Aula 3 - Dinâmica dos Fluidos - Física 2

D I N Â M I C A D O S F L U I D O S FÍSICA II INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. • Como o fluido não suporta tensão de cisalhamento e nem tração, tudo o que precisamos determinar foi o campo de pressão, p(x,y,z). INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. • Como o fluido não suporta tensão de cisalhamento e nem tração, tudo o que precisamos determinar foi o campo de pressão, p(x,y,z). • Isolando cada elemento de fluido e impondo a 2ª lei de Newton, mostramos que um fluido em repouso na presença de um campo gravitacional, p dependia apenas da profundidade e, para fluidos incompressíveis, satisfazia à lei de Stevin. INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. • Como o fluido não suporta tensão de cisalhamento e nem tração, tudo o que precisamos determinar foi o campo de pressão, p(x,y,z). • Isolando cada elemento de fluido e impondo a 2ª lei de Newton, mostramos que um fluido em repouso na presença de um campo gravitacional, p dependia apenas da profundidade e, para fluidos incompressíveis, satisfazia à lei de Stevin. • Desejamos, agora, considerar escoamento de fluidos. INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. • Como o fluido não suporta tensão de cisalhamento e nem tração, tudo o que precisamos determinar foi o campo de pressão, p(x,y,z). • Isolando cada elemento de fluido e impondo a 2ª lei de Newton, mostramos que um fluido em repouso na presença de um campo gravitacional, p dependia apenas da profundidade e, para fluidos incompressíveis, satisfazia à lei de Stevin. • Desejamos, agora, considerar escoamento de fluidos. • Para tanto precisamos determinar dois campos: • Pressão: campo escalar P(x,y,z,t) INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. • Como o fluido não suporta tensão de cisalhamento e nem tração, tudo o que precisamos determinar foi o campo de pressão, p(x,y,z). • Isolando cada elemento de fluido e impondo a 2ª lei de Newton, mostramos que um fluido em repouso na presença de um campo gravitacional, p dependia apenas da profundidade e, para fluidos incompressíveis, satisfazia à lei de Stevin. • Desejamos, agora, considerar escoamento de fluidos. • Para tanto precisamos determinar dois campos: • Pressão: campo escalar P(x,y,z,t) INTRODUÇÃO • Até agora lidamos com fluidos estáticos. • Como o fluido não suporta tensão de cisalhamento e nem tração, tudo o que precisamos determinar foi o campo de pressão, p(x,y,z). • Isolando cada elemento de fluido e impondo a 2ª lei de Newton, mostramos que um fluido em repouso na presença de um campo gravitacional, p dependia apenas da profundidade e, para fluidos incompressíveis, satisfazia à lei de Stevin. • Desejamos, agora, considerar escoamento de fluidos. • Para tanto precisamos determinar dois campos: • Pressão: campo escalar P(x,y,z,t) • Velocidade: campo vetorial LINHAS DE CORRENTE • Uma forma conveniente de visualizar o campo de velocidades é através de linhas de corrente. • “Foto” do campo de velocidades num instante de tempo. LINHAS DE CORRENTE • Uma forma conveniente de visualizar o campo de velocidades é através de linhas de corrente. • “Foto” do campo de velocidades num instante de tempo. Em cada ponto a velocidade é tan- gente às linhas! LINHAS DE CORRENTE • Uma forma conveniente de visualizar o campo de velocidades é através de linhas de corrente. • “Foto” do campo de velocidades num instante de tempo. • As linhas não podem se cruzar, caso contrário teríamos uma ambigüidade na direção do fluido no nó. Em cada ponto a velocidade é tan- gente às linhas! LINHAS DE CORRENTE • Em geral as linhas de corrente não coincidem com as trajetórias dos elementos de fluido! • Ex. Vórtice se deslocando. t=t0 LINHAS DE CORRENTE • Em geral as linhas de corrente não coincidem com as trajetórias dos elementos de fluido! • Ex. Vórtice se deslocando. t=t1 LINHAS DE CORRENTE • Em geral as linhas de corrente não coincidem com as trajetórias dos elementos de fluido! • Ex. Vórtice se deslocando. t=t1 Trajetória do elemento de fluido LINHAS DE CORRENTE • Escoamentos podem ser muito complicados, especialmente para velocidades altas, onde o fluido é turbulento. ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO • Neste curso estaremos interessados apenas em escoamentos estacionários. ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO • Neste curso estaremos interessados apenas em escoamentos estacionários. • Isto é: P(x,y,z,t)=P(x,y,z) e v(x,y,z,t) = v(x,y,z) ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO • Neste curso estaremos interessados apenas em escoamentos estacionários. • Isto é: P(x,y,z,t)=P(x,y,z) e v(x,y,z,t) = v(x,y,z) • Nesta situação, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias dos elementos de fluido. ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO • Neste curso estaremos interessados apenas em escoamentos estacionários. • Isto é: P(x,y,z,t)=P(x,y,z) e v(x,y,z,t) = v(x,y,z) • Nesta situação, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias dos elementos de fluido. Experimentalmente, sabemos que nas partes que a seção trans- versal tem menor área o fluido escoa com maior velocidade. ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO • Neste curso estaremos interessados apenas em escoamentos estacionários. • Isto é: P(x,y,z,t)=P(x,y,z) e v(x,y,z,t) = v(x,y,z) • Nesta situação, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias dos elementos de fluido. Experimentalmente, sabemos que nas partes que a seção trans- versal tem menor área o fluido escoa com maior velocidade. A B Como relacionar as velocidades em A e B? EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Sabemos que massa se conserva. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Sabemos que massa se conserva. • No caso estacionário, a massa de fluido cruzando cada se- ção transversal durante um intervalo Δt deve ser o mesmo, ou fluido se acumularia em alguma região, violando a condição de estacionariedade. A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Sabemos que massa se conserva. • O fluido que cruza a seção transversal A1 no intervalo Δt está ilustrado em cinza na figura abaixo. v1 representa a velocidade de escoamento próximo à seção transversal 1. A1 A2 v1Δt EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Sabemos que massa se conserva. • O fluido que cruza a seção transversal A1 no intervalo Δt está ilustrado em cinza na figura abaixo. v1 representa a velocidade de escoamento próximo à seção transversal 1. • Como a massa de fluido cruzando A1 no intervalo Δt deve ser a mesma cruzando A2 no mesmo intervalo concluímos que A1 A2 v1Δt v2Δt EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Sabemos que massa se conserva. • O fluido que cruza a seção transversal A1 no intervalo Δt está ilustrado em cinza na figura abaixo. v1 representa a velocidade de escoamento próximo à seção transversal 1. • Como a massa de fluido cruzando A1 no intervalo Δt deve ser a mesma cruzando A2 no mesmo intervalo concluímos que A1 A2 v1Δt v2Δt EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Sabemos que massa se conserva. • O fluido que cruza a seção transversal A1 no intervalo Δt está ilustrado em cinza na figura abaixo. v1 representa a velocidade de escoamento próximo à seção transversal 1. • Como a massa de fluido cruzando A1 no intervalo Δt deve ser a mesma cruzando A2 no mesmo intervalo concluímos que A1 A2 eq. da continuidade EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Para fluidos incompressíveis, A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Para fluidos incompressíveis, A1 A2 linhas mais densas = maior velocidade! EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Para fluidos incompressíveis, • Em estrangulamentos a velocidade do fluido aumenta. A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Para fluidos incompressíveis, • Em estrangulamentos a velocidade do fluido aumenta. • analogia: carros numa via engarrafada. A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Para fluidos incompressíveis, • Em estrangulamentos a velocidade do fluido aumenta. • analogia: carros numa via engarrafada. • Por outro lado, quando há um alargamento a velocidade diminui. A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Para fluidos incompressíveis, • Em estrangulamentos a velocidade do fluido aumenta. • analogia: carros numa via engarrafada. • Por outro lado, quando há um alargamento a velocidade diminui. Por que nossa analogia não funciona agora? A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Desta forma, podemos relacionar a velocidade em diferentes pontos do escoamento. Note que: A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Desta forma, podemos relacionar a velocidade em diferentes pontos do escoamento. Note que: • A fórmula anterior vale quando as linhas de corrente são perpendiculares à seção transversal. A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Desta forma, podemos relacionar a velocidade em diferentes pontos do escoamento. Note que: • A fórmula anterior vale quando as linhas de corrente são perpendiculares à seção transversal. • Caso contrário, tudo o que podemos afirmar é que o fluxo através de qualquer superfície fechada é nulo. (Desafio: Mostre isso.) EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Desta forma, podemos relacionar a velocidade em diferentes pontos do escoamento. Note que: • A fórmula anterior vale quando as linhas de corrente são perpendiculares à seção transversal. • Como relacionar a pressão em diferentes pontos do fluido? A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Desta forma, podemos relacionar a velocidade em diferentes pontos do escoamento. Note que: • A fórmula anterior vale quando as linhas de corrente são perpendiculares à seção transversal. • Como