Escoamento Multifasico - Conceitos Basicos e Aplicacoes

10 Escoamento Multifásico A expressão escoamento multifásico caracteriza qualquer escoamento de fluido consistindo de mais de uma fase ou componente como gás e líquido líquido e sólidos ou uma combinação desses Escoamentos multifásicos acontecem em toda parte e a todo instante no ambiente natural como em chuvas ciclones tufões poluição atmosférica poluição de rios e mares sendo igualmente parte importante de inúmeros processos industriais e biológicos como plantas de geração de energia convencional e nuclear motores de combustão interna ebulição condensação e evaporação de líquidos sistemas de propulsão transporte e produção de óleo e gás indústria química e de petróleo indústria de alimentos indústria de papel e celulose processos metalúrgicos cavitação processos de pinturas e impressoras de jatos de tinta Sistemas biológicos raramente contêm líquidos puros fluidos como sangue e leite são multifásicos contendo uma variedade de células partículas ou gotículas em suspensão É comum classificar esses escoamentos de acordo com o estado de cada fase ou componente referindose aos mesmos como escoamento gáslíquido gássólido líquidosólido líquidolíquido em bolha em névoa etc O escoamento multifásico é mais complexo do que o seu correspondente monofásico porque a distribuição das fases é difícil de ser quantificada Os seguintes fatores contribuem para a complexidade do problema O escoamento multifásico não é normalmente caracterizado como simplesmente laminar ou turbulento em certas situações é uma combinação desses Além disso as vazões e a distribuição das fases devem ser consideradas e a existência de superfícies livres dificulta as análises Devido às diferenças de densidades do componentes o escoamento não é simétrico com relação ao eixo do duto horizontal ou inclinado Na maior parte dos casos as fases deslocamse com velocidades médias distintas e as concentrações in situ variam ao longo do duto Na situação mais geral as fases podem não estar em condição de equilíbrio de 101 temperatura e concentração dos componentes Nesses casos fluxos de calor e de massa pelas interfaces devem ser considerados Pressões temperaturas e concentrações dos componentes podem ser diferentes entre as fases Por esses motivos a modelagem normalmente requer a adoção de hipóteses simplificadoras para diversos desses aspectos A maioria dos simuladores numéricos multifásicos tem por base três modelos clássicos cada um com características próprias para a interpretação do comportamento do escoamento São assim denominados modelo homogêneo modelo de dois ou multi fluidos e modelo de deslizamento este último conhecido na literatura inglesa como drift flux model A menos que ocorra uma diferença significativa entre as velocidades o modelo homogêneo pode ser aplicado para escoamentos dispersos sejam em borbulhas ou em gotículas Neste caso o fluido é tratado como um pseudo fluido monofásico com propriedades médias das fases As velocidades do gás e do líquido são admitidas iguais a todo instante No passado o modelo foi bastante utilizado em análises de instalações industriais e nucleares Os outros dois são mais complexos e requerem códigos computacionais sofisticados Neste capítulo é apresentado uma breve introdução dos conceitos de escoamento multifásico no interior de dutos com aplicação especial para a produção de petróleo ou seja para escoamentos de óleo água e gás Detalhes mais aprofundados sobre o tópico devem ser obtidas na literatura sugerida no final do capítulo 101 Conceitos e Definições Introduzimos a seguir alguns conceitos e definições importantes para a compreensão de escoamentos multifásicos Substância Pura É uma substância consistindo de uma única espécie molecular tal como H2 He O2 e H2O Mistura e Componente Mistura pode ser definida como um conjunto de partículas ou substâncias que ocupam regiões do espaço simultaneamente Exemplos de mistura são ar nitrogênio oxigênio e outras substâncias e poeira uma mistura multi componente de sólidos e ar Componentes são os diversos elementos que fazem parte da mistura Note que estes podem ser simples partículas sólidas como detritos em suspensão no ar ou espécies químicas diversas como num hidrocarboneto composto por metano 102 etano butano ou outros elementos químicos Fase Fase é um sistema composto de qualquer número de constituintes químicos satisfazendo as seguintes condições a ser homogêneo e b possuir um contorno bem definido Uma fase não precisa ser constituída de uma única substância química ou componente podendo ser uma mistura de várias substâncias como uma mistura de gases Gases podem ser misturados em qualquer proporção portanto um sistema composto de gases distintos pode constituir uma única fase gasosa metano etano e propano por exemplo Além disso a fase gasosa pode ser contínua ou dispersa O escoamento gás gotículas é um exemplo de fase contínua enquanto bolhas no escoamento líquidobolhas é um exemplo de fase dispersa Como acabamos de ver componentes podem existir em qualquer uma das fases normalmente na líquida e na gasosa Na indústria de petróleo é comum tratar o escoamento de gás óleo e água como trifásico onde componentes diversos metano etano butano etc estão presentes nas três fases ou seja no gás no óleo e na água Caso a presença de areia seja significativa podese considerar o escoamento como quadrifásico Todavia na prática a fração de areia para escoamentos provenientes de reservatórios por exemplo é pequena podendo ser ignorada em muitas situações Fase Dispersa e Fase Contínua Fase dispersa é aquela constituída por elementos discretos tal como gotas em um gás ou bolhas em um líquido Os elementos discretos não são interconectados Por outro lado a fase contínua é definida por elementos tal que a passagem de um ponto qualquer para outro pode se dar sempre através do mesmo contínuo Não podemos passar de um elemento para outro numa fase dispersa sem passar pela fase contínua No escoamento de bolhas em um líquido as bolhas