Prova de Probabilidade e Estatística - Estimação de Máxima Verossimilhança e Método dos Momentos

Universidade Federal do Piauı Centro de Ciˆencias da Natureza Curso de Matematica Prof Alan da Silva Assuncao Disciplina Probabilidade e Estatıstica Prova IV 21082023 Exercıcio 1 Seja X1 Xn uma aas de X Pλ em que λ 0 Obtenha a o estimador de maxima verossimilhanca para λ b o estimador pelo metodo dos momentos para λ Exercıcio 2 Seja X1 Xn uma aas de X Geop em que X contabiliza o numero de ensaios necessarios ate a ocorrˆencia do primeiro sucesso Encontre a o estimador de maxima verossimilhanca para p b o estimador pelo metodo dos momentos para p Exercıcio 3 Seja X1 Xn uma aas de X com funcao de densidade de probabilidade fxθ θ x2 x θ θ 0 Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para θ e de Eθ1X Exercıcio 4 Seja X1 Xn uma aas de tamanho n da variavel aleatoria X com funcao de densidade de probabilidade fxθ θxθ1 0 x 1 θ 0 a Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para θ b Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para gθ θ1 θ OBSERVAC OES A avaliacao vale 10 pontos Criterios para avaliacao i as respostas devem estar bem redigidas e organizadas ii cada passo das quetoes deve estar bem justificado A entrega da avaliacao deve ser feita pelo SIGAA ate quarta feira dia 25082023 as 2359 o arquivo deve estar em PDF 1 OBS nao enviem o arquivo em outro formato email para duvidas saalan507gmailcom 2 Exercício 2 X Geop a temos a fdp do Geo como fxi p p1px1 x1234 Lp p1px1 pm 1pxm ln lnLp mlnp xm lnl1p derivar em p ddp lnLp m ddp lnp xm ddp ln1p ddp lnLp mp xm 11p maximizor mp xm1p 0 mp xm1p mmp px mp p mx b Seguindo a mesma linha de raciocínio anterior temos Ex 1p X xN Logo p 1X Nx Exercício 3 Temos fxθ θx² x0 θ0 Lθ θx² θm x²m ln lnLθ m lnθ 2m lnx Podemos ver que pelo método log não achamos estimador porém como a função é crescente temos que o EMV deve ser um θxi que maximize θx² logo a estimativo será o menor valor de x logo minx₁ xₙ θ θ X1 Exercício 1 X Pλ λ 0 a temos a fdp da Poisson como fxiλ eλ λxx Como são indep verossimilhança Lλ eλ λxx emλ λxx₁x₂xₙ Agora fazendo ln em ambos os lados ln Lλ mλ xi lnλ lnx₁x₂xₙ Agora vamos derivar em relação a λ ddλ lnLλ m ddλ λ xi ddλ lnλ ddλ lnx₁x₂xₙ ddλ lnLλ m xi 1λ Agora vamos igualar a 0 para maximizor m xiλ 0 λ xim EMV x b sabemos que o momento populacional da Poisson é λk EXk Logo o 1º momento pop é λ EX¹ Também o 1º momento amostral é m₁ x Portanto λ m₁ x Exercício 4 fxθ θ xθ1 0 x 1 θ 0 a Lθ θ xiθ1 θm xiθ1 derivar ddθ log L ddθ m log θ θ1 log xi mθ log xi igualar a 0 θ 1m i log xi1 b Como já sabemos o estimador temos gθ m lnxi 1 m lnxi mm lnxi EMV de gθ