espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 6 neste caso cada um dos possíveis resultados 1 2 3 4 5 6 são pontos amostrais 17 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral Espaço amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Nessa disciplina a nomeclatura dada para representar o espaço amostral é Ω Cada resultado contido no espaço amostral é denominado de ponto amostral Exemplos lançamento de um dado corresponde ao seguinte espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 6 neste caso cada um dos possíveis resultados 1 2 3 4 5 6 são pontos amostrais 17 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral O espaço amostral Ω pode ser finito ou infinito e este último pode ser enumerável quando posto em correspondência biunívoca com os números naturais e nãoenumerável quando não há correspondência biunívoca com o conjunto dos naturais a Exemplo de espaço amostral finito lançamento de um dado ou lançamento de um moeda Para esse último o espaço amostral é Ω C K em que C referese a cara e K referese a coroa 18 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral O espaço amostral Ω pode ser finito ou infinito e este último pode ser enumerável quando posto em correspondência biunívoca com os números naturais e nãoenumerável quando não há correspondência biunívoca com o conjunto dos naturais a Exemplo de espaço amostral finito lançamento de um dado ou lançamento de um moeda Para esse último o espaço amostral é Ω C K em que C referese a cara e K referese a coroa 18 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral b Exemplo de espaço amostral infinito enumerável uma moeda é lançada sucessivamente até que apareça cara pela primeira vez Se ocorrer cara no 1º lançamento o experimento termina Se ocorrer coroa no 1º lançamento repetese o experimento e se ocorrer cara no 2º lançamento o experimento termina Se não ocorrer cara nos dois primeiros lançamentos fazse um terceiro lançamento caso não ocorra cara fazse um quarto lançamento e assim sucessivamente O espaço amostral para esse experimento é Ω C KC KKC KKKC 19 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral b Exemplo de espaço amostral infinito enumerável uma moeda é lançada sucessivamente até que apareça cara pela primeira vez Se ocorrer cara no 1º lançamento o experimento termina Se ocorrer coroa no 1º lançamento repetese o experimento e se ocorrer cara no 2º lançamento o experimento termina Se não ocorrer cara nos dois primeiros lançamentos fazse um terceiro lançamento caso não ocorra cara fazse um quarto lançamento e assim sucessivamente O espaço amostral para esse experimento é Ω C KC KKC KKKC 19 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral c Exemplo de espaço amostral infinito nãoenumerável Considere o experimento de observar o tempo de vida de uma lâmpada O espaço amostral para esse experimento é Ω x x real x 0 Observação i Para um mesmo experimento aleatório podemos associar vários espaços amostrais A escolha de qual é o adequado depende do interesse do estudo e muitas vezes é possível trabalhar com mais de um espaço amostral Ex Magalhães 2006 Uma rede de computadores está em operação contínua mas pode sofrer avaria a qualquer momento 20 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral c Exemplo de espaço amostral infinito nãoenumerável Considere o experimento de observar o tempo de vida de uma lâmpada O espaço amostral para esse experimento é Ω x x real x 0 Observação i Para um mesmo experimento aleatório podemos associar vários espaços amostrais A escolha de qual é o adequado depende do interesse do estudo e muitas vezes é possível trabalhar com mais de um espaço amostral Ex Magalhães 2006 Uma rede de computadores está em operação contínua mas pode sofrer avaria a qualquer momento 20 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral c Exemplo de espaço amostral infinito nãoenumerável Considere o experimento de observar o tempo de vida de uma lâmpada O espaço amostral para esse experimento é Ω x x real x 0 Observação i Para um mesmo experimento aleatório podemos associar vários espaços amostrais A escolha de qual é o adequado depende do interesse do estudo e muitas vezes é possível trabalhar com mais de um espaço amostral Ex Magalhães 2006 Uma rede de computadores está em operação contínua mas pode sofrer avaria a qualquer momento 20 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Espaço amostral Se o interesse estiver no número de falhas diárias temos o seguinte espaço amostral Ω 0 1 2 m 7 em que m seria o limite máximo de falhas estabelecidas pelo administrador da rede Nesse caso o espaço amostral seria finito Uma outra possibilidade é não considerar um limite fixado m então Ω seria infinito enumerável Ω 0 1 2 8 Se o interesse estiver em observar a hora do dia em que ocorre a falha o espaço amostral seria Ω ω R 0 ω 24 9 e nesse