Cálculo-de-Integrais-Resolucao-de-Lista-de-Exercicios-com-Somatorios

Instituto de Matemática IMUFRJ Cálculo Diferencial e Integral I Lista 10 P3 Resolução Questão 1 Use o conceito de integrais para calcular o somatório lim n 1n 1n 2n nn Solução O conceito da integral de uma função fx entre x a e x b se refere ao seguinte processo 1 Divida o intervalo ab em n subintervalos menores de tamanho Δxi 2 Em cada subintervalo escolha um ponto xi 3 Calcule fxi para cada subintervalo 4 Faça a conta fxiΔxi para cada subintervalo Essa conta significa geometricamente que estamos calculando a área de um retângulo pequeno de base Δxi e altura fxi 5 Some todos os fxiΔxi para os n subintervalos 6 Repita todo o processo usando mais subintervalos mais retângulos Calcule o limite desse processo para quando n Isso te dá o valor que a soma se aproxima à medida que usamos mais subintervalos Podemos resumir todos esse processo com símbolos Somas de Riemann ab fx dx lim n i1n fxiΔxi Isso é a definição de integral definida de fx entre x a e x b Veja que podemos usar então o conceito de integral para calcular o limite de somas desde que façamos a igualdade correta Queremos então descobrir qual integral tem o formato do somatório do enunciado Primeiro procure colocar o somatório do enunciado em um formato que use Para isso precisamos reconhecer o índice i que está variando em cada termo da soma i 1 2 3 4 n Note que lim n 1n 1n 2n nn lim n 1n 1n 2n 1n nn 1n lim n i1n in 1n Agora observe que temos dois fatores se multiplicando para cada termo da soma Na definição de integral um desses fatores é Δxi o tamanho do subintervalo O outro fator é fxi o valor da função em algum ponto do subintervalo Quando dividimos um intervalo em n partes pequenas iguais o comprimento dessas partes é tamanho do intervalon Então em 1n temos que o intervalo total tem tamanho 1 e com isso já identificamos que Δxi 1n Cálculo Diferencial e Integral I Lista 10 P3 Resolução continuação Agora veja que em fxi nós precisamos selecionar um ponto dentro de cada intervalo para calcular a função nesse ponto Nosso somatório tem como fxi o fator in Isso significa que no primeiro subintervalo pegamos o ponto 1n no segundo pegamos o ponto 2n no terceiro pegamos o ponto 3n e assim por diante até o último subintervalo em que pegamos o ponto nn 1 E em cada ponto x usamos a função x descobrimos quem é f Veja que tudo se encaixa se usarmos um intervalo 01 tamanho 1 dividirmos em n subintervalos iguais tamanho Δxi 1n e escolhermos pegar sempre o ponto ao final de cada subintervalo 1n 2n 3n nn Então o somatório do enunciado é a seguinte integral lim n i1n in1n 01 x dx x32 32 01 23 Questão 2 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função abaixo no ponto x π fx πx sens² 4 ds Solução Pelo TFC temos que fx πx sens² 4 ds Fx Fπ onde F é alguma primitiva de senx² 4 ou seja sabemos que Fx senx² 4 Então derivando fx temos que fx ddx πx sens² 4 ds ddx Fx Fπ Fx 0 fx senx² 4 Então em x π temos a seguinte inclinação da reta tangente fπ senπ² 4 E nesse ponto a função vale fπ ππ sens² 4 ds 0 Finalmente determinamos agora a equação da reta que passa em π 0 com inclinação senπ² 4 Inclinação Δy Δx senπ² 4 y 0 x π y senπ² 4 x π Cálculo Diferencial e Integral I Lista 10 P3 Resolução continuação Questão 3 Calcule a dydx sabendo que e2x3y x² lnxy³ b dgdx e d²gdx² sabendo que gx x0 arctans² ds c tan³x dx d djdx em x e² sabendo que jx 1lnx t³ 1 dt e 0 1 2xex dx f 12 x 10 2x² dx g 51 1 10 2z dz Solução a Derivando os dois lados da equação com relação a x obtemos ddx e2x3y ddx x² lnxy³ e2x3y ddx 2x 3y 2x 1 xy³ ddx xy³ e2x3y 2 3 dydx 2x 1 xy³ 1 y³ x 3y² dydx 2e2x3y 3e2x3y dydx 2x y³ xy³ 3xy² xy³ dydx 3e2x3y dydx 3 y dydx 2x 1x 2e2x3y 3e2x3y 3y1 dydx 2x x1 2e2x3y dydx 2x x1 2e2x3y 3e2x3y 3y1 b Para poder usar o TFC parte 1 faremos gxx0 arctans2ds0x