Lista de Exercicios Resolvidos Probabilidade e Estatistica - Unidade II

Universidade Federal do Piauı Centro de Ciˆencias da Natureza Curso de Matematica Prof Alan da Silva Assuncao Disciplina Probabilidade e Estatıstica Exercıcios UNIDADE II Exercıcio 1 Dado o conjunto A e B temos que A B 1 2 4 6 8 10 12 14 16 que A B 1 2 10 e que A B 6 8 16 Determine o conjunto B Exercıcio 2 Sejam A B e C subconjuntos quaisquer expresse em notacao matematica os conjuntos cujos elementos Exemplo A expressao matematica do conjunto A unido a B e A B x x A ou x B a Estao em A e B mas nao em C b Nao estao em nenhum deles c Estao no maximo em dois deles d Estao em A mas no maximo em um dos outros conjuntos e Estao na interseccao dos trˆes conjuntos e no complementar de A Exercıcio 3 Descreva um espaco amostral Ω adequado aos seguintes experimentos aleatorios Responda se Ω e finito infinito enumeravel ou infinito naoenumeravel e determine sua cardinalidade no caso finito a Escolhese ao acaso uma famılia com duas criancas de um municıpio e registrase os sexos do primeiro e do segundo filhos b No item a observase apenas o numero de meninas na famılia selecionada c No item a registrase apenas o peso em quilogramas com que cada uma das criancas nasceu d Vinte produtos eletrˆonicos sao sorteados de um lote e a quantidade de produtos com defeito e contada e Um dado e lancado 3 vezes e a sequˆencia de numeros obtida e contada f Registrase o total de pontos quando um dado e lancado 3 vezes Exercıcio 4 Uma moeda e lancada 3 vezes Descreva o espaco amostral Considere os eventos Ai cara no iesimo lancamento para i 1 2 3 Determine os seguintes eventos 1 a Ac 1 A2 b Ac 1 A2 c Ac 1 Ac 2c d A1 A2 A3 Exercıcio 5 Um numero e escolhido ao acaso entre os numeros inteiros de 1 a 20 Considere os eventos A o numero escolhido e multiplo de 3 B o numero escolhido e par Descreva os eventos A B A B A Bc Exercıcio 6 Suponha que o espaco amostral e o intervalo 0 1 dos reais Considere os eventos A x 14 x 58 e B x 12 x 78 Determine os eventos a Ac b A Bc c A Bc d Ac B Exercıcio 7 Escolhese ao acaso um numero entre 1 e 50 Se o numero e primo qual e a probabilidade de que seja ımpar Exercıcio 8 Da populacao de uma cidade 28 fumam cigarro 7 fumam charuto e 5 ambos Calcule a porcentagem da populacao a que nao fuma nem cigarro nem charuto b que fuma charuto mas nao cigarro Exercıcio 9 Em uma escola 60 dos estudantes nao usam anel nem colar 20 usam anela e 30 usam colar Se um aluno e escolhido aleatoriamente qual a probabilidade de que ele esteja usando a pelo menos uma das joias b ambas as joias c um anel mas nao um colar Exercıcio 10 Um comitˆe e formado por quatro homens e duas mulheres Dois membros do comitˆe sao selecionados sucessivamente ao acaso e sem reposicao Calcule a probabilidade de cada um dos resultados HH HM MH e MM 2 Exercıcio 11 Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeicoes salada completa e um prato a base de carne 20 dos frequeses do sexo masculino preferem salada e 30 das mulheres preferem carne 75 dos fregueses sao homens Considere os seguintes eventos H o freguˆes e homem M o freguˆes e mulher A o freguˆes prefere salada B o freguˆes prefere carne mulher Calcule a PH PAH e PBH b PA H PA H c PMA Exercıcio 12 Uma moeda e lancada ate se obter a primeira cara Determine a a probabilidade de que isso ocorra em um lancamento de numero par b a probabilidade de que isso ocorra em um lancamento de numero ımpar Exercıcio 13 Em um curso secundario 13 dos estudantes sao do sexo masculino e 23 dos estudantes sao do sexo feminino A proporcao de rapazes que estudam ciˆencias e 20 e apenas 10 das mocas dedicamse as ciˆencias Obtenha as probabilidades de que a um estudante escolhido ao acaso estude ciˆencias b um estudante de ciˆencias selecionado ao acaso seja do sexo feminino Exercıcio 14 Uma fabrica de sorvetes recebe o leite que utiliza de trˆes fazendas 20 da fazenda 1 30 da fazenda 2 e 50 da fazenda 3 Um orgao de fiscalizacao inspecionou as fazendas e constatou que 20 do leite produzido na fazenda 1 estava adulterado por adicao de agua enquanto que para as fazendas 2 e 3 essa proporcao era de 5 e 2 respectivamente A fabrica de sorvetes recebe o leite em galoes que sao armazenados em um refrigerador sem identificacao da fazenda de proveniˆencia Um galao e escolhido