caso Ω seria infinito nãoenumerável 21 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Evento Evento Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento Os eventos serão denotados por subconjuntos do espaço amostral Exemplos Três peças são retiradas de uma linha de produção Cada peça é classificada como boa B ou defeituosa D Então temos Ω BBB BBD BDB BDD DBB DBD DDB DDD considere os seguintes eventos A duas peças são boas Então temse A BBD BDB DBB B as duas primeiras peças são boas B BBB BBD 22 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Diagrama da árvore As vezes pode ser útil para descrever cada um dos pontos amostrais do espaço amostral construir o chamado diagrama de árvore A construção de um diagrama de árvores é feita simplesmente através da ramificação de todas as possibilidades de ocorrência do experimento Cada nó da árvore representa uma possibilidade de ocorrência do experimento A extensão dos galhos é definida de acordo com o tamanho da amostra n do problema em questão Esse diagrama pode ser construído tanto para problemas que envolvem amostragem com reposição e sem reposição 23 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Diagrama da árvore Figura 1 Diagrama da arvore para o exemplo das peças 24 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplos Considere o experimento em que lançase três moedas Denotamos C para referirse à face Cara e K para Coroa Então temos o seguinte diagrama de árvore 25 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo O espaço amostral associado ao experimento é dado por Ω CCC CCK CKC CKK KCC KCK KKC KKK considere os seguintes eventos A três faces cara A CCC B as duas últimas faces são cara B CCC KCC 26 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo O espaço amostral associado ao experimento é dado por Ω CCC CCK CKC CKK KCC KCK KKC KKK considere os seguintes eventos A três faces cara A CCC B as duas últimas faces são cara B CCC KCC 26 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo O espaço amostral associado ao experimento é dado por Ω CCC CCK CKC CKK KCC KCK KKC KKK considere os seguintes eventos A três faces cara A CCC B as duas últimas faces são cara B CCC KCC 26 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Análise combinatória Análise combinatória é uma área da matemática responsável pelo estudo de critérios para representação de quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvêlo Em algumas situações conseguiremos ser hábeis em enumerar a quantidade de elementos do espaço amostral Ω no entanto haverá situações em que isso será demasiadamente difícil Para auxiliar nessa tarefa serão necessários métodos mais sofisticados de contagem A análise combinatória é encarada como um processo sofisticado de contagem 27 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Princípio multiplicativo Princípio Fundamental da Contagem Suponha que uma tarefa possa ser executada em k etapas e temos n1 maneiras de realizar a tarefa 1 n2 maneiras de realizar a tarefa 2 e assim sucessivamente Se o número de maneiras de realizar uma tarefa não influencia no número de maneiras de realizar as outras tarefas temos Dantas 2013 n1 n2 nk 10 Exemplo Quantos resultados possíveis temos ao jogar um dado e uma moeda simultaneamente 28 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Princípio multiplicativo Princípio Fundamental da Contagem Suponha que uma tarefa possa ser executada em k etapas e temos n1 maneiras de realizar a tarefa 1 n2 maneiras de realizar a tarefa 2 e assim sucessivamente Se o número de maneiras de realizar uma tarefa não influencia no número de maneiras de realizar as outras tarefas temos n1 n2 nk Exemplo Quantos resultados possíveis temos ao jogar um dado e uma moeda simultaneamente sol Pelo princípio multiplicativo temos 6 2 12 resultados possíveis 29 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Princípio multiplicativo Princípio Fundamental da Contagem Suponha que uma tarefa possa ser executada em k etapas e temos n1 maneiras de realizar a tarefa 1 n2 maneiras de realizar a tarefa 2 e assim sucessivamente Se o número de maneiras de realizar uma tarefa não influencia no número de maneiras de realizar as outras tarefas temos n1 n2 nk Exemplo Quantos resultados possíveis temos ao jogar um dado e uma moeda simultaneamente sol Pelo princípio multiplicativo temos 6 2 12 resultados possíveis 29 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Princípio multiplicativo Princípio Fundamental da Contagem Suponha que uma tarefa possa ser executada em k etapas e temos n1 maneiras de realizar a tarefa 1 n2 maneiras de realizar a tarefa 2 e assim sucessivamente Se o número de maneiras de realizar uma tarefa não influencia no número de maneiras de realizar as outras tarefas temos n1 n2 nk Exemplo Quantos resultados possíveis temos ao jogar um dado e uma moeda