constituem a fase dispersa enquanto o líquido representa a fase contínua Escoamento Separado Num escoamento separado as fases normalmente duas são separadas por superfícies de contato ou interfaces Uma forma simples de ocorrência de separação ou estratificação se dá no escoamento horizontal onde os efeitos da gravidade induzem os componentes mais pesados manteremse separados na parte inferior do duto Por outro lado o escoamento anular é também separado estratificado por ser constituído de um filme líquido na parede do duto e um núcleo gasoso na parte central Escoamento GásLíquido Ocorre em inúmeras situações como atomização para gerar gotículas para combustão em sistemas de geração de energia escoamento de água e vapor em dutos e trocadores de calor em plantas de geração de energia por 103 combustível fóssil e nuclear produção e transporte de hidrocarbonetos em dutos O escoamento de gáslíquido em dutos pode assumir diferentes configurações geométricas desde o escoamento em bolhas dispersas até o anular neste caso com a formação de um filme líquido na parede do duto e um núcleo gasoso central Escoamento LíquidoSólido Partículas sólidas são transportadas pelo líquido sendo comumente referido como escoamento em polpa slurry flow1 Ocorre em importantes áreas de aplicação industrial incluindo o transporte de minério carvão e lamas em dutos É amplamente utilizado no processo de perfuração de poços de petróleo como lamas e cascalhos produzidos pela perfuração Escoamento GásSólido Normalmente considerados como o transporte de partículas sólidas muito finas por um gás Nesta categoria destacamse o transporte pneumático o escoamento em leitos fluidizados a combustão de carvão em plantas de combustível fóssil ciclones separadores precipitadores eletrostáticos e a exaustão de propelente sólido de foguetes Escoamento LíquidoLíquido Ocorre freqüentemente quando líquidos não são miscíveis São comuns em reservatórios de petróleo quando água e óleo estão presentes na matriz porosa rocha Acontece também quando esses escoam no poço e nas linhas de produção de petróleo Quando não formam uma emulsão os dois líquidos podem caracterizar um mistura homogênea ou não Em algumas situações o escoamento é estratificado segregado pelo efeito da gravidade sobre as fases Nomenclatura Dada as peculiaridades do escoamento multifásico algum detalhamento da nomenclatura se faz necessário para uma boa compreensão do texto Parâmetros do escoamento como velocidade vazão pressão e temperatura contêm freqüentemente subscritos maiúsculo simples N para referirse a uma propriedade da fase Em certos contextos subscritos genéricos N A B são utilizados para generalidade Por outro lado em outras ocasiões certas letras específicas são empregadas para simples clareza como C fase contínua D fase dispersa L líquido G gás V vapor 1 No setor de minério de ferro utilizase a expressão polpa de minério de ferro ou iron ore slurry em geral em concentrações entre 50 e 75 em peso Para concentrações mais elevadas 90 ou superiores é empregado a expressão pasta 104 Fração Volumétrica e Holdup A fração volumétrica de uma faseN é definida como onde äVN é o volume da faseN A fração volumétrica da fase dispersa gás é algumas vezes denominada fração de vazio void fraction em inglês Nos escoamentos de óleo e gás na indústria de petróleo é comum denominar a fração volumétrica da fase líquida de liquid holdup Por definição no escoamento bifásico gáslíquido Neste caso identificamos void fraction áG e holdup áL Vazões As vazões efetivas das fases são representadas por QG e QL m3s enquanto a vazão total Q é definida pela soma das vazões das fases ou Velocidades Superficial Local e de Deslizamento No escoamento multifásico definese a velocidade superficial como aquela que multiplicada pela área do duto reproduz a vazão da respectiva fase No caso bifásico gás líquido são indicadas por VG e VL ms Definese ainda a velocidade total como a soma das velocidades superficiais ou A é a área da seção transversal do duto Velocidades locais ou in situ são denominadas por uG e uL ms Representam velocidades medidas localmente por uma sonda de dimensão reduzida Definida a fração volumétrica podese associar a velocidade superficial com a velocidade local 101 102 103 104 105 105 e assim Notese que a área da seção do duto efetivamente ocupada por uma faseN é AN áN A A velocidade de deslizamento drift velocity VN é definida como a diferença entre a velocidade local e a velocidade total Condição de NãoDeslizamento Com freqüência frações volumétricas para a condição de nãodeslizamento são utilizadas sendo assim definidas Propriedades de Mistura Propriedades de mistura definidas para a velocidade e massa específica são e representando propriedades de deslizamento e nãodeslizamento para a massa específica ñm e ñn respectivamente De forma análoga a entalpia específica hmJkg e a entropia específica smJkg K são definidas para a mistura bifásica 106 107 108 109 1010 1011 106 102 Padrões de Escoamento No escoamento de duas ou mais fases a deformação da interface constitui um fator complicador na caracterização do escoamento No escoamento gáslíquido as interfaces assumem formas variadas desde esféricas nas baixas velocidades devido ao predomínio da tensão superficial até configurações totalmente caóticas nas velocidades mais altas Assim por exemplo o escoamento em bolhas tem início com bolhas se distribuindo mais ou menos uniformemente na seção passando para o arranjo golfada com grandes bolhas ocupando quase toda a seção e líquido no entorno Para velocidades elevadas de gás este pode ocupar o núcleo central com um pequeno filme líquido escoando junto à parede do duto Desta forma o escoamento multifásico pode ser identificado por padrões ou regimes de escoamento com características dinâmicas muito distintas umas das outras Escoamento Horizontal A figura 101 ilustra regimes de escoamento que podem ser encontrados num escoamento horizontal gáslíquido O arranjo estratificado acontece para velocidades de gás