arctans2ds0x arctans2ds Daí pelo TFC parte 1 dgdxarctanx2 Por isso d2gdx211x22 ddx x2 2x1x4 c Note que tan3xdx tanxtan2xdx tanxsec2x1dx tanxsec2xdx tanxdx Vamos trabalhar com cada integral individualmente Para a primeira usaremos a substituição utanx de forma que dusec2xdx Assim tanxsec2xdx u du u22 C tan2x2 C Para a segunda integral faremos a substituição ucosx de forma que dusenxdx Dessa maneira tanxdx senxcosx dx 1u dulnuDlncosxD Finalmente usando ECD tan3xdxtan2x2 lncosxE d Seja Qt uma primitiva de t31 Isso significa que Qtt31 Então pelo TFC temos que jx1lnx t3 1 dtQt1lnx QlnxQ1 Então derivando dos dois lados djdx ddx 1lnx t3 1 dt ddx QlnxQ1 ddx Qlnx 0 djdx ddx Qlnx djdx Qlnx ddx lnx Onde usamos a regra da cadeia no último passo Agora lembrese que por definição Qt t31 Então djdx Qlnx ddx lnx lnx3 1 ddx lnx ln3x1x Logo em x e2 obtemos djdx e2 ln3x1x xe2 3e2 e Por definição 0 1 2xex dx lim t 0t 1 2xex dx Para calcular uma primitiva para 1 2xex vamos integrar por partes usando u 1 2x du 2dx dv ex dx v ex Então 1 2xex dx 1 2xex 2ex dx 3 2xex K Retornando à integral definida temos que lim t 0t 1 2xex dx lim t 3 2xex 0t lim t 3 2tet 3e0 lim t 3 2tet 3 Usando LHôpital podemos encontrar que esse limite resulta em 3 f Usaremos a substituição u 102x2 de forma que du 4xdx Além disso quando x 1 temos u 8 e quando x 2 obteremos u 2 Assim 21 x10 2x2 dx82 14 1u du u2 82 12 8 2 22 g Como o polinômio 10 2z zera em z 5 temos uma descontinuidade no limite inferior da integral Assim escreveremos 15 110 2z dz lim a5 1a 110 2z dz Com a substituição u 2z 10 conseguimos encontrar que lim a5 1a 110 2z dzlim a5 ln10 2z21a lim a5 ln122 ln10 2a2 Portanto a integral diverge Questão 4 Considere as funções fx x2 e gx x2 8 Faça um esboço da região Q delimitada pelo gráfico das duas funções Calcule o volume do sólido obtido ao rotacionar a região Q segundo o eixo y 1 Solução Ambas as funções são parábolas Abaixo grafamos a função fx x2 em vermelho e a função gx x2 8 em azul As interseções podem ser obtidas igualando fx gx fx gx x2 x2 8 2x2 8 x2 4 x 2 ou x 2 Em relação ao eixo de rotação y 1 tracejado na figura O volume do anel circular formado pela rotação de um pequeno retângulo compreendido entre as funções é ΔV π gx 1² fx 1² Δx ΔV π gx 1² fx 1² Δx Assim V π 2 to 2 gx 1² fx 1² dx π 2 to 2 x² 9² x² 1² dx V π 2 to 2 x⁴ 18x² 81 x⁴ 2x² 1 dx π 2 to 2 20x² 80 dx V π 20 x³3 80x2 to 2 640π3 Questão 5 Considere a região J delimitada por y arctanx x 1 x 1 e o eixo x Faça um esboço de J e calcule sua área Solução O gráfico de arctanx é o espelho com relação aos eixos x e y do gráfico de tanx Além disso se x 1 y arctan1 π4 e com x 1 encontramos y π4 Assim um esboço para a região buscada é A área da região J então pode ser calculada por meio de duas integrais de arctanx uma delas com x indo de 1 a 0 e outra com x indo de 0 a 1 Uma maneira mais prática consistem em perceber a área que queremos é duas vezes a integral de arctanx com x indo de 0 a 1 Integrando por partes de forma que u arctanx dv 1 dx du 11 x² dx v x obtemos que 20 to 1 arctanx dx 2x arctanx0 to 1 2 0 to 1 xx² 1 dx π2 0 to 1 2xx² 1 dx Adotando a substituição w x² 1 de maneira que dw 2x dx encontramos π2 0 to 1 2xx² 1 dx π2 2 to 1 1u du π2 lnu2 to 1 π2 ln2 Questão 6 Considere a região Z delimitada por y x³ x e o eixo x Faça um esboço de Z Calcule a área A de Z Calcule o volume V do sólido obtido ao rotacionar a região Z segundo o eixo x Solução Precisamos ter alguma noção do gráfico da função fx x³ x para poder visualizar a região Z e finalmente rotacionála ao redor do eixo x Para fazer um esboço suficiente da função note que ao colocarmos x em evidência fx xx² 1 Isso nos diz que a função retorna ao valor zero somente em três pontos são as raízes x 1 x 0 x 1 Veja também que para x a função é negativa e para x a função é positiva Como