simultaneamente sol Pelo princípio multiplicativo temos 6 2 12 resultados possíveis 29 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo Se um homem tem duas camisas e quatro gravatas De quantas maneiras possíveis ele poderia escolher uma camisa e uma gravata sol Pelo princípio multiplicativo temos 2 4 8 resultados possíveis Exemplo Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos Um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa De quantas maneiras possíveis podemos combinar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido 5 6 9 270 possibilidades 11 30 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo Se um homem tem duas camisas e quatro gravatas De quantas maneiras possíveis ele poderia escolher uma camisa e uma gravata sol Pelo princípio multiplicativo temos 2 4 8 resultados possíveis Exemplo Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos Um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa De quantas maneiras possíveis podemos combinar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido 5 6 9 270 possibilidades 11 30 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo Se um homem tem duas camisas e quatro gravatas De quantas maneiras possíveis ele poderia escolher uma camisa e uma gravata sol Pelo princípio multiplicativo temos 2 4 8 resultados possíveis Exemplo Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos Um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa De quantas maneiras possíveis podemos combinar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido 5 6 9 270 possibilidades 11 30 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo Se um homem tem duas camisas e quatro gravatas De quantas maneiras possíveis ele poderia escolher uma camisa e uma gravata sol Pelo princípio multiplicativo temos 2 4 8 resultados possíveis Exemplo Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos Um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa De quantas maneiras possíveis podemos combinar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido 5 6 9 270 possibilidades 11 30 49 Teoria dos conjuntos Introdugao a probabilidade Analise combinatoria Definigao de Probabilidade Bibliografia OOO00000000 OOO00000000000 OO0C0CO00000000 OQO000000 O Principio aditivo Sejam AAn conjuntos disjuntos 2 a 2 Entao n n UZ Ail y Ai i1 3149 Teoria dos conjuntos Introdugao a probabilidade Analise combinatoria Definigao de Probabilidade Bibliografia OCO00000000 OOCOOO000000000 O000OCO000000000 O000000 Oo Principio aditivo Sejam AAn conjuntos disjuntos 2 a 2 Entao n UZAi IAI i1 Exemplo Quantos numeros inteiros entre 1 a 100 sao pares ou terminam em 3 3149 Teoria dos conjuntos Introdugao a probabilidade Analise combinatoria Definigao de Probabilidade Bibliografia OCO00000000 OOCOOO000000000 O000OCO000000000 O000000 Oo Principio aditivo Sejam AAn conjuntos disjuntos 2 a 2 Entao n UZ Ail Ai i1 Exemplo Quantos numeros inteiros entre 1 a 100 sao pares ou terminam em 3 sol A conjunto dos n pares entre 1 e 100 Az conjunto dos n terminados em 3 entre 1 e 100 Note que A e Ap sao disjuntos isto 6 Ay M Ao Pelo principio aditivo temos que Ay U Ag Ay Aa 12 Observe que A50 e Ad 10 13 De 12 e 13 temos que A U Ap 50 10 60 3149 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Arranjo Arranjo O número de amostras ordenadas sem reposição de tamanho n de um conjunto de N elementos que será denotado por AN n é dado por AN n N N n 14 em que N NN 1N 2 321 é chamado de fatorial e lêse N fatorial Quando n N temos um cajo especial de arranjo que é chamado de permutação e o denotaremos por PN ou seja AN N N N N N 0 N 1 PN N 15 32 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Demonstração Observe primeiramente que AN n N N n NN 1N 2 N n 1N n N n NN 1N 2 N n 1 16 Atente para o fato de que as amostras são feitas sem reposição portanto o primeiro elemento da amostra pode ser retirado de N maneiras o segundo elemento pode ser retirado de N 1 maneiras o terceiro elemento de N 2 maneiras e assim por diante até o nésimo elemento que pode ser retirado de N n 1 maneiras Logo pelo princípio fundamental da contagem o número de maneiras de retirar uma amostra de tamanho n é dado por NN 1N 2 N n 1 NN 1N 2 N n 1 que é idêntico ao resultado encontrado em 16 33 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Considere uma classe com vinte estudantes O conselho de classe é formado por três estudantes um presidente um secretário e um tesoureiro Temos que o número de conselhos distintos formados por três alunos tomados de um total de 20 alunos é sol A20 3 20 20 3 20 17 20191817 17 201918 6840 possibilidades 17 34 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Considere o conjunto das quatro primeiras letras do alfabeto a b c d Quanto seria o número de amostras ordenadas sem reposição de tamanho 3 sol A4 3 4 4 3 4 1 4321 1 24 possibilidades 18 35 