e líquido relativamente baixas As duas fases são separadas pela ação da gravidade Na medida que a velocidade de gás aumenta pistões ou golfadas de líquido preenchem a seção do duto separados por bolsas de gás contendo uma camada estratificada de líquido escoando na parte inferior do duto O escoamento é caracterizado por uma golfada de líquido deslocandose a alta velocidade ultrapassando o filme líquido Aumentandose a velocidade de gás a fase gasosa passa ser concentrada na parte central podendo conter gotículas em suspensão com um filme líquido fino na parede do duto A interface no anular tende a ter um perfil ondulatório que produz tensões cisalhantes elevadas Para velocidades elevadas de líquido a fase líquida caracterizase como contínua contendo bolhas de gás dispersas ou simplesmente bolhas discretas com tendência a se distribuir de forma mais uniforme na seção transversal A transição para este regime é definida pela condição em que as bolhas estão em suspensão no líquido ou quando bolsas de gás são destruídas quando essas tocam a parte superior do duto 107 Figura 101 Regimes de escoamento horizontal Escoamento Vertical Regimes de escoamento vertical são similares àqueles de dutos horizontais com a diferença de que os efeitos da ação da gravidade não ocorrem de forma assimétrica com relação às densidades das fases Fig 102 Como na situação horizontal o escoamento anular se caracteriza por um núcleo gasoso que se desloca a velocidade elevada e um filme líquido escoando junto à parede do duto À medida que a velocidade de gás aumenta golfadas de líquido ocupam a seção do duto agora de forma simétrica com relação ao eixo A maior parte do gás concentrase em bolsas de gás de tamanho expressivo denominadas bolhas de Taylor com diâmetros próximos do duto O escoamento consiste de uma sucessão de bolhas de Taylor e golfadas líquidas que cobrem toda a seção transversal No escoamento denominado em bolha o escoamento acontece para velocidades de líquido relativamente baixas com reduzida turbulência caracterizados pelo deslizamento entre as fases gasosa e líquida resultando em altas concentrações de líquido isto é em elevadas frações volumétricas de líquido Por outro lado semelhante ao escoamento horizontal nas altas velocidades de líquido a fase gasosa tende a se dispersar na fase líquida assumindo uma configuração em bolhas dispersas Neste caso o líquido transporta as bolhas de gás à mesma velocidade Portanto o escoamento é predominantemente homogêneo sem deslizamento entre as velocidade 108 Figura 102 Regimes de escoamento vertical Escoamento Inclinado A maior parte da literatura sobre regimes de escoamento trata com detalhe as configurações horizontal e vertical Há contudo extensa bibliografia sobre escoamentos inclinados tanto ascendentes como descendentes sobretudo em sistemas de produção offshore incluindo poços e linhas de produção Por se tratar de área especializada padrões de escoamento para essa configuração não é aqui tratado O leitor interessado não deve ter dificuldade em localizar essas publicações Mapas de Regime de Escoamento Nos escoamentos vertical e horizontal a maioria das investigações são realizadas procurando determinar a dependência do padrão com alguns parâmetros do escoamento como velocidades superficiais VG e VL frações volumétricas áG e áL e propriedades dos fluidos massas específicas viscosidades e tensão superficial Os resultados são geralmente mostrados em mapas de arranjo de fase que sugerem o regime de escoamento acontecendo em diversas regiões em função dos fluxos das fases Os fluxos podem ser especificados como volumétricos de massa de quantidade de movimento ou outro qualquer de acordo com a preferência do autor sendo Baker 2 considerado pioneiro na 2 BakerO Design of pipelines for simultaneous flow of oil and gas OilGas J53 1954 109 área Seu mapa mostrado na Fig 103 utiliza coordenadas dimensionais e adimensionais onde GG e GL representam os fluxos de massa de gás e líquido e ëñGñArñLñAgua12 e êóAguaóìLìAgua ñAguañL213 são fatores de correção para as propriedades dos fluidos para unidades de campo Sumários desses mapas são comuns em textos clássicos sobre escoamento bifásico como por exemplo Wallis3 e Govier e Aziz4 Contornos difusos entre os arranjos ocorrem uma vez que o regime se torna instável à medida que se aproxima desses enquanto o crescimento da instabilidade provoca a transição para outro arranjo Como na transição laminarturbulento no escoamento monofásico as transições podem ocorrer de forma um tanto imprevisível podendo depender de outras características do escoamento como rugosidade da parede condições de entrada vibração transientes etc Portanto os contornos de transição não são linhas bem definidas mas zonas de transição mal caracterizadas Figura 103 Mapa de arranjo de fase de Baker1 para escoamento bifásico horizontal em duto Ref Govier e Aziz 4 Outras dificuldades ocorrem na área Uma está associada ao fato de que as coordenadas dos mapas são freqüentemente apresentadas na forma dimensional resultando que os escoamentos se aplicam somente para dutos com dimensões específicas 3 Wallis GB OneDimensional TwoPhase Flow McGrawHill 1969 4 Govier GW Aziz K The Flow of Complex Mixtures in Pipes Robert Krieger Publishing Co 1982 1010 e para as condições particulares utilizadas na investigação A despeito de tentativas de universalização de resultados por parte de muitos pesquisadores ainda não existe mesmo para geometrias simples mapas de arranjo de fase adimensionais que incorporem a dependência paramétrica completa das características dos escoamentos Outras questões sérias ainda permanecem como incertezas associadas aos comprimentos necessários para atingir escoamento totalmente desenvolvido a partir da entrada ou de componentes como curvas e válvulas Em certos casos a mera igualdade de parâmetros adimensionais como os números de Reynolds e de Froude não é garantia de reprodução de situações similares a partir de um dado mapa Por constituírem situações de grande interesse