Cálculo 1 Unificado - 2a Prova A - UFRJ 2023-1

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO 1 UNIFICADO SEGUNDA PROVA A 20231 Nome DRE Assinatura Duração 2 horas Faça sua prova a lápis As questões 4 5 6 e 7 requerem justificativa Faça primeiro no rascunho e depois coloque no espaço indicado da prova com clareza e de forma legível Boa prova QUESTÃO 1 1 ponto Seja f 2 2 R definida por fx 3x5 2x3 8x 6 Indique na respectiva caixinha se cada uma das afirmativas é verdadeira V ou falsa F a f é uma função crescente b o máximo absoluto de f ocorre em x 2 c f admite uma raiz no intervalo 1 1 d o máximo absoluto de f ocorrem em x 2 QUESTÃO 2 Seja f R R a função definida por fx ex²2x a 1 ponto Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x 0 na forma y ax b e coloque nas caixas os valores que você encontrou para a e b a b b 05 ponto Encontre a aproximação linear Lx de fx no ponto x 0 Lx c 05 ponto Use a aproximação linear para estimar o valor de f em x 0 2 f0 2 QUESTÃO 3 1 ponto Seja f R R função derivável tal que f1 1 e f1 2 Calcule g1 onde gx fx 2x² x 1 g1 QUESTÃO 4 1 ponto Seja gx ln fx derivável g4 2 e g4 5 Calcule d f4 f4 d QUESTÃO 5 1 ponto Encontre a e b reais que tornem a expressão verdadeira lim x0 cos3x x2 a b x2 0 a b Questão 6 2 ponto Um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados deve ser inscrito na região R delimitada pelos gráficos de y x² e y 4 de modo que seu perímetro seja máximo Justifique a resposta de cada item a Faça um desenho da região R incluindo o desenho de um retângulo inscrito como o do enunciado b Supondo que a coordenada x do vértice inferior direito do retângulo seja s escreva uma fórmula que expresse o perímetro P em termos de s c Calcule o valor de s que dá o valor máximo de P Justifique que esse valor é realmente o máximo Questão 7 2 pontos Seja fx 1 3x² 1 1 Então fx 6x 3x² 1² e fx 6 9x² 1 3x² 1³ Justifique a resposta de cada item a Dê a equação das assíntotas verticais e horizontais de f caso existam b Dê os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente c Indique os pontos críticos de f e os valores máximo eou mínimo locais de f se existirem d Determine os pontos de inflexão e descreva os intervalos onde a concavidade está para cima e onde a concavidade está para baixo e Use as informações acima para fazer um esboço do gráfico de f no sistema de coordenadas abaixo y x