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Considere o conjunto das quatro primeiras letras do alfabeto a b c d Quanto seria o número de amostras ordenadas sem reposição de tamanho 3 sol A4 3 4 4 3 4 1 4321 1 24 possibilidades 18 35 49 Teoria dos conjuntos Introdugao a probabilidade Analise combinatoria Definigao de Probabilidade Bibliografia OCO00000000 OOCOOO000000000 OOOCDCO000O00000 O000000 Oo Amostragem nao ordenada e Combinacao Amostragem nao ordenada Uma amostra n é dita nao ordenada se os seus elementos nao forem ordenados assim uma amostra nao ordenada de tamanho n coincide com um subconjunto de tamanho n Combinagao O numero de amostras NAO ordenadas sem reposicao de tamanho n de um conjunto de N elementos que sera denotado por CN é dado por N 19 7 nlN ny 19 A expressao em 19 6 também conhecida como 0 coeficiente binomial 3649 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Amostragem não ordenada e Combinação Observe que ambos o Arranjo simples e a Combinação simples fazem a contabilização do número de amostras realizadas SEM reposição de um conjunto de N elementos Porém a diferença entre eles é que enquanto no Arranjo a ordem importa na Combinação ela se torna irrelevante 37 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Seis times participam de um torneio de basquete Cada uma das equipes enfrenta todas as demais Quantos jogos serão realizados sol O número de jogos é determinado pelo número de amostras não ordenadas de tamanho 2 de um conjunto com 6 elementos Logo temos C6 2 6 26 2 6 24 654 24 15 possibilidades 20 38 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Seis times participam de um torneio de basquete Cada uma das equipes enfrenta todas as demais Quantos jogos serão realizados sol O número de jogos é determinado pelo número de amostras não ordenadas de tamanho 2 de um conjunto com 6 elementos Logo temos C6 2 6 26 2 6 24 654 24 15 possibilidades 20 38 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Um icosaedro regular possui suas faces numeradas de 1 a 20 O icosaedro é lançado quatro vezes O espaço amostral para esse experimento possuiria quantos resultados possíveis sol Em cada lançamento do icosaedro temos 20 possibilidades de faces Logo o espaço amostral Ω nesse caso seria determinado pelo número de amostras ordenadas com reposição de tamanho 4 de um conjunto com 20 elementos Então temos 20 20 20 20 204 160000 possibilidades 21 Logo Ω 160000 elementos 39 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Um icosaedro regular possui suas faces numeradas de 1 a 20 O icosaedro é lançado quatro vezes O espaço amostral para esse experimento possuiria quantos resultados possíveis sol Em cada lançamento do icosaedro temos 20 possibilidades de faces Logo o espaço amostral Ω nesse caso seria determinado pelo número de amostras ordenadas com reposição de tamanho 4 de um conjunto com 20 elementos Então temos 20 20 20 20 204 160000 possibilidades 21 Logo Ω 160000 elementos 39 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados usandose os algarismos 2 3 4 5 6 7 8 e 9 40 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Quantos quadriláteros distintos podemos formar com vértices nos pontos A B C D E e F 41 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definição clássica de probabilidade A definição que denominaremos de clássica baseiase no conceito primitivo de eventos igualmente possíveis ou equiprováveis Esta definição é apropriada para experimentos com um número finito de eventos simples ou seja quando Ω for finito Exemplo Lançamento de duas moedas honestas Então o espaço amostral para esse caso é Ω CK CC KC KK em que cada um dos pontos amostrais acima possui a mesma chance de ocorrência ou seja 14 42 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definição clássica de probabilidade Suponha que podemos por alguma razão uma razão de simetria por exemplo atribuir a mesma chance de ocorrência a cada um dos eventos simples do espaço amostral desse experimento Nesse caso temos a seguinte definição de probabilidade PA Número de elementos em A Número de elementos em Ω A definição dada acima em 22 é uma função na classe dos eventos ou o que é equivalente na classe dos subconjuntos do espaço amostral 43 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo 1 Considere o experimento de se lançar um dado equilibrado e observar a sua face Podemos atribuir probabilidade 16 a cada um dos eventos simples 1 2 3 4 5 6 Seja A o número obtido quando se lança o dado é par Logo A 2 4 6 então PA 3 6 1 2 Exemplo 2 Considere o experimento em que você lança um dado e uma moeda simultaneamente O espaço amostral associado a esse experimento façam o diagrama da árvore é Ω 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K6 K Seja A ter saído face cara e o número obtido no lançamento do dado ser par Logo A C 2 C 4 C 6 então PA 3 12 