industrial consideremos alguns exemplos clássicos de mapas de arranjo de fase para escoamentos bifásicos vertical e horizontal A Fig104 mostra os resultados para diversos regimes de escoamento num tubo de 25 mm de diâmetro de acordo com os trabalhos de Taitel Dukler e Mandhane et al cf Hestroni 5 Figura 104 Comparação entre fronteiras de arranjos de fases para escoamento arágua em um tubo horizontal de 25 mm de diâmetro utilizando os métodos de Taitel Dukler 1976 e de Mandhane et al 1974 Ref Hestroni 5 5 Hetsroni G Handbook of Multiphase Systems Hemisphre Publishing Corp Cap2 1982 1011 Figura 105 Mapa de arranjo de fase de Hewitt Roberts 1969 para escoamento vertical ascendente Ref Hetsroni 5 Conforme já destacado coordenadas universais para os mapas de regime de escoamento talvez nunca sejam conseguidas uma vez que para cada transição parâmetros relevantes tendem a ser distintos uns dos outros Para escoamentos verticais Hewitt Roberts recomendam mapas conforme indicado na Fig 105 Nesses mapas as coordenadas são os fluxos de quantidade de movimento superficial das respectivas fases ñGVG 2 e ñLVL 2 Esses mapas são razoavelmente precisos podendo ser utilizados para uma gama razoável de propriedades físicas de fluidos 103 Métodos de Solução A complexidade do escoamento multifásico requer o desenvolvimento de técnicas especiais de solução para os fenômenos que eles representam De um modo geral isto é obtido por dois procedimentos i experimental por modelos em escala de laboratório ii teórico utilizando equações e modelos para o escoamento em geral pela utilização de computadores na solução numérica das equações Na industria de petróleo a longa experiência na área levou inicialmente ao desenvolvimento de soluções empíricas que tinham por base a medida e a observação de 1012 escoamentos em sistemas de produção particularmente poços e linhas de transporte também conhecidas por flowlines nas configurações vertical e horizontal Embora em muitas situações medidas foram realizadas no campo e em modelos de laboratório em escala real isto nem sempre foi possível tornando difícil sua aplicação nos protótipos Por outro lado o enorme desenvolvimento de computadores nas últimas décadas estimulou a generalização e a sofisticação da modelagem matemática incluindo de escoamentos variáveis com o tempo como aqueles envolvendo a operação de válvulas partida e parada de bombas alimentação com fluxo alternativo corte e retomada de energia rompimento de duto etc Essas técnicas são assim denominadas neste capítulo de modelos empíricos e matemáticos respectivamente 1031 Modelos Empíricos Correlações para escoamento em regime permanente de gás óleo e água existem para dutos nas configurações vertical horizontal e inclinados Elas cobrem sistemas de fluidos com propriedades variadas diferentes faixas de vazões e diferentes diâmetros de dutos Devido à complexidade do escoamento e às variações nos parâmetros envolvidos propriedades físicas geometria e condições de fluxo nenhuma correlação é totalmente satisfatória para todas as configurações Todavia quando análises com base em uma descrição mais fundamental não estão disponíveis correlações são utilizadas para muitas situações práticas Uma breve descrição é apresentada a seguir para alguns modelos mais comuns O leitor interessado encontrará maiores detalhes na bibliografia sugerida no início do livro e final deste capítulo 10311 Escoamento Vertical Ascendente Brill e Mukherjee6 sugerem que correlações para escoamento vertical podem ser classificadas em três categorias aqui reproduzidas Na categoria A as duas fases gás e líquido não apresentam escorregamento não consideradas no regime de fluxo Ou seja gás e líquido escoam na mesma velocidade não havendo dependência para o regime de escoamento A massa específica é calculada com base na condição de mistura de entrada e a única correlação exigida é para o fator de atrito Na categoria B admitese escorregamento mas não há consideração para o regime de fluxo É necessário utilizar 6 Multiphase Flow in Wells James P Brill Hernanta Mukherjee 1st Printing Soc Petroleum Engineers 1999 1013 correlações para o fator de atrito e a fração volumétrica aplicadas para qualquer regime de fluxo Existindo escorregamento requerse uma metodologia especial para estimar a velocidade de líquido ou gás ao longo do duto Para a categoria C admitese escorregamento e regime de escoamento variável ao longo do duto Portanto obtido o arranjo por uma metodologia apropriada correlações são utilizadas para calcular o fator de atrito e a fração volumétrica O gradiente de pressão é assim dependente do regime de escoamento Incluemse nessas categorias os seguintes modelos CategoriaA A equação básica para calcular o gradiente de pressão é onde os subscritos m e n referemse às condições de mistura e de nãodeslizamento respectivamente Eqs 109 e 1010 Nesta categoria enquadramse as correlações de Poettman e Carpenter 19527 Baxdendel e Thomas 1961 e Fancher e Brown 1963 As três publicações utilizam correlações particulares para o fator de atrito em função do parâmetro dimensional ö ñmVmD ou seja o numerador do número de Reynolds Re ñmVmDìm CategoriaB Nesta categoria destacase a correlação de Hagedorn e Brown 1965 aplicada para escoamento vertical ou quase vertical em torno de 5º com a vertical tendo por base uma extensão da equação de energia para escoamento monofásico considerando uma estimativa da massa específica de mistura in situ e efeitos de energia cinética O gradiente de pressão faz uso de correlações para o fator de atrito e holdup líquido Os autores sugeriram a seguinte equação p ara o gradiente de pressão Para o cálculo do fator de atrito bifásico utilizase o número de Reynolds para escoamento monofásico para densidade de nãodeslizamento e velocidade e viscosidade de mistura 1012 1013 1014 7 Detalhes das referências com datas encontramse nas Referências no final do capítulo 1014 O holdup líquido ál é calculado por correlação em função de alguns parâmetros adimensionais