Lista 3 - Oscilações 2020 1

ENGENHARIAS (CICLO BASICO) 7 FISICA 2 prof. Raphael Pipio (2020/1) Campus UFRJ-Macaé , ~ pitescr Aloisio Teixeira LISTA DE EXERCICIOS 3 — OSCILACOES Todo o material contido neste documento nado possui propdsito comercial; contém material original, assim como material adaptado e compilado de varias fontes. Questao 1 A equacao de movimento de um oscilador harménico de massa m é dada por d?x me + mux = 0, sendo k = mw? a constante da mola. (a) Mostre por substituicdo direta que tanto 21(t) = Acos(wt) quanto x2(t) = Bsen(wt) sao solugdes dessa equacgao de movimento. (b) Repita o procedimento anterior com a finalidade de mostrar que x(t) = x1(t) + x(t) é também uma solugao. (c) Conhecidas a posigao inicial, 79 = z(t = 0), ea velocidade inicial, vp = v(t = 0), escreva uma expressao final para a solugao x(t). Questao 2 Considere um movimento harménico simples, em que x(t) = Acos(wt). Para uma fungéo de tempo f(t) e de posigaéo g(a) as médias temporal e espacial (num ciclo) sao, respectivamente, 1 st 1 A __ t)dt = — / x)dax (Mapp tOd, — We=5q ff) (a) Mostre que a energia potencial média é igual a energia cinética média, quando se calcula a média em relagéo ao tempo, para um tinico periodo do movimento, e que cada média vale $k A?. (b) Por outro lado, tomando a média em relacao a@ posigéo, em um ciclo, a energia potencial média vale tk A? e a energia cinética média gk A?. (c) Por que os dois resultados anteriores séo diferentes? Justifique. Questao 3 Enquanto pisa na Agua proxima a arrebentacao das ondas numa praia, vocé percebe que ha uma bdia em direcaéo ao horizonte. A bdia esta balancando para cima e para baixo, em um movimento harménico simples, sendo que sé é possivel ver a bdia na parte mais alta do seu ciclo. Em sua observacao é possivel perceber que a bdia aparece 10 vezes ao longo de um minuto. (a) Explique qual é a forga que esta levando a béia a realizar um movimento harmGnico simples. (b) Determine o perfodo T e frequéncia f do ciclo. Questao 4 Uma corda pode ser considerada como uma mola com uma constante de mola muito elevada k, tao elevada que nao é possivel perceber o movimento associado a tendéncia de restauracao a posigao de equilibrio. (a) Qual é 0 valor de k de uma corda que se alonga de 1mm quando suporta uma massa de 100 kg? (b) Se um jovem com 50 kg se pendura na corda, de quanto a mesma sera alongada? (c) Se o menino dé um impulso na vertical, e comega um movimento de cima e para baixo ainda que levemente, qual serd a sua freqiiéncia de oscilagaéo? (c) Seré que ele percebe essa oscilagéo ? Se sim, como? Se nao, por que nao? Questao 5 O tom de uma nota dé médio (C3) em um piano é de 263 Hz. Isto significa que quando vocé ouve esta nota, o timpano de cada um de seus ouvidos se move "para frente e para trds"nesta freqiiéncia. (a) Qual é 0 periodo de oscilagaéo de seus timpanos? (b) Qual é o periodo de oscilagao do fio atingido dentro do piano? Questão 6 O valor de k efetivo para o trampolim mostrado na figura ao lado é de 800 N/m (Dizemos efetivo porque a plataforma se curva na direção de movimento ao ínves de se esticar como uma mola, mas o comportamente nesses dois casos é o mesmo). Um mergulhador está se movendo para cima e para baixo no final do trampolim, como mostrado ao lado. O gráfico de y vs t está mostrado abaixo. (a) Qual é a distância entre os menores e os maiores pontos de oscilação? (b) Quais são as posições y do mergulhador nos