Álgebra Linear 2 - P2 modelos a e B

UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro\nDMA - Departamento de Matemática Aplicada\n\n2ª Avaliação de Álgebra Linear II - 2010/2\n\n1ª Questão) Para o conjunto F descrito a seguir faça:\na) Calcule uma base e a dimensão de F = P^⊥.\nb) Calcule a projeção ortogonal de v = (1, -1, 1, -1) em F⊥, usando esse resultado, a projeção ortogonal de v em F;\n\nF = {(a,b,c,d) ∈ R^4 | c = b - 4d}\nF = {(a,b,c,d) ∈ R^4 | a = 2c + b} \n\n2ª Questão) Para o operador linear dado pela matriz a seguir, faça:\na) Calcule os seus autovalores e as bases dos respectivos autoespaços;\nb) Justifique se o operador é diagonalizável;\nc) Discuta o efeito do operador sobre os vetores do R^4;\n\nProva A\nA = | 1 -3 0 0 |\n | 2 0 0 0 |\n | 0 0 -2 -8 |\n\n3ª Questão) Classifique e faça um esboço da cônica dada pela equação cartesiana a seguir:\n\nEquação Cartesiana da Cônica\n\n2x² + 2/6xy + y² + 4 = 0\n\nProva B\n3x² - 4√(xy) + 5y² + 9 = 0\n\n4ª Questão) Justifique se as seguintes propostas são verdadeiras ou falsas :\na) Não existe vetor que seja ortogonal a ele mesmo no espaço vetorial das matrizes reais e simétricas;\nb) Os autovalores de matriz A triangular são os elementos da sua diagonal principal;\nc) O Núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz real A m x n é igual ao complemento ortogonal do espaço linha da matriz. Prova B:\n a) E = 7 2 0 0 0 \n A = 2 4 0 0 0\n 0 0 1 -4 0\n 0 0 -2 8 0\n \n Calculo o determinante da matriz: \n det(A-?I)=2 0 -3 = 0\n \n Caracterizando os autovalores ??? + 1 ?\n ?\n \n para ? = 10\n 9 -3 0 0 0\n 0 -1 1 0 0 0\n 0 0 1 1 0 0 0\n \n para ? = 3\n \n -4 -3 0 1 0\n -3 -12 0 0 0 \n 0 0 -2 1 0\n 0 0 -2 1 0\n Questão 2:\n Prova A:\n a)\n 7 1 0 0 0\n 2 4 0 0 0\n 0 -1 -4 0\n 0 0 -2 -8 0\n \n Puxando o determinante da matriz e calculando tenho que:\n (3-?)(4-?)-9[(1-?)(2-?) - (8-?)(-?)] = 0\n \n =>[?(?^2-5?^4-4-9x8)=0] =? = 5,?1=?(0),?2=9\n \n Calculando os autovalores temos:\n para -5\n -4 2 0 0 10\n 0 2 0 0 6\n 0 0 -6 -9 1\n para ? = -9\n 10 2 0 0 | 0\n 2 12 0 0 | 0\n 0 0 8-4 0 | 1\n 0 0 -2 1 0 | 0\n Prova B:\n a) F = {(a,b,c,d) | e R^4 | a = 2c,b}\n Com isso segue que cada vetor de F é da forma:\n c(2,b,b,c,d) = b(1,1,0,0) + c(2,0,1,1)d(0,0,1,1)\n \n Portando (1,1,0,0),(2,0,1,0),(0,0,1,1) formam uma base de F logo F possui dimensão igual a 3.\n Calculando a base F + 3.\n \n ( 1 0 0 0 )\n ( 0 2 0 0 ) = 7\n ( 0 0 1 0 )\n permi dimensão igual a 1.\n \n b) F+ = (1,-1,-2,0)\n proj(V,F) = (1,-1,0,-1)\n proj(V,F) = (1,-1,2,0) \n 1+1+4 = 0 (1-1-2)^2 = 0\n 6\n Unindo que proj(V,F) - proj(V,f) 1. +\n \n P.proj(V,F)\n ( 1 0 )\n ( 0 -1 ) = -1\n Quest\u00e3o 3:\nProva A:\n2x^2+2\sqrt{6}xy+y^2+4=0 \u21d2 (x y)\n(2 \sqrt{6})\n[x^2]\n2\n0\nCalculando os autovalores dessa matriz temos:\n-2-\lambda=0 \u21d2 (2-\lambda)(1-\lambda)^2-6=0 \u21d2 \lambda^2-3\lambda-4=0\nCalculando agora os autovetores temos:\npara \u03bb=4:\n(-2 \sqrt{6} 0)\n\sqrt{6}/2\n(-\sqrt{6} -4 0)\n1\npara \u03bb=-1:\n(3 \sqrt{6} 0)\nV_2=-1\n(\surd{6}/2)\n0\n(-\sqrt{6} 1)\nEscolhe o matriz em forma diagonal.\n(x y)\n(4 0)\n(x y)\n-4x^2+y^2+4=0\n-1= x^2+y^2=1\n Prova B:\n3x^2-4\sqrt{6}xy+5y^2+9=0 \u21d2 (x y)\n(3 -2\sqrt{6})\n(x y) \u21d2 0\n\sqrt{6} 5\nCalculando os autovalores da matriz temos:\n-3-\lambda 0=(3-\lambda)(5-\lambda)-24=0 \u21d2 \lambda^2-28\lambda-9=0\nCalculando agora os autovetores temos:\npara \u03bb=9:\n(-\sqrt{6} -2\sqrt{6} 0)\n\sqrt{1}\n(-2\sqrt{6} -4 0)\n\sqrt{6}/2\npara \u03bb=-1:\n(4 -\sqrt{6} 1)\n\sqrt{6}/2\n0\nCalculando agora a inversa, uma forma diagonalizada temos:\n(x y)\n(9 0)\n(x y)\n0 -1\n(y)\n0 \u21d2 0 \u21d2 9y^2+y+0.\n- \xrightarrow{}\n- x^2/y^2=1\n Quest\u00e3o 4:\nProva A:\na) Considere a matriz A, e a g\u00e9nero <,>=\n\ntendo em .\n\nt \u221a{0}=0 \n\ne \u221a{0},2, V=0.\nComo qualquer um \u221a{0} e 0.\nA resta a amostra correspondente ao seu desconhecido.\nPortanto a afirma\u00e7\u00e3o a seguir.\nb) Ponderar na letra:\nconsiderando a matriz em questão,\na matriz \u2014 igual a mapa que, completa o seu destino.\nTendo que resultam de certo ele: (A \u2212 A)\nque ao expor a o resultado de um auto.\nC\ni\ndições do matiz 0.\ne \u00adr, o\nA_i=A_i. \n Prova B:\n\na) Camilhe-se o vetor nulo, com vetor \\( \\nabla \\) qualquer dos acima.\n\nConclui-se que o produto \\( \\nabla \\cdot D = \\nabla \\cdot n = 0 \\)\nportanto, o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor não nulo.\n\nb)\n\nbolinha e afirmação e falo.