Gover e Aziz op cit CategoriaC Um número importante de autores destacase nesta categoria A metodologia geral difere de outros modelos na forma com que o arranjo de fase é obtido e como para cada arranjo o holdup líquido e o fator de atrito é determinado Cada um dos métodos requer um considerável número de operações envolvendo parâmetros adimensionais e acesso a gráficos tabelas e equações particulares para identificação do regime de escoamento assim como do fator de atrito e da fração volumétrica Uma breve apresentação de três correlações é feito a seguir sem entrar nos detalhes dos cálculos O método de Duns e Ros 1963 é considerado como a melhor correlação empírica para o gradiente de pressão no escoamento vertical gáslíquido Os autores realizaram a primeira análise adimensional em escoamento bifásico em dutos Após um processo de eliminação quatro grupos adimensionais mais relevantes são utilizados para determinar o gradiente de pressão num procedimento razoavelmente complexo Melhores resultados são obtidos quando o método é aplicado em dutos verticais relativamente curtos Para linhas longas recomendase aplicar a metodologia sobre segmentos discretos e somar os gradientes de pressão locais O método de Beggs e Brill 1973 foi o primeiro a prever o comportamento de escoamento em dutos inclinados desde a horizontal até vertical Com base no regime observado para escoamento horizontal um mapa empírico indica o arranjo correspondente para qualquer ângulo Correlações foram desenvolvidas para o holdup líquido para escoamento horizontal e corrigidos para o ângulo real do duto O fator de atrito para escoamento bifásico é calculado a partir de uma expressão envolvendo um fator de normalização ffn obtido da curva de duto liso no diagrama de Moody ou da equação de DarcyWeisbach baseada no número de Reynolds similar àquele mostrado em 1014 O gradiente de pressão é calculado pela equação com 1015 1016 1015 onde pé a pressão absoluta local A metodologia proposta por Mukherjee e Brill 1985 representa um avanço para compensar algumas deficiências do método de Beggs e Brill cobrindo toda faixa de inclinação do duto inclusive escoamento descendente ou seja para a configuração 90º θ 90º Mapas de arranjo de fase foram construídos com coordenadas baseadas em parâmetros adimensionais envolvendo as velocidades superficiais e propriedades do fluido com curvas de transição entre os arranjos cada uma das quais definidas por equações empíricas Uma complexa equação correlaciona o holdup líquido com parâmetros do escoamento O fator de atrito é calculado de forma similar à equação sugerida por Beggs e Brill assim como o gradiente de pressão Eq 1015 10312 Escoamento Horizontal Como no caso vertical nenhuma correlação é suficientemente precisa e geral para o escoamento gáslíquido em dutos horizontais devido à complexidade do problema As primeiras tentativas de análise na área tiveram início no final da década de 40 com trabalhos ainda sendo realizados em anos recentes Apresentamos neste parágrafo apenas algumas das correlações mais relevantes para esta configuração O holdup líquido tem menor importância no cálculo do gradiente de pressão no escoamento horizontal do que no vertical ou inclinado embora a maioria das correlações requeiram o holdup na avaliação da massa específica para cálculo do fator de atrito e do termo aceleração Em muita aplicações este último é pequeno e ignorado Não havendo o termo devido à gravidade o gradiente de pressão é obtido por uma equação geral na forma dpdz f 1D ρf Vm22 12 ρac dVm2dz 1017 onde ρf e ρac representam massas específicas particulares sugeridas por cada correlação para os termos de atrito e aceleração respectivamente Lockhart e Martinelli 1949 foram pioneiros na apresentação de uma correlação geral para o gradiente de pressão em dutos horizontais Embora empírico o método tem alguma base teórica sendo relativamente simples de aplicação mas impreciso exceto quando aplicado para condição de escoamento similar às hipóteses originais sobretudo para fluxo separado horizontal A correlação baseiase no conceito de que o gradiente de 1018 1019 1020 1021 pressão para a fase líquida é igual ao gradiente de pressão para a fase gasosa independentemente do arranjo de fase O modelo estima o holdup líquido em função de parâmetros definidos como e conhecido como parâmetro de Martinelli onde dpdz é o gradiente de pressão no escoamento bifásico dpdzL o gradiente de pressão que existiria se líquido estivesse escoando sozinho com velocidade igual à sua velocidade superficial VL e dpdzG o gradiente de pressão que existiria se gás estivesse escoando sozinho com velocidade igual à sua velocidade superficial VG O gradiente de pressão no escoamento bifásico é obtido como onde os fatores de atrito de Darcy fL e fG estão relacionados com números de Reynolds baseados na fórmula generalizada de Blasius onde aN e bN N GL são constantes e DL e DG são os diâmetros hidráulicos onde líquido e gás escoam Note que como as velocidades superficiais são calculadas por VLQLA e VGQGA A área do duto os diâmetros hidráulicos são inferiores ao diâmetro do duto Lockhart e Martinelli postularam que öG e öL são funções únicas do parâmetro X ambas determinadas experimentalmente Obtidos os valores dos gradientes de pressão monofásicos o parâmetro X é calculado de 1018 e das correlações entre öG e öL e X obtémse os valores de öG e öL e então dpdz öG 2dpdzG öL 2dpdzL O método de Dukler Wicks e Cleveland 1964 normalmente conhecido como método de Dukler aplicase especialmente para escoamento óleogás A metodologia tem 1017 origem numa análise de similaridade onde correlações para o fator de atrito e o holdup líquido foram calculados a partir de dados de campo O fator de atrito é calculado a partir de uma expressão envolvendo um fator de normalização ffn função de um número de Reynolds baseado na velocidade de mistura da viscosidade de mistura com peso nas frações volumétricas de nãodeslizamento e de uma massa específica de mistura Eq 1023 O holdup líquido