Modelos Probabilisticos Discretos - Variaveis Aleatorias

Variáveis aleatórias Prof Alan da Silva Assunção Disciplina Probabilidade e Estatística 29 de novembro de 2023 Universidade Federal do Piauí Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Sumário Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas 1 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado Em geral nesses casos a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta isto é existe uma lei para atribuir probabilidades Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado Em geral nesses casos a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta isto é existe uma lei para atribuir probabilidades Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado Em geral nesses casos a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta isto é existe uma lei para atribuir probabilidades Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado Em geral nesses casos a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta isto é existe uma lei para atribuir probabilidades Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Uma variável aleatória segue o modelo Uniforme Discreto com valores x1 x2 xk se tem função de probabilidade dada por PX x px 1k para x x1 x2 xk Usamos a notação X UdE para indicar que a variável aleatória X possui ou segue uma distribuição de probabilidade Uniforme Discreta com E sendo o conjunto de valores que X assume 3 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Condições que identificam o Modelo uniforme discreto O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável posssui a mesma probabilidade de ocorrência Exemplos a Lançamento de um dado b sorteio de um equipamento eletrônico em um lote com uma quantidade fixa de equipamentos distintos c sorteio de uma pessoa em um determinado grupo de pessoas OBS Não há restrição quanto aos valores que a variável pode assumir que podem ser qualquer número real Entretanto o número de valores diferentes precisa ser finito pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge A função de distribuição acumulada de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável 4 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Condições que identificam o Modelo uniforme discreto O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável posssui a mesma probabilidade de ocorrência Exemplos a Lançamento de um dado b sorteio de um equipamento eletrônico em um lote com uma quantidade fixa de equipamentos distintos c sorteio de uma pessoa em um determinado grupo de pessoas OBS Não há restrição quanto aos valores que a variável pode assumir que podem ser qualquer número real Entretanto o número de valores diferentes precisa ser finito pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge A função de distribuição acumulada de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável 4 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Condições que identificam o Modelo uniforme discreto O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável posssui a mesma probabilidade de ocorrência Exemplos a Lançamento de um dado b sorteio de um equipamento eletrônico em um lote com uma quantidade fixa de equipamentos distintos c sorteio de uma pessoa em um determinado grupo de pessoas OBS Não há restrição quanto aos valores que a variável pode assumir que podem ser qualquer número real Entretanto o número de valores diferentes precisa ser finito pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge A função de distribuição acumulada de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável 4 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Lançamos um dado equilibrado e observamos a face que ocorreu Sendo X essa variável aleatória é fácil verificar que X UdE com E 1 2 3 4 5 6 Sua função de probabilidade é px 16 para x 1 2 6 5 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 1 2 3 4 5 6 010 014 018 022 x px 1 2 3 4 5 6 7 8 00 05 10 15 x FXx G G G G G G G G G G G Figura 1 função de probabilidade e função de distribuição acumulada para o exemplo anterior 6 35 Se X UdE com E x₁ xₖ temos EX μX 1k i1 to k xᵢ VarX σ²X 1k i1 to k xᵢ μX² Se X UdE com E x₁ xₖ temos EX μX 1k i1 to k xᵢ VarX σ²X 1k i1 to k xᵢ μX² No quadro Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Bernoulli Na prática existem muitos experimentos que fornecem apenas dois valores chamados de variáveis dicotômicos Exemplos Uma peça é classificada como boa ou defeituosa Um entrevistado concorda ou não com uma informação Uma vacina imunizou ou não uma criança O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo Estes experimentos recebem o nome de ensaios de Bernoulli e originam uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli 8 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Bernoulli Uma variável aleatória segue o modelo Bernoulli se assume apenas os valores 0 ou 1 Sua função de probabilidade é dada por PX x px1 p1x para x 0 1 1 Usamos a notação X Berp para indicar que a variável aleatória X possui ou segue uma distribuição de probabilidade Bernoulli No modelo Bernoulli a probabilidade p é denominada um parâmetro do modelo 9 35 Na prática é comum atribuir 1 ao evento de interesse que comumente chamamos de sucesso Ex diagnóstico positivo em um exame face cara de uma moeda etc e 0 ao evento complementar que comumente chamamos de fracasso Na prática é comum atribuir 1 ao evento de interesse que comumente chamamos de sucesso Ex diagnóstico positivo em um exame face cara de uma moeda