ao acaso e seu conteudo e testado para verificar adulteracao a Qual a probabilidade de que o galao contenha leite adulterado b Sabendo que o teste constatou que o leite do gado esta adulterado obtenha a probabilidade de que o galao seja proveniente da fazenda 1 Exercıcio 15 Todo domingo um pescador vai a um de trˆes lugares pertos de sua casa ao mar com probabilidade 12 a um rio com probabilidade 14 ou a um lago com probabilidade 14 No mar ele consegue fisgar um peixe com probabilidade 80 no rio e no lago essa probabilidade vale de 40 e 60 respectivamente Se em um domingo o pescador volta para casa sem peixe algum para onde e mais provavel que ele tenha ido 3 Exercıcio 16 Lancase um dado duas vezes Considere os eventos A Obtemse 2 ou 5 no primeiro lancamento B A soma das faces obtidas nos dois lancamentos e pelo menos 7 Sao A e B independentes Exercıcio 17 Um experimento consiste em lancar uma moeda honesta duas vezes Considere os eventos A O primeiro lancamento resulta em cara B O segundo lancamento resulta em cara C O resultado do primeiro lancamento coincide com o resultado do segundo lancamento Prove que A B e C sao independentes dois a dois mas nao sao independentes Variaveis aleatorias Exercıcio 18 Seja X uma variavela aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada por px cx x 1 2 3 4 5 6 Encontre a o valor de c b a probabilidade de X ser um numero ımpar c Calcule EX e V arX Exercıcio 19 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de de distribuicao dada por Fx 0 se x 0 12 se 0 x 1 35 se 1 x 2 45 se 2 x 3 910 se 3 x 4 1 se x 4 Encontre a determine a funcao de probabilidade de X b determine a EX e V arX 4 d fx 31 x2 se 0 x 1 0 caso contrário e fx 4xe2x x 0 f fx sen x 0 x π2 Exercício 24 Seja X uma variável aleatória contínua com densidade dada por fx cx3 x 1 Obtenha a o valor de c b a probabilidade de X ser maior que 2 c a função de distribuição de X Exercício 25 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição dada por Fx 0 se x 0 log x se 1 x e 1 se x e a Prove que de fato F é uma função de distribuição b Explique por que X é contínua e obtenha a densidade de X Exercício 26 Numa população o nível sérico de colesterol em adultos medidos em mgdl é uma variável aleatória com distribuição normal com parâmetros μ 225 e σ 75 Calcule a a proporção de pessoas com nível de colesterol entre 200 e 350 b o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10 da população que tem os níveis mais elevados Exercício 27 Seja X N5 16 6 a PX 13 b PX 1 c P4 X 9 d o valor de a tal que PX a004 e o valor de b tal que PX b001 f o intervalo que contem 95 dos valores centrais de X Exercıcio 28 Considere uma variavel aleatoria discreta T cuja distribuicao de probabilidade e apresentada a seguir Valores de T 2 3 4 5 6 7 Probabilidades 110 110 410 210 110 110 a PT 6 b PT 4 2 c PT ser um numero primo Exercıcio 29 Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao de probabilidade dada por PX x c2x para x N 0 1 2 3 conjunto dos numeros naturais incluındo o zero e zero no complementar Determine a O valor da constante c b PX 2 c PX 5 d PX ser ımpar Exercıcio 30 Suponha que uma variavel aleatoria discreta X tenha a seguinte distribuicao de probabilidade PX x cx para x 0 1 2 3 N e zero no complementar Determine a O valor da constante c quando N 4 b O valor de c para um N qualquer c PX a a N d PX ser par Exercıcio 31 Seja X uma variavel aleatoria contınua com densidade dada por fx cx2 1 x 1 e fx 0 caso contrario Obtenha 7 a o valor de c b calcule PX 12 c ache o valor de α tal que FXα PX α 14 Exercıcio 32 Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao triangular no intervalo 0 1 se sua densidade e dada por fx cx se 0 x 12 c1 xx se 12 x 1 0 caso contrario Determine a o valor de c b Esboce o grafico de fx c Calcule PX 810 e P14 X 34 Exercıcio 33 Um computador foi usado para gerar sete numeros aleatorios no intervalo 0 1 calcule a probabilidade de que a exatamente trˆes numeros estejam entre 12 e 1 b menos do que trˆes sejam maiores que 34 Exercıcio 34 Em 1693 Samuel Pepys escreveu uma carta para Isaac Newton propondolhe um problema de probabilidade relacionado a uma aposta que planejava fazer Pepys perguntou o que e mais provavel obter pelo menos um 6 quando 6 dados sao lancados obter pelo menos dois 6 quando 12 