Prova de Probabilidade e Estatística - Amostragem, Distribuições e Tamanho da Amostra

Universidade Federal do Piauı Centro de Ciˆencias da Natureza Curso de Matematica Prof Alan da Silva Assuncao Disciplina Probabilidade e Estatıstica Prova III 14082023 Exercıcio 1 Suponha uma populacao com N elementos Vimos que se extrairmos uma amostra de tamanho n com reposicao e calcularmos a media amostral X entao E X µ e V ar X σ2n onde µ e σ2 sao a media e a variˆancia da populacao respectivamente No entanto se a amostragem for feita sem reposicao entao E X µ continua a valer mas V ar X σ2 n N n N 1 O fator N nN 1 e chamado fator de correcao para populacoes finitas Note que se n for muito menor que N entao esse fator e aproximadamente igual a um e amostras com ou sem reposicao sao praticamente equivalentes Considere agora uma populacao P 1 3 5 5 7 logo N 5 Retire amostras de tamanho n 2 sem reposicao e construa a distribuicao amostral de X X1 X22 Obtenha E X e V ar X e verifique que esta e dada pela formula acima Exercıcio 2 A distribuicao do numero de filhos por famılia de uma zona rural esta no quadro abaixo Numero de filhos Porcentagem 0 10 1 20 2 30 3 25 4 15 Total 100 a Calcule a media e a variˆancia de X b Construa a distribuicao amostral de X X1 X22 Exercıcio 3 Suponha que uma industria farmacˆeutica deseja saber a quantos voluntarios se deva aplicar uma vacina de modo que a proporcao de indivıduos imunizados na amostra difira de menos de 2 da proporcao verdadeira de imunizados Assuma que a industria possui a informacao de que a proporcao de imunizados pela vacina seja p 0 8 Qual o tamanho da amostra que deve ser escolhido E se o erro fosse para menos de 1 qual seria o novo tamanho de amostra aumentaria o tamanho ou diminuiria o tamanho da amostra 1 Exercıcio 4 Seja X N900 642 Retiramos uma amostra de tamanho 30 Determinar a P X 894 b P896 X 903 c P X 3σx µ X 3σx Exercıcio 5 Os comprimentos de pecas produzidas por determinada maquina tˆem distribuicao normal com uma media de 172mm e desvio padrao de 5mm Calcule a probabilidade de uma amostra aleatoria simples de 16 pecas ter comprimento medio a entre 169mm e 175 mm b maior que 178 mm c menor que 165 mm Exercıcio 6 A maquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuicao normal com media µ e desviopadrao de 10g a Em quanto deve ser regulado o peso medio µ para que apenas 10 dos pacotes tenham menos do que 500g b Com a maquina assim regulada qual a probabilidade de que o peso medio de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 500g Exercıcio 7No exercıcio anterior depois de regulada a maquina preparase uma carta de controle de qualidade Uma amostra de 4 pacotes sera sorteada a cada hora Se a media da amostra for inferior a 497g ou superior a 520g a producao deve ser interrompida para ajuste da maquina isto e ajuste do peso medio a Qual e a probabilidade de uma parada desnecessaria b Se a maquina se desregulou para µ 500g qual a probabilidade de continuarse a producao fora dos padroes desejados OBSERVAC OES A avaliacao vale 10 pontos A avaliacao e individual Criterios para avaliacao i as respostas devem estar bem redigidas e organizadas ii cada passo das quetoes deve estar bem justificado A entrega da avaliacao deve ser feita pelo SIGAA ate quarta feira dia 20082023 as 2359 o arquivo deve estar em PDF 2 OBS nao enviem o arquivo em outro formato email para duvidas saalan507gmailcom Bom Trabalho 3 2 Nº Filhos por familia X 0 10 5 20 2 30 3 25 4 15 10 20 30 25 15 a X 0 20 60 75 60 100 215 100 215 Filhos média familia 62 215 02 10 215 42 20 215 22 30 215 32 25 215 42 15 100 62 46225 2645 0675 280625 513375 54275 100 54275 62 variância 54275 dp 62 539478 54275