intantes t = 0 s, t = 2 s e t = 4,6 s? (c) Estime o período de oscilação do mergulhador. (d) Qual é a massa do mergulhador? (e) Escreva a equação horária (senoidal) para a posição vertical do mergulhador. por Jason P. Murray (People’s Physics Book) Questão 7 O Sol tende a tendência de apresentar manchas escuras (com tamanhos variados e próximos ao tamanho da Terra) em sua superfície devido à atividade magnética, sendo que o número de manchas visíveis varia ao longo dos anos. Use o gráfico acima que mostra o ciclo da mancha solar para responder os itens a seguir (Note que estes são dados reais de nosso Sol, por isso não se parece com uma onda senoidal perfeita. O que você precisa fazer é estimar a melhor onda senoidal que se encaixa a esses dados). (a) Estime o período T em anos. (b) Faça a previsão de quando ocorrerá o próximo máximo na mancha solar. Questão 8 Uma aranha de 0,5 g caminha para o meio de ssua teia. A teia desce de 1,0 mm, devido ao seu peso (admita que a massa da teia é desprezível). (a) Se uma pequena rajada de vento coloca ela em movimento, com que freqüência ela vai oscilar? (b) Quantas vezes ela vai “para cima e para baixo” em um segundo? E em 20 segundos? (c) Quão longo é cada ciclo? Questão 9 Use a fórmula de Euler, eiθ = cos θ + i sen θ, e as regras para o cálculo de produtos e potências de números complexos para calcular: (a) cos θ = 1 2(eiθ + e−iθ); (b) sen θ = 1 2i(eiθ − e−iθ); (c) cos(θ + α) e sen(θ + α); (d) cos(3θ) e sen(3α) em função de cosseno e seno de θ e α. Questão 10 Uma maneira artificial (porém engenhosa) de resolver a equação de movimento de um oscilador harmônico é introduzir uma função complexa do tempo z(t) = x(t) + iy(t) (onde i = √−1) tal que a solução física pode ser resgatada: x(t) = Re[z(t)] = 1 2(z(t) + [z(t)]∗). (a) Verifique por substituição direta que tanto z1(t) = C1eiωt quanto z(t) = Cye~“* sdo solucdes da equacao diferencial de segunda ordem (complexa) dz 2 m—>, +mw*z=0. diz" (b) Mostre que devido a linearidade da EDO acima, z(t) = z1(t) + z2(t) também é uma solugao. (c) Justifique como obter as constantes complexas em termos da posigéo e velocidade iniciais: 1 U 1 vu C1 = 5 (mm - i) 5 C= 5 (m +i) = [Ci]*. 2 W 2 Ww (d) A partir dos itens anteriores, compare a solugao geral x(t) = Re[z1(t) + z2(t)] com aquela encontrada no item (c) da Questao 1. Questao 11 Considere uma mola sem massa, de constante eladstica k, situada em um campo gravitacional uniforme e com uma das extremidades presa ao teto. Uma massa m é presa a outra extremidade da mola. (a) Mostre que, sendo y = 0 a posicgéo da extremidade da mola sem carga, a posicdo vertical de equilfbrio estatico 6 dada por y = mg/k. (b) Explique como obter a equagaéo de movimento do sistema massa-mola d?y map +ky=mqg, e que a solucgao para o deslocamento como fungao do tempo é y(t) = Acos(wt + y) + mg/k, sendo w = /k/m. (c) E correto concluir que os parametros w, v e T’, assim como as fungoes v(t) e a(t), em um campo gravitacional, s&0 OS Mesmos que na auséncia dele, com a tinica diferenga de a posigdo de equilirio ter sido deslocada de mg/k? (d) Considere agora a energia do sistema: smv? + sky? +mg(h — y) = constante, e mostre que, diferenciando com respeito ao tempo obtém-se a equagéo de movimento do item (b). (e) Verifique que, se a massa cair de y = 0 a posigdo de equilibrio estatico, y= mg/k, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elastica e metade em energia cinética. (f) Considere, finalmente, 