P1 Álgebra Linear 1

Universidade Federal do Rio de Janeiro\nInstituto de Matemática\nMAC - 106 Álgebra Linear I (Vetores no R² e no R³)\nProva 1\n\n1) Dados \\( \\vec{u} = (2,-2,2) \\) e \\( \\vec{v} = (4,-6,8) \\), calcular:\n\na) \\( \\vec{u} \\times \\vec{v} \\);\nb) a Área do paralelogramo determinado por \\( \\vec{u} \\times \\vec{v} \\);\nc) a altura do paralelogramo relativa a base definida por \\( \\vec{u} \\);\n\n2) Calcular o valor de \\( m \\) para que a Área do paralelogramo determinado por \\( \\vec{u} = (2,-6,2) \\) e \\( \\vec{v} = (2,-4,4) \\) seja igual a \\( 4 \\sqrt{26}. \\)\n\n3) Calcular o volume do cubo determinado pelos vetores \\( \\vec{i}, \\vec{j} \\) e \\( \\vec{k}. \\)\n\n4) Calcular as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos \\( A(2,-3,4) \\) e \\( B(2,-1,2). \\) Verifique se o ponto \\( C(2,-1,2) \\) pertence a reta.\n\n5) Determinar as equações reduzidas da reta que passa por \\( A(1,3,5) \\) e intersecta o eixo dos \\( z \\) perpendicularmente.\n\n6) Prove:\n\na) \\( \\vec{u} \\cdot \\vec{u} = ||\\vec{u}||^2; \\)\nb) \\( ||\\vec{u} + \\vec{v}||^2 = ||\\vec{u}||^2 + ||\\vec{v}||^2 + 2\\vec{u} \\cdot \\vec{v}; \\)\nc) \\( ||\\vec{u} - \\vec{v}||^2 = ||\\vec{u}||^2 + ||\\vec{v}||^2 - 2\\vec{u} \\cdot \\vec{v}; \\)\nd) Se \\( \\vec{u} \\) e \\( \\vec{v} \\) são ortogonais então \\( ||\\vec{u} + \\vec{v}||^2 = ||\\vec{u}||^2 + ||\\vec{v}||^2 \\)\ne) Se \\( \\vec{u}, \\vec{v} \\) e \\( \\vec{w} \\) são ortogonais então \\( ||\\vec{u} + \\vec{v} + \\vec{w}||^2 = ||\\vec{u}||^2 + ||\\vec{v}||^2 + ||\\vec{w}||^2 \\)