dados sao lancados ou obter pelo menos trˆes 6 quando 18 dados sao lancados Newton escreveu trˆes cartas a Pepys e finalmente o convenceu de que o primeiro evento e mais provavel Calcule as trˆes probabilidades Exercıcio 35 Em uma pizzaria com entrega em domicılio 30 dos pedidos por telefone sao de mais de uma pizza Certo dia o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza Seja X o numero de pedidos ate o ganhador do brinde a Qual a distribuicao de X b Determine o menor numero de pedidos necessarios para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 09 c Calcule EX e V arX Exercıcio 36 Se X e uniformemente distribuıda no intervalo 0 1 calcule a probabilidade de 8 a X 3 b X 12 c 4 X 11 d X 3 4 Exercıcio 37 Se X e uma variavel aleatoria Normal com parˆametros µ 3 e σ2 9 determine a P2 X 5 b PX 0 c PX 3 6 Exercıcio 38 Se X e uma variavel aleatoria uniformemente distribuıda no intervalo 3 7 calcule a A funcao de distribuicao acumulada de X b PX 1 2 c PX 3 Exercıcio 39 ˆonibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manha isto e os ˆonibus chegam ao ponto as 7h00 7h15 7h30 7h45 e assim por diante Se o instante de chegada de um passageiro ao ponto e uniformemente distribuıdo entre 7h00 e 7h30 determine a probabilidade a De que ele espere menos que 5 minutos ate a chegada de um ˆonibus b De que ele espere mais de 10 minutos ate a chegada de um ˆonibus Exercıcio 40 Suponha que a duracao de uma ligacao telefˆonica em uma cabine publica em minutos e uma variavel aleatoria exponencial com parˆametro λ 1 10 Se uma pessoa chega imediatamente a sua frente na cabine publia determine a probabilidade de que vocˆe tera de esperar a mais que 10 minutos b entre 10 e 20 minutos Exercıcio 41 Setenta por cento da populacao de uma cidade tˆem computador em casa Se um pesquisador procura por munıcipes ao acaso na rua ate encontrar uma pessoa que tenha computador em casa qual a probabilidade de que ele precise a de exatamente quatro tentativas b de pelo menos quatro tentativas 9 Exercıcio 42 Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em 40 das visitar que faz Ele planeja efetuar no mınimo duas vendas por dia Seja X o numero de visitas feitas ate que a segunda venda seja efetivada a Qual a distribuicao de X b Calcule a probabilidade de que o vendedor faca no maximo seis visitas para concluir as duas vendas Exercıcio 43 O numero de erros tipograficos numa pagina de determinado livro e uma variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parˆametro 12 Encontre a probabilidade de que haja trˆes ou mais erros tipograficos nesta pagina Calcule esta probabilidade dado que ha pelo menos um erro nesta pagina Exercıcio 44 Um contador Geiger registra o numero de partıculas emitidas por um material radioativo Suponha que o numero de partıculas que o material emite por segundo e uma variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parˆametro 3 Obtenha a probabilidade de que em um segundo sejam registradas a no maximo duas partıculas b no mınimo duas partıculas Exercıcio 45 O numero X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fabrica por semana segue uma distribuicao de Poisson Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente e um terco da porcentagem de semanas em que nao acontece nenhum calcule a o parˆametro da distribuicao b a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e tambem um na semana seguinte A partir de uma data a direcao da fabrica vai registrar o numero Y de semanas decorridas ate uma semana com ao menos um acidente a Qual a distribuicao de Y b Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem Exercıcio 46 A liga de futebol de um paıs tem quatro times time 1 time 2 e time 3 Um time estrangeiro em excursao pelo paıs vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1 2 e 3 Suponha que consta o time 1 este time tem probabilidade 14 de conquistar a vitoria enquanto essa probabilidade vale 12 quando o adversario e o time 2 e vale 25 quando o adversario e o time 3 Assuma tambem que os resultados dos trˆes amistosos sao independentes Seja X o numero de vitorias conquistadas pelo time estrangeiro nos trˆes amistosos a Obtenha a funcao de probabilidade de X 10 b Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitoria Exercıcio 47 Um revendedor de componentes eletricos os