é calculado a partir de tabelas e gráficos com coordenadas áL e ëL frações volumétricas de líquido com e sem deslizamento O gradiente de pressão contém termos devidos ao atrito e à aceleração na forma onde A correlação de Beggs e Brill 1973 descrita no parágrafo anterior para escoamento vertical aplicase para escoamento horizontal Conforme alí descrito correlações foram desenvolvidas para o holdup líquido para o escoamento horizontal O fator de atrito para escoamento bifásico é calculado a partir de uma expressão envolvendo um fator de normalização ffn obtido da curva de duto liso no diagrama de Moody ou da equação de DarcyWeisbach baseada no número de Reynolds similar àquele mostrado em 1014 O gradiente de pressão é calculado pela equação 101516 Oliemans 1976 apresentou uma metodologia de cálculo para o gradiente de pressão em escoamento bifásico em gasodutos O autor postula que o deslizamento do gás sobre a fase líquida resulta num acúmulo de líquido na linha que reduz a área efetiva de escoamento das fases A fração volumétrica de gás áG e a fração volumétrica de não deslizamento para o líquido ëL são conhecidas Desta forma a diferença öL áLëL é ocupada pelo líquido acumulado Uma vez que tanto áL como ëL podem variar ao longo do duto o mesmo ocorre com a área efetiva Como conseqüência do deslizamento Oliemans propôs que o fluxo de massa bifásico a massa especifica e o diâmetro efetivo sejam redefinidos em função de parâmetros do escoamento 1022 1023 1018 10313 Escoamento Inclinado Escoamento inclinado referese ao escoamento em dutos formando ângulo distinto do horizontal ou vertical Exemplos de escoamento inclinado na indústria de petróleo incluem dutos atravessando regiões montanhosas e poços direcionais esses muito comuns hoje na produção offshore Em muitas instalações offshore o óleo e o gás produzido é transferido onshore antes da separação Não sendo o fundo do mar horizontal ocorre escoamento inclinado entre a plataforma e o separador localizado em terra O cálculo do gradiente de pressão no escoamento bifásico inclinado é realizado em larga escala hoje em dia por métodos baseados em modelos matemáticos que consideram a dinâmica das fases e sua interação enquanto escoam pelo duto Todavia algumas poucas correlações estão disponíveis para esta configuração notadamente a de Beggs e Brill op cit Neste caso o gradiente de pressão é estimado pela equação 101516 onde è é o ângulo com a horizontal Naturalmente tanto a fração volumétrica quanto o fator de atrito devem ser calculados pelo procedimento interno da proposta Tendo sido desenvolvido com base de dados de linhas reais e não em laboratório o método de Beggs e Brill tem se mostrado razoavelmente preciso em muitas aplicações de escoamento inclinado gás óleo 1032 Modelos Matemáticos Neste parágrafo consideramos os fundamentos da modelagem de escoamento bifásico gáslíquido e o procedimento geral para determinação do gradiente de pressão das vazões e frações volumétricas no interior de dutos Tendo sido introduzido o conceito de regimes de escoamento desenvolveremos aqui as equações de conservação de massa e quantidade de movimento cuja solução permite determinar os campos de pressão velocidades e frações volumétricas para escoamento isotérmico permanente invariável com o tempo Embora em geral essas variáveis não sejam necessariamente iguais nas duas fases para certas condições é possível construir modelos simplificados que reproduzem satisfatoriamente situações práticas de engenharia onde alguns desse parâmetros são igualados Quatro modelos em particular são capazes de cobrir uma ampla faixa de aplicação os modelos homogêneo separado de dois fluidos e de deslizamento drift flux em inglês Uma breve apresentação desses modelos é feita a seguir para escoamentos isotérmicos Ou seja as análises deste capítulo são feitas para a hipótese de que o campo 1019 1025 1026 de temperatura não varia com o escoamento Nada impede contudo que esta seja especificada nãouniforme ao longo do duto Por exemplo é razoável esperar que a temperatura seja variável ao longo de um poço de produção de óleo devido ao gradiente geotérmico As modelagens que se seguem permitem tratar tais situações embora sob condição de que a temperatura permaneça invariável no tempo 10321 Modelo Homogêneo Definese como modelo homogêneo aquele em que as propriedades das duas fases assim como da pressão e velocidades são uniformes na seção transversal do duto Para escoamento unidimensional as velocidades são consideradas iguais e a massa específica de mistura assume uma forma simples As equações de conservação de massa e quantidade de movimento para o modelo são Este sistema tem três incógnitas função da posição z Note que as equações são idênticas àquelas para escoamento monofásico para regime permanente 341 Resultado esperado uma vez que o escoamento homogêneo bifásico com propriedades uniformes deve comportarse como um escoamento monofásico Finalmente a fração volumétrica áG permanece incógnita devendo ser calculada pela equação de conservação correspondente Dadas condições de contorno e iniciais apropriadas a solução deste sistema juntamente com a equação para a massa específica ñm permite calcular as três incógnitas no espaçoz O fator de atrito f é calculado por equações do escoamento monofásico Colebrook 1024 1020 White Blasius etc onde o número de Reynolds e as propriedades são avaliadas para condição de mistura Sendo as velocidades das fases iguais da definição de velocidade superficial 104 concluise que a velocidade in situ é e as frações volumétricas calculadas por 10322 Modelo Separado O modelo separado foi inicialmente desenvolvido para evitar a restrição de velocidades iguais para as duas fases como requerido no modelo homogêneo A metodologia de solução pode ter por base modelos empíricos como o trabalho de Lockhart e Martinelli ou equações de conservação de massa quantidade de movimento e energia para o problema não isotérmico para escoamento permanente unidimensional pelas quais as duas