fx é contínua a função começa em valores negativos chega a zero em x 1 fica positiva retorna para zero em x 0 fica negativa novamente e passa em zero uma última vez em x 1 antes de seguir positiva A figura abaixo grafa a região Z Veja que ela possui uma parte à esquerda do eixo y A₁ e outra parte à direita do eixo y A₂ Lembrando que área é um conceito de valor positivo temos que A₁ 1 to 0 x³ x dx x⁴4 x²21 to 0 0 0 14 12 14 A₂ 0 to 1 x³ x dx x⁴4 x²20 to 1 14 12 0 0 14 Então a área total é A A₁ A₂ 12 Extra você também poderia usar o fato de que a função fx é ímpar calcular somente A₁ e portanto concluir que a área A₂ é igual a A₁ Para o volume V do sólido de revolução precisamos girar a região Z ao redor do eixo x Teremos que V 1 to 1 πx³ x² dx π1 to 1 x⁶ 2x⁴ x² dx πx⁷7 2x⁵5 x³31 to 1 16π105 A figura abaixo traz o sólido gerado ao girar a região Z Questão 7 Um certo motor consome combustível a uma taxa de dCdt 5 10teᵗ² m³h a partir do instante t 0 em que é iniciado Encontre uma expressão que defina quanto combustível o motor consumiu após t horas de uso sabendo que 5 m³ de combustível tinham sido usados após 1 hora Solução Integrando a expressão de dCdt obteremos uma primitiva de dCdt ou seja teremos a forma geral da função Ct Usaremos o método da substituição com u t2 du 2t dt dt du2t dCdt dt 5 10tet2 dt Ct 5t 10teu 12t du Ct 5t 5eu du Ct 5t 5et2 k Onde k é uma constante Para determinarmos k precisamos de alguma informação sobre Ct O enunciado nos diz que quando t 1 temos C1 5 Então 5 5 1 5e12 k k 5e Logo Ct 5t 5et2 5e Questão 8 Uma escada de 5 m está encostada numa parede Se a extremidade inferior da escada for afastada da base da parede a uma velocidade constante de 2 ms com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a extremidade inferior estiver a 3 m da parede Solução Primeiro vamos visualizar o que está acontecendo e nomear os elementos da questão Em seguida vamos listar tudo que o enunciado nos informa identificar claramente o que o enunciado quer e traduzir as informações em símbolos Cálculo Diferencial e Integral I Lista 10 P3 Resolução continuação Se a extremidade inferior da escada for afastada da base da parede a uma velocidade constante de 2 ms Então dB dt 2 E aqui colocamos a derivada como positiva porque a extremidade inferior está sendo afastada então B está aumentando com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante Então queremos dH dt Note que queremos dH dt em um certo instante em uma certa situação Ou seja queremos achar um número no instante em que a extremidade inferior estiver a 3 m da parede Então queremos achar dH dt no momentosituação em que B 3 Veja que B não é fixo afinal dB dt 0 O que o enunciado pede é para calcularmos o valor de dH dt quando temos B 3 Precisamos relacionar de alguma forma as variáveis H e B Observe que a escada forma um triângulo retângulo com o chão e a parede Então com o Teorema de Pitágoras temos B2 H2 52 Derivando em relação a t 2B dB dt 2H dH dt 0 B dB dt H dH dt 0 O enunciado nos informa que dB dt 2 e queremos achar dH dt no momento em que B 3 Com a relação acima entre as taxas ainda nos falta um valor para H nessa situação do problema Usando a relação entre as variáveis com B 3 B2 H2 52 9 H2 25 H2 16 H 4 Finalmente temos todos os elementos necessários B dB dt H dH dt 0 3 2 4 dH dt 0 dH dt 6 4 3 2 E faz sentido termos encontrado um valor negativo para dH dt porque como a extremidade superior está descendo então H está diminuindo Ou seja a extremidade superior está descendo com uma velocidade de 3 2 ms Página 11 de 12 Gabarito 1 01 x dx 23 2 yt senπ2 4 xt π 3 a dydx 2x x1 2e2x3y3e2x3y 3y1 b dgdx arctanx2 d2gdx2 2x1 x4 c tan2x2 lncosx C d ln3x 1x x e2 3e2 e lim t 1 2xex0t 2ex0t 3 f 128 2 22 g Diverge 4 640π3 5 2π4 ln22 6 A 12 V 16π105 7 Ct 5t 5et2 5e 8 Descendo com uma velocidade de 32 ms