1 4 44 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo 1 Considere o experimento de se lançar um dado equilibrado e observar a sua face Podemos atribuir probabilidade 16 a cada um dos eventos simples 1 2 3 4 5 6 Seja A o número obtido quando se lança o dado é par Logo A 2 4 6 então PA 3 6 1 2 Exemplo 2 Considere o experimento em que você lança um dado e uma moeda simultaneamente O espaço amostral associado a esse experimento façam o diagrama da árvore é Ω 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K6 K Seja A ter saído face cara e o número obtido no lançamento do dado ser par Logo A C 2 C 4 C 6 então PA 3 12 1 4 44 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definição de probabilidade geométrica Com a definição de probabilidade clássica apresentada muitos problemas envolvendo probabilidade são resolvidos através de técnicas de análise combinatória e contagem Se Ω não for enumerável o conceito de probabilidade apresentado antes se aplicará ao comprimento de intervalos medidas de áreas ou similares dando origem à chamada probabilidade geométrica Por exemplo para Ω sendo um intervalo dos reais temos PA Comprimento de A Comprimento de Ω 22 45 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Considere o experimento de lançar dois dados e observar suas faces Descreva o espaço amostral e calcule as probabilidades para os seguintes experimentos a A ter saído face par no primeiro lançamento b Ac c B a soma dos números nas faces resultar em 10 46 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo 1 Suponha que o espaço amostral Ω é o intervalo 0 1 dos reais Considere os eventos A x 14 x 58 e B x 12 x 78 Calcule a PA b PB c PA B Exemplo 2 Um baralho comum possui 52 cartas separada em 4 naipes com 13 cartas cada um Para cada naipe os valores das cartas são 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K e A Um baralho comum é embaralhado Calcule a probabilidade de que as quatro cartas do topo tenham a valores diferentes b tenham naipes diferentes 47 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Exemplo Exemplo 1 Suponha que o espaço amostral Ω é o intervalo 0 1 dos reais Considere os eventos A x 14 x 58 e B x 12 x 78 Calcule a PA b PB c PA B Exemplo 2 Um baralho comum possui 52 cartas separada em 4 naipes com 13 cartas cada um Para cada naipe os valores das cartas são 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K e A Um baralho comum é embaralhado Calcule a probabilidade de que as quatro cartas do topo tenham a valores diferentes b tenham naipes diferentes 47 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definição frequentista de probabilidade Se o número de elementos de Ω for infinito porém enumerável a definição clássica de probabilidade para um evento precisa ser tratada de uma outra forma Uma outra maneira de determinar a probabilidade de um evento consiste em repetir o experimento aleatório de forma independente um número n de vezes e anotar quantas vezes o evento A associado a esse experimento acorreu Logo seja nA o número de ocorrências de A em n repetições independentes do experimento Assim PA lim n nA n 23 a definição de probabilidade apresentada em 23 é chamada de frequentista ou estatística 48 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definição frequentista de probabilidade Se o número de elementos de Ω for infinito porém enumerável a definição clássica de probabilidade para um evento precisa ser tratada de uma outra forma Uma outra maneira de determinar a probabilidade de um evento consiste em repetir o experimento aleatório de forma independente um número n de vezes e anotar quantas vezes o evento A associado a esse experimento acorreu Logo seja nA o número de ocorrências de A em n repetições independentes do experimento Assim PA lim n nA n 23 a definição de probabilidade apresentada em 23 é chamada de frequentista ou estatística 48 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Definição frequentista de probabilidade Se o número de elementos de Ω for infinito porém enumerável a definição clássica de probabilidade para um evento precisa ser tratada de uma outra forma Uma outra maneira de determinar a probabilidade de um evento consiste em repetir o experimento aleatório de forma independente um número n de vezes e anotar quantas vezes o evento A associado a esse experimento acorreu Logo seja nA o número de ocorrências de A em n repetições independentes do experimento Assim PA lim n nA n 23 a definição de probabilidade apresentada em 23 é chamada de frequentista ou estatística 48 49 Teoria dos conjuntos Introdução à probabilidade Análise combinatória Definição de Probabilidade Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa Dantas Carlos Alberto Barbosa 2013 Probabilidade Um Curso Introdutório Vol 10 Edusp Magalhães Marcos Nascimento 2006 Probabilidade e variáveis aleatórias Edusp 49 49