Álgebra Linear 2 - P2 2008 2

2ª Avaliação de Álgebra Linear II – 2008/2 1ª Questão) Para o operador linear dado pela matriz a seguir, faça: a) Calcule os seus autovalores e as bases dos respectivos autoespaços; b) Discuta se o operador é diagonalizável; c) Discuta, geometricamente, o efeito do operador sobre os vetores do R3; Prova A Matriz do operador linear -1/3 2√2/3 0 2√2/3 1/3 0 0 0 -1 Prova B -1 0 0 0 -1/2 √3/2 0 √3/2 1/2 2ª Questão) Para o espaço gerado F abaixo, calcule: a) A base e a dimensão do complemento ortogonal de F; b) A projeção ortogonal do vetor (1,1,1,1,1) no subespaço F. Espaço Gerado F Prova A F = [(2,1,0,0,0), (0,0,2,0,1), (7,3,-2,-1,1)] Prova B F = [(1,0,3,0,-2), (0,1,-4,0,1), (2,2,-2,-1,-2)] 3ª Questão) Para o sistema dado a seguir, calcule a solução geral e a particular para o problema de valor inicial dado. Prova A y’ = 3y + g y(0) = 16 g’ = -7g - 5g g(0) = -8 Prova B y’ = 2y + g y(0) = 14 g’ = -6y - 3g g(0) = -7 4ª Questão) Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: COL Afirmacão Prova A a) O determinante, em módulo, de uma matriz é igual ao produto dos pivôs de eliminação do seu escalonamento; b) Todo conjunto ortogonal de vetores é LI; c) Os autovalores de uma matriz simétrica de ordem 2 são sempre reais. Prova B a) O determinante de matrizes singulares é igual a zero; b) A matriz de projeção de um espaço V em um subespaço W seu é dada por P = UU’ onde as colunas de U formam uma base ortogonal para W; c) Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos de sua diagonal principal. Prova de Álgebra Linear II (2008/2) Questão 1 Prova A a) [-1/3 2√2/3 0] [2√2/3 1/3 0] [0 0 -1] [-1/3-λ 2√2/3 0] [2√2/3 1/3-λ 0] [0 0 -1-λ] Fazendo o determinante da matriz em bloco temos: Det = [(-1) λ] ([1/3-λ) (-1-λ) - (2√2/3)] = [1/3+ λ] [-1-λ] - 2√2/3 λ = (λ² - 1) [1-λ] = 0 => λ1 = 1, λ2 = -1, e λ3 = 1 Calculando os autovetores: para λ = 1, [-1/3 2√2/3 0] [2√2/3 1/3 0] [0 0 2] [v1] [v2] = |v| [v3] para λ = -1, [2√2/3 2√2/3 0] [2√2/3 1/3 0] [0 0 -2] [v3] -1/2 [v3] = |1| b) [1 2√2/3 0] [1 2√2/3 0] 0 0 -1 Como a matriz é simétrica (A = A^T), pelo Espectral a matriz é diagonalizável c) Como os autovalores da matriz são λ1=1, λ2=-1, geometramente o operador representa uma reflexão ortogonal. Prova B a) [0 -1 0] [-1/2 √3/2 0] [√3/2 0 0] [-λ Δ Δ] [-1/2-λ √3/2 0] [0 √3/2 λ] [-λ Δ] [√3/2 λ] [√3/2 λ] Fazendo o determinante da matriz em bloco um: = -[1-λ] λ (√3/2) - 1 = [1-λ] √3/2 -√3/2/ 2/Δ λ = 0 => λ1 = 1, λ2 = -1, λ3 = λ Calculando os autovetores: para λ = 1 [-λ Δ] [0] [-λ Δ] [-λ Δ] [1] para λ = -1, [0 0 0] [-λ 0] Como a matriz é simétrica (A=A^T), pelo teorema Espectral o operador é diagonalizável. Como os autovalores da matriz não são λ = 1 e λ = -1, graficamente, o operador representa uma reflexão ortogonal. Questão 3: Prova A y' = 3y + g y(0) = 16 \ Y = (9) y' = -7y - 5gy cy(0) = -8 - . . . (-1) ...... (-1) [7 -5] = (3-λ)(-5-λ) + c =7 -15 . . . -2 ...... 