velocidades uG e uL e o gradiente de pressão são obtidos Uma breve apresentação dessas soluções é mostrada a seguir O clássico método de Lockhart e Martinelli ainda é utilizado em certos setores da indústria tendo importância inegável na conceituação da modelagem de escoamentos separados Todavia sua aplicação mostrouse imprecisa e por isso deve ser evitada em favor de outras correlações mais modernas como a de Friedel 1979 por exemplo Uma introdução ao método de Lockhart e Martinelli é apresentada no parágrafo 10312 Soluções basedas em modelos matemáticos para o escoamento separado têm aplicação especial para a previsão do gradiente de pressão nos escoamentos anular vertical horizontal ou inclinado Fig 106 e estratificado horizontal ou quase horizontal Neste último a fase gasosa mais leve escoa acima de um leito líquido acumulado na região inferior do duto Escoamento Anular Vertical Consideremos o escoamento anular em um duto vertical conforme esquematizado na Fig 106 O duto tem diâmetro interno D sendo a espessura 1027 1028 1021 média do filme líquido representada por ä No núcleo central gás escoa com velocidade média onde Ac é a área da seção livre de gás O filme líquido deslocase com velocidade média sendo Af a área ocupada pelo filme Na interface gás líquido atua a tensão cisalhante ôi enquanto na parede a tensão cisalhante é ôw O escoamento das duas fases é considerado positivo quando no sentido ascendente O gradiente de pressão para esta configuração é O fator de atrito interfacial pode ser estimado pela fórmula onde fis é o fator de atrito para duto liso em escoamento monofásico baseado no número de Reynolds para viscosidade do gás e velocidade média no núcleo Figura 106 Filme líquido e núcleo central no escoamento anular vertical 1029 1030 1022 Escoamento Anular Horizontal Analisemos agora o escoamento horizontal gáslíquido conforme mostrado na Fig 107 O arranjo é bastante similar ao escoamento vertical Em geral o filme líquido consiste de uma subcamada laminar uma zona de transição e uma região turbulenta em contato com o gás Nas velocidades baixas o filme é relativamente suave com pequenas ondas na superfície Na medida que a velocidade de líquido cresce a superfície se distorce formando ondas maiores Sob condição de alta velocidade de gás gotículas de líquido são arrancadas da superfície e transportadas para o núcleo central gasoso O gradiente de pressão para esta geometria é calculado por O fator de atrito interfacial pode ser estimado pela fórmula com o fator fis calculado de forma similar ao do escoamento vertical Figura 107 Filme líquido e núcleo central no escoamento anular horizontal Escoamento Estratificado O arranjo estratificado caracterizase pela separação dos escoamentos líquido e gasoso onde o líquido escoa na parte inferior do duto enquanto o gás deslocase na parte superior Fig 108 A configuração ocorre tipicamente para velocidades superficiais de líquido inferiores a 03 ms e de gás entre 05 a 3 ms Enquanto a velocidade do gás for baixa a interface gáslíquido é relativamente suave Se a velocidade cresce ondas aparecem na superfície líquida tornando o escoamento estratificadoondulado Velocidades maiores provocam o surgimento de ondas de grandes amplitudes e comprimento resultando numa interface bastante irregular podendo 1031 1032 1023 conduzir à formação de golfadas quando a fração de líquido for alta Situação análoga ocorre em sistemas líquidolíquido embora aqui as fases possam acontecer no regime laminar ou turbulento Mostramos a seguir o resultado da modelagem de Taitel e Dukler8 para o arranjo estratificado Admitindo escoamento em regime permanente sem aceleração significativa e sem variação de propriedades físicas as equações de quantidade de movimento para as fases no escoamento suave são A referese à área transversal do duto ô à tensão cisalhante e P ao perímetro Os índices w G e L representam parede e fases gás e líquido respectivamente Eliminandose o gradiente de pressão com áG e áL lembrando que áL1áG as frações volumétricas de gás e líquido Taitel e Dukler mostraram que para dado ângulo è e vazões de entrada especificadas para cada fase esta equação pode ser resolvida para a fração volumétrica áG ou áL uma vez que os perímetros são função de á e as tensões cisalhantes podem igualmente ser escritas em função de á A altura do leito líquido é então determinada e o gradiente de pressão calculado por uma das equações 1033 Naturalmente a solução requer o cálculo de propriedades como massa específica e fator de atrito na parede e interface gáslíquido todas obtidas no processo iterativo de solução da equação transcendental 1034 1033 1034 8 Taitel Y Dukler AE A Model for Predicting Flow Regime Transition in Horizontal and NearHorizontal GasLiquid Flow AIChE J 22 4755 1976 1024 Figura 108 Escoamento estratificado gáslíquido quasehorizontal 10323 Modelo de Dois Fluidos O modelo de doisfluidos é caracterizado por tratar a fase dispersa descontínua como bolhas e gotículas como uma segunda fase contínua interagindo com a fase contínua As equações de conservação de massa quantidade de movimento e energia são escritas para os fluidos em movimento incluindo a modelagem dos termos de transferência de massa quantidade de movimento e de energia Portanto o modelo não considera efeitos devidos à natureza discreta da fase dispersa Modelos de dois fluidos com trocas nas interfaces são muito utilizados hoje em dia em códigos de computador uma vez que admitem não só velocidades mas temperaturas também distintas entre as fases gás e líquido Os modelos baseiamse na formulação unidimensional e na tomada de médias temporais e espaciais em volumes finitos do duto Ou seja não admitem variações de propriedades como velocidades e temperaturas e seus gradientes radiais nas interfaces ou fronteiras na parede Esses modelos requerem leis de fechamento para tratar as condições nas interfaces e na parede que Uma vez que essas leis dependem do padrão do escoamento mapas para os padrões de escoamento devem ser