etc e 0 ao evento complementar que comumente chamamos de fracasso Exemplo O exemplo mais comum de um experimento de Bernoulli é o lançamento de uma moeda X 0 coroa 1 cara Então X Berp com p Pcara Se a moeda for honesta então p 12 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 00 02 04 06 08 10 03 04 05 06 07 x px 00 05 10 15 20 25 30 00 05 10 15 x FXx G G G Figura 2 função de probabilidade e função de distribuição acumulada para o exemplo anterior 11 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Bernoulli Se X Berp então EX µX p VarX σ2X p1 p De fato note que EX 0PX 0 1pX 1 PX 1 p VarX EX 2 µ2 X Então calculemos primeiro EX 2 EX 2 02PX 0 12PX 1 PX 1 p Logo VarX p p2 p1 p 12 35 A repetição de sucessivos ensaios de Bernoulli é fonte de estudo de muitos problemas interessantes A repetição de sucessivos ensaios de Bernoulli é fonte de estudo de muitos problemas interessantes Considere uma sequência de n ensaios de Bernoulli independentes Seja X o número total de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli independentes Diremos que X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por PX x n x px 1 pnx para x 012n Usamos a notação X Bnp para indicar que a variável aleatória X possui ou segue uma distribuição de probabilidade Binomial com parâmetros n e p Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 10 000 005 010 015 020 025 x fx 0 2 4 6 8 10 12 00 02 04 06 08 10 x FXx G G G G G G G G G G G G G G G GG GG GG Figura 3 função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo B11 035 14 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo A taxa de imunização de uma vacina é 80 Se um grupo de 20 pessoas foi vacinado desejamos saber o comportamento probabilístico do numero de pessoas imunizada nesse grupo Calcule a A probabilidade de que exatamente 15 pessoas tenham sido imunizadas b A probabilidade de que pelo menos 16 pessoas tenham sido imunizadas c A probabilidade de que pelo menos 5 pessoas tenham sido imunizadas No quadro 15 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo A taxa de imunização de uma vacina é 80 Se um grupo de 20 pessoas foi vacinado desejamos saber o comportamento probabilístico do numero de pessoas imunizada nesse grupo Calcule a A probabilidade de que exatamente 15 pessoas tenham sido imunizadas b A probabilidade de que pelo menos 16 pessoas tenham sido imunizadas c A probabilidade de que pelo menos 5 pessoas tenham sido imunizadas No quadro 15 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Em uma prova de múltipla escolha cada questão possui 5 alternativas dentre as quais somente uma é a correta Nessa prova há 10 questões Um determinado aluno não estudou para essa prova mas ele decide fazer a prova e tentar a sorte Assumindo que em cada questão o aluno chuta cada uma das alternativas com igual chance calcule a a probabilidade de que ele acerte exatamente as 10 questões b a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões No quadro 16 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Em uma prova de múltipla escolha cada questão possui 5 alternativas dentre as quais somente uma é a correta Nessa prova há 10 questões Um determinado aluno não estudou para essa prova mas ele decide fazer a prova e tentar a sorte Assumindo que em cada questão o aluno chuta cada uma das alternativas com igual chance calcule a a probabilidade de que ele acerte exatamente as 10 questões b a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões No quadro 16 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes No quadro 17 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes No quadro 17 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Binomial Se X Bn p então EX µX np VarX σ2X np1 p No quadro 18 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Binomial Se X Bn p então EX µX np VarX σ2X np1 p No quadro 18 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrico Considere uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli independentes Defina X como o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso ou em outras palavras o tempo de espera em termos de ensaios anteriores para o primeiro sucesso A variável X segue o modelo Geométrico com parâmetro p 0 p 1 e tem função de probabilidade dada por PX x p1 px para x 0 1 2 Usamos a notação X Geop para indicar que a variável aleatória X possui ou segue uma distribuição de probabilidade Geométrica com parâmetros p 19 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 10 000 005 010 015 020 025 030 035 x fx 0 2 4 6 8 10 12 00 02 04 06 08 10 x FXx G G G G G G G G G G G G G GG GG GG GG Figura 4 função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo Geo035 em 10 ensaios anteriores de Bernoulli antes do primeiro sucesso 20 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Um banco de sangue necessita de sangue do tipo ORh negativo Seja p a proporção de indivíduos na população com esse tipo de sangue Suponha que as pessoas são escolhidas da população ao acaso para serem examinadas se tem esse tipo de sangue O número de pessoas examinadas antes de se encontrar a primeira pessoa com esse tipo de sangue tem distribuição geométrica com parâmetro p Calcule para p 0 1 a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada com esse tipo de sangue ser a quinta No quadro 21 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Um banco de sangue necessita de sangue do tipo ORh negativo Seja p a proporção de indivíduos na população com esse tipo de sangue Suponha que as pessoas