compra em lotes de 10 pecas Seu controle de qualidade consiste em inspecionar 3 componentes selecionados aleatoriamente de um lote e aceitar o lote somente se os trˆes componentes nao sao defeituosos Sabese que 30 dos lotes tˆem 4 componentes defeituosos e 70 tˆem apenas 1 componente defeituoso Dos trˆes componentes selecionados de um lote seja X o numero de componentes defeituosos a Obtenha a funcao de probabilidade de X b Qual a probabilidade de que um lote seja aceito Exercıcio 48 Em uma fabrica de refrigerante uma maquina e usada para encher garrafas de 600 ml O conteudo lıquido em ml por garrafa varia segundo a distribuicao normal com parˆametros µ 600 e σ 4 Calcule a a porcentagem de garrafas produzidas com conteudo inferior a 592 ml ou superior a 612 ml b o valor do conteudo excedido por 96 das garrafas fabricadas Exercıcio 49 O peso em gramas dos recemnascidos em uma maternidade tem distribuicao normal com parˆametro µ 3000 Sabese que 98 dos bebˆes nascem com um peso compreendido entre 25 e 35 quilos Determine a o parˆametro σ b o peso abaixo do qual nascem 04 dos bebˆes dessa maternidade Exercıcio 50 Uma fabrica utiliza dois metodos para a producao de lˆampadas 70 delas sao pro duzidas pelo metodo A e o resto pelo metodo B A duracao em horas das lˆampadas tem distribuicao exponencial com parˆametro 180 ou 1100 conforme se utilize o metodo A ou o B Em um grupo de 10 lˆampadas selecionadas ao acaso qual a probabilidade de que 6 delas durem pelo menos 90 horas Exercıcio 51 O tempo de vida util em anos de um eletrodomestico e uma variavel aleatoria com densidade dada por fx xex2 4 x 0 a Mostre que de fato f e uma densidade b Se o fabricante da um tempo de garantia de seis meses para o produto qual a proporcao de aparelhos que devem usar essa garantia Exercıcio 52 O diˆametro em centımetros das bolinhas de gude em um lote tem distribuicao normal com parˆametro µ 1 Um terco das bolinhas tem diˆametro maior que 11 cm Obtenha 11 a o parˆametro σ b a proporcao de bolinhas cujo diˆametro esta entre 08 e 12 cm c o valor do diˆametro superado por 80 das bolinhas do lote Bom Trabalho 12 Exercício 20 Quinze pessoas portadoras de determinada doença são selecionadas para se submeter a um tratamento Sabese que este tratamento é eficaz na cura da doença em 80 dos casos Suponha que os indivíduos submetidos ao tratamento curamse ou não independentemente uns dos outros e considere X o número de curados dentre os 15 pacientes submetidos ao tratamento a Qual a distribuição de X b Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados c Qual a probabilidade de que pelo menos dois não sejam curados Exercício 21 Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis das quais uma é correta para cada uma de 10 questões a Qual a distribuição do número de respostas certas b Qual a probabilidade de que o estudante obtenha 9 ou mais respostas certas c Qual a probabilidade de que ele acerte pelo menos duas questões Exercício 22 Em uma pizzaria com entrega em domicílio 30 dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza Certo dia o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza Seja X o número de pedidos recebidos até o ganhador do brinde a Qual a distribuição de X b Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 09 Exercício 23 Verifique que as seguintes funções são densidades a fx 18 se 0 x 2 34 se 4 x 5 0 caso contrário b fx 1 1 x se 0 x 2 0 caso contrário c fx 23 se 1 x 0 2x 13 se 0 x 1 0 caso contrário 5 d fx 31 x2 se 0 x 1 0 caso contrário e fx 4xe2x x 0 f fx sen x 0 x π2 Exercício 24 Seja X uma variável aleatória contínua com densidade dada por fx cx3 x 1 Obtenha a o valor de c b a probabilidade de X ser maior que 2 c a função de distribuição de X Exercício 25 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição dada por Fx 0 se x 0 log x se 1 x e 1 se x e a Prove que de fato F é uma função de distribuição b Explique por que X é contínua e obtenha a densidade de X Exercício 26 Numa população o nível sérico de colesterol em adultos medidos em mgdl é uma variável aleatória com distribuição normal com parâmetros μ 225 e σ 75 Calcule a a proporção de pessoas com nível de colesterol entre 200 e 350 b o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10 da população que tem os níveis mais elevados Exercício 27 Seja X N5 16