0 sistema em movimento e na posicao de equilibrio estatico. Calcular separadamente a variacao da energia potencial gravitacional e da energia potencial elastica quando a massa m se mover para cima até o deslocamento +A e também quando ela se mover para baixo até o deslocamento —A. Mostre que a variacaéo total da energia potencial é a mesma em cada caso, isto 6, 5k A?. Em vista dos resultados (c) e (f), pode-se simplesmente ignorar o campo gravitacional uniforme na andlise, simplesmente deslocando a posicgao de referéncia de y = 0 para Y = y = —mg/k = 0. A nova curva de energia potencial [U(Y) = 5kY? + constante] tem a mesma forma parabdélica que na auséncia de um campo gravitacional [U(y) = ky”). Questao 12 Um bloco de madeira cuja densidade relativa 4 Agua é p (= dens. mad./ dens. Agua) tem as dimensoes a, b e c. Enquanto flutua na Agua, com o lado a na vertical, o bloco é empurrado para baixo, e, entao, 6 abandonado a partir do repouso. (a) Mostre que a posi¢do vertical de equilibrio do centro de massa do bloco esté a uma profundidade pa em relacao a superficie. (b) Considerando o desvio Y(t) = y(t) — pa em relagao a posigéo de equilibrio, explique como encontrar a equacao dinémica ay “~++y =o. dt pa (c) Calcule a frequéncia natural de oscilacgéo e o perfodo da oscilagao resultante. (d) Encontre a posigéo vertical do centro de massa em relacao a superficie da Agua como fungao do tempo [Resposta: y(t) = pa + yo cos(wt + y)]. Questao 13 Um disco sélido de raio R e massa uniformemente distribuida pode ser suspenso por um eixo perpendicular ao plano do mesmo a uma distancia h de seu centro. Considerando apenas pequenas oscilagdes em torno do ponto de equilibrio: (a) Escreva a equagéo de movimento. (b) Calcule o comprimento do péndulo simples equivalente. (c) Obtenha uma expressao para o periodo de oscilagéo em termos de R, h e g. (d) Calcule a posigaéo do eixo para a qual o periodo é minimo. (e) Faca um grafico do periodo como fungao de h. Questao 14 A energia total de um sistema conservativo na vizinhanca de um equilfbrio estavel é da forma E = a(q? + bq’), onde q (deslocamento, angulo, ...) 6 0 desvio em relacgdo ao equilibrio, sendo a e b constantes reais positivas. (a) Se o sistema parte do repouso com uma amplitude inicial go, mostre que g = +Vb, [qi — 92. (b) Verifique que o periodo de oscilagaéo é dado por TH 2 lr dq us Vb —G 4 [qe — q? Vb Ou seja, o sistema oscila com frequéncia angular w = Vb. Questao 15 Um tubo cilfndrico dobrado em forma de U, com os dois ramos na vertical, fe contém uma massa M de um liquido nao-compressivel, sendo L o comprimento ag ee = ee) ocupado no interior do tubo. Produz-se um pequeno desnivel y entre um ramo whens e o outro conforme esta ilustrado na figura ao lado. (a) Explique por que a energia mecanica do liquido é 1 2g E==M(y+—= ”) ; 9 (s + L y (b) Calcule a frequéncia angular de oscilagaéo da massa liquida. Sugestao: Use o resultado do item (b) da Questao 14. Questao 16 O Um fio de arame de massa M e de comprimento 2L é dobrado ao meio, formando um Angulo de 60°, e oscila suspenso pelo vértice O sempre num mesmo plano. (a) Calcule o momento de inércia do sistema em relacaéo ao eixo perpendicular ao plano de oscilacao e L , L que passa por O. (b) Escreva a energia cinética de rotacaéo do fio dobrado em torno de um 60 eixo perpendicular ao plano da figura e que passa por O. (c) Escreva a energia potencial gravitacional considerando a altura do centro de massa do fio dobrado. (d) Explique como obter a energia mecanica do sistema para pequenas oscilacoes: 1 .. 