igualmente especificados Leis de Conservação Para regime transiente portanto variável com o tempo as seguintes leis de conservação são propostas por Yadigaroglu e Lahey 9 As equações de continuidade são 9 Yadigaroglu G Lahey RT On the Various Forms of the Conservation Equations in TwoPhase Flow Int J Multiphase flow 2 pp 477494 1976 1025 1035 1036 O termo à representa a transferência de massa por unidade de volume entre as fases sendo positivo no processo de evaporação da fase líquida Algumas das transferências ocorrem na interface e outras na parede Havendo um único componente não ocorre transferência nas interfaces somente na parede As equações correspondentes para a quantidade de movimento são mostradas a seguir Os termos da esquerda representam aceleração enquanto da direita são forças atuantes nas respectivas fases O primeiro termo representa a força resultante devido ao gradiente de pressão e o segundo a força devido à gravidade Os terceiros e quartos termos as forças nas paredes e interfaces devidos às tensões cisalhantes ôw e ôi atuantes nos perímetros Pw e Pi respectivamente O último termo representa a força devido ao fluxo de quantidade de movimento entre as fases onde ui referese à velocidade na interface Especificadas condições iniciais em t 0 e de contorno apropriadas ou seja na entrada e saída do duto a solução dessas quatro equações fornecerá as quatro incógnitas do problema áGuGuLp ao longo da linha para todo instante de tempo Isto é os quatro parâmetros são função de zt Devido à complexidade do problema soluções numéricas são obtidas hoje em dia por softwares especializados 1026 10324 Modelo de Deslizamento Drift Flux O modelo de deslizamento tem por base a mistura do escoamento em vez das duas fases separadas tornando sua aplicação mais simples do que o modelo de dois fluidos O método tem origem na combinação das equações de conservação e a conseqüente eliminação de algumas constituindo um sistema mais simples com estrutura similar à formulação monofásica Para o escoamento isotérmico o modelo é representado por três equações de conservação continuidade de mistura soma de 1035a e 1035b continuidade para o gás 1035b e quantidade de movimento de mistura soma de 1036a e 1036b Nesta formulação uma equação de quantidade de movimento é eliminada Desta forma o movimento relativo entre as fases deve ser expresso por uma equação constitutiva adicional relacionando a velocidade relativa com outros parâmetros do escoamento É mostrado a seguir um breve resumo dos resultados que conduzem à equação constitutiva para as velocidades O sistema final das três equações de conservação não é apresentado Iniciemos a análise pela definição de média na área da seção transversal do duto Para uma variável genérica φ a média na seção é definida como φ 1A A φ dA 1037 Frações volumétricas e médias são definidas como αG AGA e αL ALA 1038 assim como a velocidade média para a fase gasosa VG VGαG 1039 Num trabalho pioneiro na área Zuber e Findley 1965 10 mostraram que a velocidade média para o gás pode ser expressa em função da velocidade de mistura e uma velocidade de deslizamento na forma 10 Zuber N Findlay JA Average Volumetric Concentration in TwoPhase Flow Systems J Heat Transfer 87 453 1965 1040 onde Co é um parâmetro associado à distribuição da fase dispersa bolhas ou gotículas na seção transversal do duto Vm a velocidade de mistura e a velocidade de deslizamento entre as duas fases gás e líquido especificada por equações empíricas para cada regime de escoamento Esta equação representa a relação constitutiva para as velocidades do modelo de deslizamento As três equações de conservação constituem um sistema para as três incógnitas áGVmp As velocidades de gás e líquido são então obtidas a partir de relações algébricas simples envolvendo Vm e outros parâmetros do escoamento como as frações volumétricas e as massa específicas das fases Condições iniciais e de contorno completam o sistema para ser resolvido numericamente no domínio zt 1028 Referências Baxendell PB Thomas R The Calculation of Pressure Gradients in HighRate Flowing Wells J Pet Tech pp 10231028 1961 Beggs HD Brill JP A Study of TwoPhase Flow in Inclined Pipes J Pet Tech pp 607 617 1973 Dukler AE Wicks M Cleveland RG Frictional Pressure Drop in TwoPhase Flow B Approach Through Similarity Analysis AIChE J 10 pp 4451 1964 Duns H Ros NCJ Vertical Flow of Gas and Liquid Mixtures in Wells Proc 6th World Pet Congr pp 451465 Frankfurt 1963 Fancher GH Brown KE Prediction of Pressure Gradients for Multiphase Flow in Tubing Soc Pet Eng J pp 5969 1963 Friedel L Improved Friction Pressure Drop Correlations for Horizontal and Vertical Two Phase Pipe Flow European Two Phase Flow Group Meet Ispra Italy paper E2 1979 Govier GW Aziz K The Flow of Complex Mixtures in Pipes Robert Krieger Publishing Co 1982 Hagedorn AR Brown KE Experimental Study of Pressure Gradients Occurring During Continuous TwoPhase Flow in SmallDiameter Vertical Conduits J Pet Tech pp 475484 1965 Hewitt GF Roberts DN Investigation of Interfacial Phenomena in Annular TwoPhase Flow by Means of the Axial View Technique Rept AERER6070 UKAEA Harwell 1969 Lokhart RW Martinelli RC Proposed Correlation of Data for Isothermal TwoPhase Two Component Flow in Pipes Chem Eng Prog 453948 1949 Mandhane JM Gregory GA Aziz KA A Flow Pattern Map for GasLiquid Flow in Horizontal Pipes Int J Multiphase Flow 1537553 1974 Mukherjee H Brill JP Pressure Drop Correlations for Inclined TwoPhase Flow ASME J Energy Res Tech107 no 4 pp 549 1985 Oliemans RVA TwoPhase Flow in Gas Transmission Pipelines ASME paper 76Pet25 Pet Div Conference Mexico City 1976 Poetmann FH Carpenter PG The Multiphase Flow of Gas Oil and Water Through Vertical Flow Strings Drill and Prod API Dallas 257 1952 Taitel Y Dukler AE A Model for Predicting Flow Regime Transitions in Horizontal and NearHorizontal GasLiquid Flow AIChE J 26 pp 4755 1976 Züber N Findley Average Volumetric Concentration in TwoPhase Flow Systems J Heat Transfer ser C vol 87 pp 453 1965 1029