7 = 0 => λ^² - 2λ - 8 = 0 =>/7/ λ^² - ... - 7λ(-λ). = 0 = > λ = -1 , λ = -2 . . . (7 1) => v1 = (.. ) (1 1) => v2 = (..) -7 -1 7 -7 7 -1 - . . -. . -. . . . . + c1\[7] + c2 \[1] => Y = c1e^ .......... ... ... . . . . . . ... g/ g/ = 9..... e.... c / c . . . ... . . . . . . . . . . . a solução particular para o L . . 16 = c.... + c 16 = c 4 c 2 ... =7..... c1. . . . . . . . Prova B: y' = 8 j(0) = 14 c \ Y = (8 4) g = 6, y(0) = 7 -calculado o serviço geral tem-se (2 1) .(2..λ) . 1 . . . = (2-L)(3-λ) -6 = 0 ( . ) 6 -3λ =6 -2λ ..... λ = 6 . . 0 => λ² .... = -12 => 0= (λ+9 )(λ-3) =0 => λ=-4 , c λ=3 Com micos tem-se (2 1) => v1 = [..] [ .. 1 => v2 = [ ..] 6 1) 6 6 6 Portanto, tem-se Y = c1 e^ t . [a ] . . + c2 e3t (1 ) => y = c...... -mt i...............7ad g/ -....+- ... ...... O jo da solução por termos da problemada ainda racional dado tem-se 14 = c7 + c0 14 = c++c => c .+ 3, c2 =.11. -7 = 6c1cO -21 = 7c0 -........ jestando y = 3e^-4f +... .± e cf - 18c--4112...... Questão 4 Prova A a) Como c....... da... as.. pe... ........ ..... ne... igual em micros e determinate f det(H) = c, i.g.i(( ... . ..c.. . . i...)) incluindo a uma instenda, f, a escola supõe-se, bota..ma..o..... em a determinante uma métrica triangular e iguali-de..det a 1. diagonal põe cabê. . . C) seja A = ( a b) ... matriz entranca .... A ( c c) para det(1+ND=0. . ||(oe) b ... |c eA | = (a-λ)((e-λ) - (bc) => /λ^2-(a+c)λ+ac-bc p `` se..... as.. pe........u........ ------ . amente Δ = (ae-λ^2)^2 (1ac)- bc ) = e a2.ac-4 +2 x ... aac = o [. [] [- =(c-2) . 4]2 - ..coo e determinante a equest a uma soma metrica . que coda, parece que. .> 0. b) b se_a poíu c_pem um... umpo incompo.... te ae matr y moliden o. de eciini o poe ma 3 com os peiabor...รอิต -lo po a ..... ....adeaa .reduco. Prova B: a) joga...... se... mat he come........caœe fu. emo . .por......eir....ment. a determmrianc do dei(Η+Mb)c . . . set emminar. com a....fermante por cont. . . . . com a." nou......ise. det..(H..-M) . . . . -lod se.o.o. se.a.estimaode ..eiamento."o.o.al fe...ente em m au...são od......... inclui se ".de ( )"o. val principal logra a .ζt imagore såridain" Para uma matriz A nossa de triangular superior suponho a(i,j) = 0 sempre que i > j: ou tenha apenas os valores acima ou nas posiçao é diagonal principal da matriz A. t = a(11) . a(22) . ... . a(nn) suponha que i ≠ j e a(i,j) ≠ 0. o oposto anti hipo A e que i > j. logo t = 0. portanto t = 0 para cada i,j > 1. Suponha agora: i ≠ L e j ≠ 2. logo i >= 2 aja como a(1,2) = 0, portanto t = 0 para cada i ≠ 1 ou i ≥ 2 em none circunstancia t = 0 para cada i ≠ m. portanto det(A) = a(11) . ... . a(nn) que eo prod.l.o. dos termos da linha diagonal principal. Portanto a afirmação é verdadeira. b) R(suposta foi considerando os oming(orind) som diag ñ = 0, som conjunto >ctr adiagonais ou seja a(ij) ≠ 0, i ≠ j. se = 0 ∀ i ≠ j Considero ou o cde[i]][>c] escrever bem claros es. temos: <o1<ol>(e)(s)ctac>de <ouao)x,ro <(s),(m)> = o2<s - r <(i) <(e),(s)ctaf,<s),c,de, logo a linha o = o vange lhado papel o IS isto...</s in> o(ou ou ee(>es) (Com o eba e acauxta eor <isii, i <o esel)< O para que <u, p. da <(e, o(s) i(o, e) ... o Portanto alores na limiarmente benie adpe a a afirmação é verdadeira.