relacionar a pressão em diferentes pontos do fluido? • Note que p1>p2, já que o fluido deve ser acelerado ao passar pelo estrangulamento! A1 A2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE • Desta forma, podemos relacionar a velocidade em diferentes pontos do escoamento. Note que: • A fórmula anterior vale quando as linhas de corrente são perpendiculares à seção transversal. • Como relacionar a pressão em diferentes pontos do fluido? • Note que p1>p2, já que o fluido deve ser acelerado ao passar pelo estrangulamento! • Na próxima seção quantificaremos isto melhor. TEOREMA DE BERNOULLI • Escoamento incompressível e estacionário: TEOREMA DE BERNOULLI • Escoamento incompressível e estacionário: • Na figura está ilustrado o deslocamento do fluido durante um tempo Δt . TEOREMA DE BERNOULLI • Escoamento incompressível e estacionário: • Na figura está ilustrado o deslocamento do fluido durante um tempo Δt . • O trabalho realizado pela força resultante sobre o fluido deve ser igual à variação de energia cinética do mesmo. TEOREMA DE BERNOULLI • Escoamento incompressível e estacionário: • Na figura está ilustrado o deslocamento do fluido durante um tempo Δt . • O trabalho realizado pela força resultante sobre o fluido deve ser igual à variação de energia cinética do mesmo. • Consideraremos fluidos invíscidos, logo apenas peso e forças de pressão realizam trabalho. TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho das forças de pressão: TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho das forças de pressão: Pela equação da continuidade: TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho das forças de pressão: Pela equação da continuidade: TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho das forças de pressão: Pela equação da continuidade: Note que estamos usando a hipótese de fluido incompressível! TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho da força gravitacional: Variação de energia poten- cial gravitacional do fluido TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho da força gravitacional: Este cilindro não é mais ocupado pelo elemento de fluido: TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho da força gravitacional: Este cilindro não é mais ocupado pelo elemento de fluido: Este cilindro passa a ser ocupado pelo elemento de fluido: TEOREMA DE BERNOULLI • Trabalho da força gravitacional: Este cilindro não é mais ocupado pelo elemento de fluido: Este cilindro passa a ser ocupado pelo elemento de fluido: TEOREMA DE BERNOULLI • Por fim, pelo teorema do trabalho: Variação de energia cinética TEOREMA DE BERNOULLI • Por fim, pelo teorema do trabalho: Energia cinética perdida pelo fluido Energia cinética ganha pelo fluido TEOREMA DE BERNOULLI • Substitutindo as expressões anteriores: TEOREMA DE BERNOULLI • Substitutindo as expressões anteriores: • A equação acima vale para escoamentos a. Invíscidos. TEOREMA DE BERNOULLI • Substitutindo as expressões anteriores: • A equação acima vale para escoamentos a. Invíscidos. b. Estacionários. TEOREMA DE BERNOULLI • Substitutindo as expressões anteriores: • A equação acima vale para escoamentos a. Invíscidos. b. Estacionários. c. Incompressíveis. TEOREMA DE BERNOULLI • Substitutindo as expressões anteriores: • A equação acima vale para escoamentos a. Invíscidos. b. Estacionários. c. Incompressíveis. • Note que a eq. de Bernoulli vale apenas para pontos na mesma linha de corrente! TEOREMA DE BERNOULLI • Substitutindo as expressões anteriores: • A equação acima vale para escoamentos a. Invíscidos. b. Estacionários. c. Incompressíveis. • Note que a eq. de Bernoulli vale apenas para pontos na mesma linha de corrente! • Aplicaremos a equação acima em alguns exemplos. PARA ONDE ESCOA? • No tubo auxiliar, em que direção ocorre o escoamento? PARA ONDE ESCOA? • No tubo auxiliar, em que direção ocorre o escoamento? vA>vB => pA<pB! A B PARA ONDE ESCOA? • No tubo auxiliar, em que direção ocorre o escoamento? vA>vB => pA<pB! A B VAZAMENTO POR UM ORIFÍCIO • Com que velocidade o fluido escoa pelo orifício? VAZAMENTO POR UM ORIFÍCIO • Com que velocidade o fluido escoa pelo orifício? A B VAZAMENTO POR UM ORIFÍCIO • Com que velocidade o fluido escoa pelo orifício? • Em A e B, p=p0. A B VAZAMENTO POR UM ORIFÍCIO • Com que velocidade o fluido escoa pelo orifício? • Em A e B, p=p0. • Em A, vA~0. A B VAZAMENTO POR UM ORIFÍCIO • Com que velocidade o fluido escoa pelo orifício? • Em A e B, p=p0. • Em A, vA~0. A B VAZAMENTO POR UM ORIFÍCIO • Com que velocidade o fluido escoa pelo orifício? • Em A e B, p=p0. • Em A, vA~0. A B EFEITO MAGNUS • Considere um cilindro rodando no sentido indicado na figura e se deslocando para a esquerda: EFEITO MAGNUS • Considere um cilindro rodando no sentido indicado na figura e se deslocando para a esquerda: ROTOR FLETTNER • É possível construir um barco que em vez de vela utiliza cilíndros e é propulsionado pelo efeito Magnus.