373g E=—ML?|@?+——“@]. 6 ( + 4D (e) Calcule 0 perfodo T de pequenas oscilagdes em torno do ponto de equilibrio. Sugestao: Use o resultado do item (b) da Questao 14. Questao 17 C Uma pequena esfera homogénea de massa m e raio r rola sem deslizar sobre uma calha s cilindrica de raio R >> r, na vizinhanga do fundo, ou seja, com 6 < 1 (figura ao lado). my (a) Mostre que 0 movimento é harménico simples. (b) Calcule a frequéncia angular w. oN Sugestao: Use o resultado do item (b) da Questao 14, considerando a energia de Ri ‘ m rotacao do centro de massa em relacado ao eizo que passa por C’, e também a rotacao ! em relacéo ao eixo que passa pelo centro de massa da esfera. Questao 18 Duas particulas de mesma massa m (figura ao lado) deslocam-se com atrito desprezivel sobre uma superficie horizontal, presas por molas deg k 1 K 9 ke p constante eldstica k a paredes verticais e ligadas uma a outra por uma mola de constante eldstica K. Inicialmente, com as particulas em repouso Docc baa a na posicao de equilfbrio, comunica-se uma velocidade v a particula 2 Ly, xy Ly, 2 através de uma impulso. (a) Escreva as equagdes de movimento para as duas massas. (b) Utilize como tentativa de solugao x(t) = A1 cos(wt) € £(t) = Ae cos(wt), e resolva o sistema de equagées lineares com o fim de encontrar os modos normais de oscilagGes. (c) Determine os deslocamentos x(t) e x(t) das duas particulas em relagéo as respectivas posigdes de equilibrio, para t > 0. Questão 19 A molécula de HCl é uma molécula iônica, que podemos considerar como resultante da interação entre os íons H+ e Cl−, com energia potencial de interação dada por U(r) = −Ke2 r + B r10 , onde r é a distância entre os centros. O primeiro termo é a atração coulombiana (K = 9 × 109 Nm2/C2, K = 1,6 × 10−19 C), e o segundo representa uma interação repulsiva a curta distância (B > 0). A distância entre os centros na molécula é de 1,28 Å; uma unidade de massa atômica vale 1,66 × 10−27 kg. (a) Determine a distância de equilíbrio entre os íons. (b) Faça a aproximação de pequenas oscilações com o fim de encontrar uma “constante de mola efetiva” k da ligação. (c) Calcule a frequência de vibração ν da molécula (clássica). Questão 20 Considere uma partícula oscilando sob a influência do potencial anarmônico U(x) = 1 2kx2 − 1 3ax3 , onde a ≪ k é uma constante positiva. (a) Faça um gráfico esquemático de U(x). A curva é simétrica em torno do valor x = 0? Em virtude à resposta que você deu à pergunta anterior, em que sentido se desloca o centro de oscilação quando a energia é aumentada? Você acha que ⟨x⟩ deve ser nulo? (b) Obtenha a força como função de x e faça um gráfico esquemático. (b) Qual é o efeito anarmônico sobre a força? (c) Escreva a equação de movimento para esse movimento oscilatório. (d) Tente como solução x(t) = A cos(ωt) + B cos(2ωt) + x1 , onde os dois últimos termos resultam do termo anarmônico. (c) Essa expressão pode representar uma solução exata? (d) Desprezando todos os termos que envolvem produtos de A e B ou potências de B de ordem maior que a primeira, mostre que ω = ω0, x1 = αA2/2ω2 0 e B = −αA2/6ω2 0, onde ω2 0 = k/m e α = a/m. [Sugestão: use a relação trigonométrica cos2(ωt) = 1 2(1 − cos(2ωt)).] (e) Calcule as médias temporais ⟨x⟩ e ⟨x2⟩ para um período de oscilação, e compare-as com os resultados para o MHS (Questão 1).