são escolhidas da população ao acaso para serem examinadas se tem esse tipo de sangue O número de pessoas examinadas antes de se encontrar a primeira pessoa com esse tipo de sangue tem distribuição geométrica com parâmetro p Calcule para p 0 1 a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada com esse tipo de sangue ser a quinta No quadro 21 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é interrompida na primeira ocorrência de um defeito A partir da manuntenção o equipamento tem probabilidade de 001 de apresentar defeito em um dia qualquer Desejase planejar o cronograma de manutenção preventiva e para tal decidiuse avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida No quadro 22 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é interrompida na primeira ocorrência de um defeito A partir da manuntenção o equipamento tem probabilidade de 001 de apresentar defeito em um dia qualquer Desejase planejar o cronograma de manutenção preventiva e para tal decidiuse avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida No quadro 22 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrio Se X Geop em que X contabiliza o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso então EX µX 1 p p VarX σ2X 1 p p2 No quadro 23 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrio Se X Geop em que X contabiliza o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso então EX µX 1 p p VarX σ2X 1 p p2 No quadro 23 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrio Para o modelo Geométrico se X contabiliza o número de ensaios necessários para a ocorrência do primeiro sucesso então a função de probabilidade apresentada anteriormente sofrerá uma leve alteração e esta será apresentada por PX x p1 px1 para x 1 2 E neste caso EX 1 p VarX 1 p p2 24 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Uma empresa precisa consultar informações públicas disponibilizadas em um site governamental que é protegido com um sistema de CAPTCHA Para isso ela programou um algoritmo baseado em OCR optical character recognition que resolve corretamente as CAPTCHAS com p 05 Calcule a Qual a probabilidade de quebrar a CAPTCHA na segunda tentativa b Se o site tiver uma regra de bloquear o acesso após 7 ou mais tentativas erradas para evitar ação de robô qual a chance dela ser bloqueada 25 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Propriedade de falta de memória da distribuição geométrica Se X é variável aleatória discreta com distribuição geométrica dada por px p1 px para x 0 1 2 então para todo j k1 2 temse PX j kX j PX k 2 A expressão em 2 reflete a propriedade de falta de memória ou desgate da distribuição geométrica 26 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Propriedade de falta de memória da distribuição geométrica Considere um objeto cujo tempo de vida é uma variável aleatória X com distribuição geométrica com parâmetro p Assuma que esse tempo de vida é medido em unidades discretas de tempo ou seja ao final do dia verificase se o aparelho continua a funcionar ou não A expressão em 2 nos diz que se o objeto funcionou até o instante j então a probabilidade de que ele funcione por mais k unidades de tempo é a mesma que a probabilidade de que um objeto novo funcione por k unidades de tempo 27 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos em determinada unidade de tempo volume comprimento área Exemplos a Número de consultas a uma base de dados em um minuto b Número de acidentes de trabalho por semana em uma fábrica c Número de pequenas manchas por m2 no esmaltado de uma geladeira d Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa a cada 10 min e Número de carros que chegam ao campus entre 700 e 800h f Número de microorganismos por cm3 de água contaminada 28 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Uma variável aleatória X segue o modelo de Poisson de parâmetro λ e denotaremos por X Pλ λ 0 se sua função de probabilidade for a seguinte PX x eλλx x x01 em que x é o número de eventos em unidades de medida e λ indica a taxa de ocorrência por unidade de medida 29 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 10 000 005 010 015 020 x fx 0 2 4 6 8 10 12 00 02 04 06 08 10 x FXx G G G G G G G G G G G G G G G G G GG GG Figura 5 função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo Pλ 4 30 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo O número de mensagens eletrônicas em centenas recebidas por um provedor em horário comercial foi modelado por uma variável Poisson com taxa de 15 centenas por dia As instalações disponíveis podem vender com o padrão de qualidade desejado até 2 mil mensagens diárias Você diria que tem havido muita reclamação pelo serviço do provedor 31 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo As chegadas a um posto de atendimento ocorrem de forma independente seguindo a distribuição de Poisson Suponha que a média de chegadas é 3 a cada 4 minutos Qual é a probabilidade de que este posto receba no máximo 2 solicitações em um intervalo de 2 minutos 32 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Do exemplo anterior constatamo que sendo X Pλ em que X contabiliza o número de ocorrências de um evento em um certo intervalo de tempo variandose o intervalo de interesse X continua sendo uma distribuição Poisson mas com parâmetro λ ajustado proporcionalmente Assim X Pλt 33 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Se X Pλ então EX µX λ VarX σ2X λ 34 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa 35 35